2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习一(含答案)

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中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习一一         、综合题1.已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值.（1）求b的值；  （2）若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；（3）若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1<x2<x3<x4，求x4-x3+x2-x1的最大值.              2.如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．（1）求m的值；（2）求A、B两点的坐标；（3）当﹣3＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P，使得△PAB的面积是△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．     3.如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．（1）求点A和点B的坐标；（2）求证：四边形DECF是矩形；（3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．            4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4.点D是线段BC上的一个动点.点D与点B、C不重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．(1)设∠BAC=α(如图①)，求∠AEF的大小；(用含α的代数式表示)(2)当点F与点C重合时(如图②)，求线段DE的长度；(3)设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．      5.如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F．（1）求点A,点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由．（4）是否存在t的值,使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．     6.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.       7.已知抛物线l1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．⑴求抛物线l2的解析式；⑵点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．  ①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；  ②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．          8.如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边ABC随着顶点A在抛物线y=x2-2x上运动而运动，且始终有BC//x轴. （1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？（2）△ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1:8（即S上部分：S下部分=1:8）时，求顶点A的坐标； （3）△ABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标.         
答案解析9.解： 10.解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，∴它与x轴只有一个交点，∴（m+3）2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9，又∵抛物线对称轴大于0∴﹣＞0，即m＞﹣3，∴m=3；（2）由（1）可得抛物的解析式为y=x2﹣6x+9，解方程组，得或，∴点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（6，9）； （3）存在，设点P（a，b），如图，作PT⊥x轴交BD于点E，AR⊥x轴，BS⊥x轴，∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，∴S△ABC=S梯形ARSB﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15，S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=×（9+b）（6﹣a）﹣×（4+9）×5﹣×（b+4）（1﹣a）=（5b﹣5a﹣15），又∵S△PAB=2S△ABC，∴（5b﹣5a﹣15）=30，∴b﹣a=15，b=15+a，∵点P在抛物线上∴b=a2﹣6a+9，∴15+a=a2﹣6a+9，∴a2﹣7a﹣6=0，解得：a=，∵﹣3＜a＜1，∴a=，∴b=15+a=，∴P（，）． 11.解：（1）当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得 x1=﹣1，x2=4．∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（4，0）；（2）证明：把C（m，1﹣m）代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为（3，﹣2）．过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．由A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，∴AH:CH=CH:BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴平行四边形DECF是矩形；（3）存在．理由如下：连接CD．∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小．∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2． 12.解：(1)如图①，      在Rt△ABC中，∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣α，∵将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点，∴∠EFB=∠EBF，∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2(900﹣∠BAC)=1800﹣2α．(2)如图②，，当点F与点C重合时，BD=CD时，∵ED⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥ED，∴AE=BE，∴DE=0.5AC==1．(3)当点F与点C重合时，BD=CD==0.5BC==2．①如图③，当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时，重叠部分是△EDF．∵AC∥ED，∴△ABC∽△EDB，∴，即，∴ED=，∴S△EDF==0.5×ED×DF==0.5××x=x2，(0＜x≤2)．②如图④，当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时，设EF与AC相交于点M，则重叠部分是四边形EDCM．∴FC=FD﹣CD=x﹣(4﹣x)=2x﹣4∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF，∴△ABC∽△MFC，∴，即，∴MC=x﹣2，∴S四边形EDCF=S△EDF﹣S△EDF==0.5×x×﹣=0.5×(x﹣2)×(2x﹣4)=﹣x2+4x﹣4，(2＜x＜4)．综上，可得S= 13.解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+． 14.解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.(2)当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值.∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，∴AC=，BC=，直线AC的解析式为y=x+2(可用待定系数法求出来).当x=﹣1时，y=x+2=，∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，)，△MBC的周长为+.(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.当y=2时，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴点Q的坐标为(﹣2，2)；当y=﹣2时，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).  15.解：（1）∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，∴a=0.5．∴抛物线的解析式为y=0.5x2﹣1.5x﹣2；（2）①如图1所示：∵A（﹣1，0），B（3，0），    ∴AB=4．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x，0.5 x2﹣1.5x﹣2）．∵MN⊥AB， ∴SAMBN=0.5AB·MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．∴当x=时，SAMBN有最大值．    ∴此时P的坐标为（，0）． ②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．∵DC∥MN，CM=DN，∴四边形CDNM为等腰梯形．∴∠DNH=∠CMG．在△CGM和△DNH中，∴△CGM≌△DNH．∴MG=HN．∴PM﹣PN=1．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x，0.5 x2﹣1.5x﹣2）．∴（﹣x2+2x+3）+（0.5x2﹣1.5x﹣2）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．∴P（1，0）．当CM∥DN时，如图3所示：∵DC∥MN，CM∥DN， ∴四边形CDNM为平行四边形．∴DC=MN．=5   ∴﹣x2+2x+3﹣（0.5x2﹣1.5x﹣2）=5，∴x1=0（舍去），x2=，∴P（，0）．总上所述P点坐标为（1，0），或（，0）． 16.解：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．∵BC∥x轴，BC=AC=2,∴CD=,AD=3．∴C点的坐标为(,-3). ∵当x＝时，y=-3.∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．（2）过点A作AD⊥BC于点D，设点A的坐标为（x，x2-2x).∵BC∥x轴，∴x轴上部分的三角形∽△ABC．∵S上部分：S下部分=1：8，∴S上部分：S△ABC=1：9，∴AD＝3(x2-2x).