初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试精品单元测试测试题

2021年北师大版数学九年级下册

《直角三角形的边角关系》单元测试

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)

1．sin30°的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则tanA的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长为(　　)

A．6cm  B．7cm  C．8cm  D．9cm

4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(　　)

A．4米  B．6米  C．12米  D．24米

5．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

6．如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB=100°，那么椅腿AB的长应设计为(结果精确到0.1cm，参考数据：sin50°=cos40°≈0.77，sin40°=cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)(　　)

A．38.1cm  B．49.8cm  C．41.6cm  D．45.3cm

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°.若AB=2，则cosB=_______，BC=_______．

8．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=________．

9．若α，β均为锐角，且＋(tanβ－1)2=0，则α＋β=________．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=________．

11．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76cm，∠CED=60°.则水箱的半径为________cm(结果保留根号)．

12．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD=2∶1，则△ABC的面积为____________．

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13．计算：

(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；             (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠B=60°，解这个直角三角形．

15．如图，已知AC=4，求AB的长．

16．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)．

17．如图，已知钝角△ABC.

(1)过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，若∠ABC=122°，BC=5，AD=4，求CD的长(结果精确到0.1，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

19．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=.求：

(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值．

20．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m.请你计算出这片水田的面积(参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，≈1.732)．

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平．连接OA，此时OA=75cm，CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且桌面宽OB与BC的长度之和等于OA的长度．求支架BC的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．

22．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对(can)．如图①，在△ABC中，AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB==.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

(1)can30°=________；

(2)如图②，已知在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=24，求△ABC的周长．

六、(本大题共12分)

23．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥OB，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm.

(1)当PA=45cm时，求PC的长；

(2)当∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732)．

参考答案

1．A　2.D　3.C　4.B　5.B

6．C　解析：连接BD，由题意得OA=OB=OC=OD.∵∠DOB=100°，∴∠DAO=∠ADO=50°，∠OBD=∠ODB=40°，∴∠ADB=90°.又∵BD=32cm，∴AB=≈≈41.6(cm)．故选C.

7.　　8.　9.75°　10.　11.(150－76)

12．8或24　解析：△ABC有两种情况：(1)如图①所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=4.∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC·AD=×6×=8；

(2)如图②所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=12.∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24.综上所述，△ABC的面积为8或24.

13．解：(1)原式=3×＋－2×=＋－=.(3分)

(2)原式=()2－2×＋=3－＋=－.(6分)

14．解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.(2分)又∵AC=15，∴AB===10，(4分)BC===5.(6分)

15．解：作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°－∠A=60°，CD=AC=2，AD=AC·cosA=2.(3分)在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，∴BD=CD=2，(5分)∴AB=AD＋BD=2＋2.(6分)

16．解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．(1分)理由如下：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC·sin50°≈20×0.8=16(cm)，CD=AC·cos50°≈20×0.6=12(cm)．(3分)∵BC=18cm，∴DB=BC－CD≈18－12=6(cm)，∴AB=≈=(cm)．(5分)∵17=<，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．(6分)

17．解：(1)如图所示．(3分)

(2)∵∠ABC=122°，∠ADB=90°，∴∠DAB=32°.在Rt△ADB中，∵tan∠DAB=，∴DB=DA·tan∠DAB≈4×0.62=2.48.(5分)∴DC=DB＋BC≈2.48＋5≈7.5.(6分)

18．解：∵在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，(3分)∴CD=BC－BD=14－9=5.在Rt△ACD中，AC===13，(6分)∴sinC==.(8分)

19．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC=，∴∠C=45°.在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=×=1，(2分)∴AE=CE=1.在Rt△ABE中，∵tanB=，∴=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE＋CE=4.(4分)

(2)由(1)可知BC=4，CE=1.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD－CE=1.(6分)∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=.(8分)

20．解：作CM⊥BD于M.(1分)∵∠A=90°，∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=400m，AD=AB=200m，(3分)∴△ABD的面积为·AB·AD=×200×200=20000(m2)．(4分)∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，∴CM=BC·sin54°≈300×0.809=242.7(m)，(6分)∴△BCD的面积为·BD·CM≈×400×242.7=48540(m2)，(7分)∴这片水田的面积约为20000＋48540≈83180(m2)．(8分)

21．解：延长CB交AO于点D，∴CD⊥OA.设BC=xcm，则OB=(75－x)cm.(2分)在Rt△OBD中，∵∠DOB=37°，∴OD=OB·cos∠DOB≈0.8(75－x)=(60－0.8x)(cm)，BD=OB·sin∠DOB≈0.6(75－x)=(45－0.6x)(cm)．(5分)∴DC=BD＋BC≈(45＋0.4x)cm.在Rt△ACD中，∵∠ACD=37°，∴AD=DC·tan∠ACD≈0.75(0.4x＋45)=(0.3x＋33.75)cm.(7分)∵OA=AD＋OD=75cm，∴0.3x＋33.75＋60－0.8x=75，解得x≈37.5，∴BC≈37.5cm，故支架BC的长度约为37.5cm.(9分)

22．解：(1)(2分)

(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵canB=，可设BC=8x，AB=5x，则BE=BC=4x，∴AE==3x.∵S△ABC=24，∴BC·AE=12x2=24，解得x=，故AB=AC=5，BC=8，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC=5＋5＋8=18.(9分)

23．解：(1)当PA=45cm时，连接PO，如图．(1分)∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm.(2分)∵BO=24cm，BC=12cm，∴OC=OB＋BC=36cm.∵PC⊥OB，∴∠C=90°，∴PC===27(cm)．(4分)

(2)过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形，如图．(6分)∴∠ADF=∠AOC=120°，则∠PDF=120°－90°=30°.在Rt△DOE中，∵∠DOE=180°－∠AOC=60°，DO=AO=12cm，∴DE=DO·sin60°=6cm，EO=DO=6cm，∴FC=DE=6cm，DF=EC=EO＋OB＋BC=6＋24＋12=42(cm)．(9分)在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，∴PF=DF·tan30°=42×=14(cm)，∴PC=PF＋FC=14＋6=20≈34.64(cm)＞27cm，(11分)∴点P在直线PC上的位置上升了．(12分)