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人教版中考数学第一轮考点过关：第七单元图形的变化课时29图形的相似
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这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第七单元图形的变化课时29图形的相似，共43页。PPT课件主要包含了课时29图形的相似，黄金分割点，黄金比，考点二相似多边形，成比例，相似比，相似比的平方，考点三相似三角形，考点四位似图形，位似中心等内容，欢迎下载使用。
线段的比与比例线段 相似三角形 相似多边形 位似图形
考点一 线段的比与比例线段
1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.2.比例线段:四条线段中,如果其中两条线段的比① 另两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.即四条线段a,b,c,d中,若② ,那么a,b,c,d是成比例线段.
1.定义:对应角相等,对应边⑩ 的两个多边形叫做相似多边形. 2.相似比:相似多边形的比叫做相似比.相似比为1的两个多边形 ⑪ . 3.性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形周长之比等于 ⑫ ; (3)相似多边形面积之比等于 ⑬ .
1.定义:对应角⑭ ,三边对应⑮ 的两个三角形叫做相似三角形. 2.判定:(1) ⑯ 对应相等的两个三角形相似; (2)两边对应⑰ 且⑱ 相等的两个三角形相似; (3)⑲ 对应成比例的两个三角形相似; (4)斜边及一直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
3.性质:(1)相似三角形的对应角⑳ ,对应边㉑ ; (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于㉒ ; (3)相似三角形周长之比等于㉓ ; (4)相似三角形面积之比等于㉔ .
1.定义:如果两个图形不仅相似,并且每组对应点所在的直线经过同一个点,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做㉕ . 2.位似比:两个位似图形的㉖ 叫做位似比. 3.性质:(1)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于㉗ ; (2)位似图形对应点所在的直线经过㉘ ; (3)位似图形对应线段成比例,对应角㉙ . 4.画位似图形的步骤:(1)确定位似中心;(2)确定原图形中各关键点关于位似中心的对应点;(3)顺次连接各对应点得到新图形.
[解析]已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2,A选项中BC与DF不是对应边;B选项中的∠A和∠D是一对对应角,根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A=∠D;根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4;根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2.因此A,B,C选项错误,D选项正确.
2.[2019·重庆A卷]如图29-2,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( )A.2B.3C.4D.5
3.如图29-3,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶6
[解析]∵AD=OA,∴S△ABC∶S△DEF=(OA∶OD)2=1∶4,故选B.
7.如图29-7,利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.5 m,测得AB=2 m,BC=14 m,则楼高CD为 m.
8.如图29-8,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AMB.∵∠ABM=90°,EF⊥AM,∴△ABM∽△EFA.
8.如图29-8,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
【失分点】利用相似确定对应边的比出错.
考向一 相似三角形的判定与性质
例1 [2019·黄冈]如图29-10,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.
证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO, ∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.
例1 [2019·黄冈]如图29-10,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(2)求证:△COE∽△CAB.
(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.
精练1[2019·贺州]如图29-11,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,B=3,DE=4,则BC等于( )A.5B.6C.7D.8
精练4[2016·柳州]如图29-14,以原点O为位似中心,把△OAB扩大到△OCD.求△OAB与△OCD的相似比.
精练5[2014·柳州]如图29-15,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于点F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长;(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
精练5[2014·柳州]如图29-15,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于点F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
考向二 相似图形的综合应用
【方法点析】求函数解析式的问题,一般要转化为求点的坐标的问题,求出图象上点的横、纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
精练1 如图29-17,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
精练2 如图29-19,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是( )A.(2,7) B.(3,7)C.(3,8) D.(4,8)
教材母题——人教九下P43T12如图29-20,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,试确定点D(或E)的位置.
精练2[2019·常德]如图29-22,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是( )A.20D.26
线段的比与比例线段 相似三角形 相似多边形 位似图形
考点一 线段的比与比例线段
1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.2.比例线段:四条线段中,如果其中两条线段的比① 另两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.即四条线段a,b,c,d中,若② ,那么a,b,c,d是成比例线段.
1.定义:对应角相等,对应边⑩ 的两个多边形叫做相似多边形. 2.相似比:相似多边形的比叫做相似比.相似比为1的两个多边形 ⑪ . 3.性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形周长之比等于 ⑫ ; (3)相似多边形面积之比等于 ⑬ .
1.定义:对应角⑭ ,三边对应⑮ 的两个三角形叫做相似三角形. 2.判定:(1) ⑯ 对应相等的两个三角形相似; (2)两边对应⑰ 且⑱ 相等的两个三角形相似; (3)⑲ 对应成比例的两个三角形相似; (4)斜边及一直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
3.性质:(1)相似三角形的对应角⑳ ,对应边㉑ ; (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于㉒ ; (3)相似三角形周长之比等于㉓ ; (4)相似三角形面积之比等于㉔ .
1.定义:如果两个图形不仅相似,并且每组对应点所在的直线经过同一个点,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做㉕ . 2.位似比:两个位似图形的㉖ 叫做位似比. 3.性质:(1)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于㉗ ; (2)位似图形对应点所在的直线经过㉘ ; (3)位似图形对应线段成比例,对应角㉙ . 4.画位似图形的步骤:(1)确定位似中心;(2)确定原图形中各关键点关于位似中心的对应点;(3)顺次连接各对应点得到新图形.
[解析]已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2,A选项中BC与DF不是对应边;B选项中的∠A和∠D是一对对应角,根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A=∠D;根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4;根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2.因此A,B,C选项错误,D选项正确.
2.[2019·重庆A卷]如图29-2,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( )A.2B.3C.4D.5
3.如图29-3,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶6
[解析]∵AD=OA,∴S△ABC∶S△DEF=(OA∶OD)2=1∶4,故选B.
7.如图29-7,利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.5 m,测得AB=2 m,BC=14 m,则楼高CD为 m.
8.如图29-8,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AMB.∵∠ABM=90°,EF⊥AM,∴△ABM∽△EFA.
8.如图29-8,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
【失分点】利用相似确定对应边的比出错.
考向一 相似三角形的判定与性质
例1 [2019·黄冈]如图29-10,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.
证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO, ∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.
例1 [2019·黄冈]如图29-10,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(2)求证:△COE∽△CAB.
(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.
精练1[2019·贺州]如图29-11,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,B=3,DE=4,则BC等于( )A.5B.6C.7D.8
精练4[2016·柳州]如图29-14,以原点O为位似中心,把△OAB扩大到△OCD.求△OAB与△OCD的相似比.
精练5[2014·柳州]如图29-15,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于点F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长;(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
精练5[2014·柳州]如图29-15,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于点F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
考向二 相似图形的综合应用
【方法点析】求函数解析式的问题,一般要转化为求点的坐标的问题,求出图象上点的横、纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
精练1 如图29-17,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
精练2 如图29-19,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是( )A.(2,7) B.(3,7)C.(3,8) D.(4,8)
教材母题——人教九下P43T12如图29-20,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,试确定点D(或E)的位置.
精练2[2019·常德]如图29-22,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是( )A.20D.26
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