人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时19等腰三角形

这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时19等腰三角形，共37页。PPT课件主要包含了课时19等腰三角形，等边对等角，三线合一，等边三角形，两个端点，距离相等，题组一必会题，图19-1，图19-2，图19-3等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形的性质及判定　等边三角形的性质及判定　线段的垂直平分线
考点一　等腰三角形的性质定理及推论
定理:等腰三角形的两个底角相等,简称:①　　 　　. 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.简称②　　 　　. 推论2:等边三角形的各个内角都相等,并且每个角都等于③　　　　. 
考点二　等腰三角形的判定定理
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.
考点三　等边三角形的判定
推论1:三个角都相等的三角形是④　　　 　. 推论2:有一个角是60°的⑤　　　　三角形是等边三角形. 
考点四　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
⑥　　　　于一条线段并且⑦　　　　这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段⑧__________的距离⑨　　　　. 逆定理:到一条线段两个端点的⑩　 　　　的点,在这条线段的垂直平分线上. 
1.如图19-1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点.下列结论不正确的是(　　)A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BD
2.如图19-2,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(　　)A.35°B.40°C.45°D.50°
3.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(　　)A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
[解析]根据等边三角形的判定判断.①两个角为60°,则第三个角也是60°,其是等边三角形,故正确;②这是等边三角形的判定推论,故正确;③三个外角相等,则三个内角相等,其是等边三角形,故正确;④根据等腰三角形三线合一的性质,可得腰长等于底边长,则三边相等,故正确.
4.如图19-3所示,△ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为(　　)A.15°B.30°C.45°D.60°
5.[2019·黔三州]如图19-4,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　　　　. 
[解析]根据题意可得BA=BD.∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°,∠C=36°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.故答案为34°.
6.等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE,则∠EBC的度数为　　　　. 
[解析]如图,∵等腰三角形ABC的底角为72°,∴∠A=180°-72°×2=36°.∵AB的垂直平分线DE交AC于点E,∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=36°.∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°.故答案为36°.
【失分点】当腰与底、顶角与底角不确定时,忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;不能正确添加辅助线.
7.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为(　　)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.2 cm或6 cm
[解析](1)若底边长为2 cm,则腰长为(10-2)÷2=4 cm,4+2>4,符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为2 cm;(2)若腰长为2 cm,则底边长为10-2×2=6 cm,2+2<6,不符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为6 cm舍去.
8.若等腰三角形的一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角可能为(　　)A.50°B.65°C.80°D.50°或80°
[解析]当50°角为等腰三角形的顶角时,此时等腰三角形的顶角为50°;当50°角为等腰三角形的底角时,此时等腰三角形的顶角为180°-50°×2=80°.综上,等腰三角形的顶角为50°或80°.
15°或45°或75°
考向一　等腰三角形的性质
例1 [2016·柳州]求证:等腰三角形的两个底角相等.(请根据图19-5,用符号表示已知和求证,并写出证明过程)已知:求证:证明:
精练证明:等腰三角形两底角的平分线相等.(请根据图19-6,用符号表示已知和求证,并写出证明过程).
考向二　等腰三角形的判定
例2 如图19-7,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.
精练1[2018·桂林]如图19-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是　　　　. 
精练3 如图19-9,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM.
证明:∵CN=AC,∴∠N=∠CAN.∵AB∥CN,∴∠BAM=∠N,∴∠BAM=∠CAM,∴AM为∠BAC的平分线,又∵AB=AC,∴AM为△ABC底边BC上的中线,∴BM=CM.
例3 如图19-10,在等边三角形ABC中,将△ABC沿直线BC向右平移,使点B和点C重合,得到△DCE,连接AE,交CD于点F.猜想CD与AE的关系,并证明你的结论.
【方法点析】理解平移后的图形和原图形全等是解答此类题的关键.
精练1[2016·贺州]如图19-11,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为　　　　. 
精练2 如图19-12所示,已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),CH⊥AB,试求点C的坐标和△ABC的面积.
考向四　线段的垂直平分线
例4 [2019·梧州]如图19-13,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是(　　)A.12D.15
[解析]∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线,∴AE=BE.∵AC=8,BC=5,∴△BEC的周长是:BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.
精练 如图19-14,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠CFE为　　　　度. 
教材母题——人教版八上P77练习T3如图19-15,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
等腰三角形中的角度计算
【方法点析】(1)利用三角形的内角和定理求角的度数是一种常用方法;(2)遇到等腰三角形的问题时,注意边有腰和底之分,角有底角和顶角之分;(3)遇到三角形的高线问题,要考虑高在三角形的内部还是外部两种情况.