数学八年级下册18.1.2 平行四边形的判定优秀ppt课件

教学目标

1.掌握由一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.

3.通过对平行四边形的性质与判定方法的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力.

教学重难点

重点：平行四边形的各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.

难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用.

教学过程

导入新课

1.平行四边形的性质

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.

2.我们上节课学习的平行四边形的判定方法有哪些？

平行四边形的判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

探究新知

教师：我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形才是平行四边形呢？

学生活动：以小组讨论的形式探讨这一问题.

问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例说明.

学生：小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.

问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？

学生：如图1所示，这个四边形EFGH满足一组对边EF，HG相等的条件，但它不是平行四边形.

图1　　　　 　　图2

问题3：请你猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题成立吗？

学生活动： 如图2所示，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.

图3

已知：如图3所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

师生共同分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明两组对边分别相等或平行，通过作辅助线，用全等三角形来证明两组对边相等或平行.

证明：（方法1）如图3所示，连接AC.

∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2.

∵ AB＝CD，AC＝CA，

∴ △ABC≌△CDA（SAS）.∴ BC＝DA.

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

（方法2）如图3所示，连接AC.

∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2.

又∵ AB＝CD，AC＝CA，∴ △ABC≌△CDA.

∴ ∠BCA＝∠DAC，∴ AD∥BC.

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

师生总结：

平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

几何语言：（如图3所示）

在四边形ABCD中，

∵ AB∥CD，AB＝CD，

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

图4

教师强调：同一组对边平行且相等.

新知应用

例1　如图4所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：BE＝DF.

分析：证明BE＝DF，可以证明四边形BEDF是平行四边形，也可以证明两个三角形全等，比一比，哪一种方法更简单.

证明：（方法1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，AD＝BC.

∵ E，F分别是AD，BC的中点，∴ DE∥BF，且DE＝AD，BF＝BC.∴ DE＝BF.

∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

∴ BE＝DF.

（方法2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C.

∵ E，F分别是AD，BC的中点，

∴ AE＝AD，CF＝BC，∴ AE＝CF.

∴ △ABE≌△CDF.∴ BE＝DF.

图5

例2　如图5所示，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝ CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形.

分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△AFD≌△CEB.（2）（方法1）由△AFD≌△CEB得AD＝BC且AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明.（方法2）由△AFD≌△CEB得AD＝BC.由△CDF≌△ABE得AB＝CD.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明.（方法3）如图6所示，连接DB交AC于点O，连接DE，BF.先证四边形DEBF是平行四边形，得OB＝OD，OE＝OF.由AF＝CE得OA＝OC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.

证明：（1）∵ DF∥BE，∴ ∠DFE＝∠BEF.

又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB （SAS）.

（2）（方法1）由（1）知△AFD≌△CEB，

∴ ∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴ AD∥BC，

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

（方法2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴ AD＝BC.

∵ DF∥BE，∴ ∠DFE＝∠BEF.

又∵ ∠DFE+∠DFC＝180°，∠BEF+∠AEB＝180°，

∴ ∠DFC＝∠AEB.

∵ AF＝CE，∴ AC-AF＝AC-CE，∴ CF＝AE.

在△CDF和△ABE中,

∴ △CDF≌△ABE（SAS），∴ AB＝CD.

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

图6

（方法3）如图6所示，连接DB交AC于点O，连接DE，BF.

∵ DF＝BE，DF∥BE，

∴ 四边形DEBF是平行四边形，

∴ OD＝OB，OE＝OF.

又∵ AF＝CE，∴ AF-OF＝CE-OE，∴ OA＝OC.

又∵ OB＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.

鼓励学生用不同的方法完成，并比较哪种方法简单.

课堂小结

1.平行四边形的判定方法：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2.除此以外还有哪些判定方法？

用边来判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

用角来判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

用对角线来判定：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

布置作业

教材第50页习题18.1第4题.

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