中考数学几何模型加强版 模型10 手拉手模型

专题10 手拉手模型

一、单选题

1．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．① B．①② C．①②③ D．①②④

2．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合

B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合

C．沿所在直线折叠后，与重合

D．沿所在直线折叠后，与重合

二、填空题
4．如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填序号）

5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等边三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．

三、解答题

6．如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN．

证明：（1）△ACE≌△DCB；

（2）△ACM≌△DCN；

（3）MN∥AB．

7．如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．

（1）证明：△ADG≌△CDE；

（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；

（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．

8．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．

（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），

①求证：△ABD≌△ACE；

②求证：

（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．

（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．

9．如图，在中，以AB，AC为边向外作等边和等边，连结BE，CF交于点O．

求证：（1）；

（2）AO平分∠EOF．

10．如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）

（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；

（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．

11．如图1，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁做等边三角形和等边三角形，连接和BC相交于点Q，

（1）求证：．

（2）求的度数．

（3）如图2所示，和仍为等边三角形，但和不在同一条直线上，是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论．

12．B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形．求证：BE=AD．

14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：

（1）AD=BE；

（2）填空∠AOE=        °；

（3）CP=CQ；

15．如图1，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连结BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）图2，延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝8时，求PQ的长．

16．如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．

①BD与CE的数量关系为　      　；

②∠BPC的度数为　            　．

（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．

（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．

17．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系， 并给予证明．

18．如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．

（1）求证：AE＝BD；

（2）连接MN，求证：MN∥BE；

（3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由．

19．在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B． C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE=      度；

(2)如图2，

①说明：△ABD≌△ACE．

②说明：CE+DC=BC．

③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．

20．如图，、均是等边三角形，、分别与、交于点、，

求证：（1）；

（2）；

（3）为等边三角形；

（4）．

21．如图，和都是等边三角形，点分别在边上,，

（1）求证：

（2）判断四边形的形状．

22．如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，，连结，，与交于点，与交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面积．

23．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．

（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．

①求证：；

②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．

24．如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由

25．探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

26．如图，已知四边形和四边形都是正方形，且，连接．

（1）求证：；

（2）连接，若//，，求的度数．

27．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．