中考数学几何模型加强版 模型11 构造平行四边形

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一、单选题


1．如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ）





A．13B．10C．12D．5


【答案】B


【分析】


连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．


【详解】


连接BD，交AC于点O，


由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，


∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，


∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，


∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，


又∵ABCD，EFBD


∴DEBG，BDEG


在四边形BDEG中，


∵DEBG，BDEG


∴四边形BDEG是平行四边形


∴BD=EG


在△COD中，


∵OC⊥OD，CD=13，CO=12


∴OD=OB=5


∴BD=EG=10


故选B．





【点睛】


本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．





2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（ ）





A．2B．3C．6D．2或6


【答案】D


【分析】


分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．


【详解】


①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，


则CF=BC-BF=6-2t（cm），


∵AG∥BC，


∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，


即t=6-2t，


解得：t=2；


②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，


则CF=BF-BC=2t-6（cm），


∵AG∥BC，


∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，


即t=2t-6，


解得：t=6；


综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．


故选D．


【点睛】


本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．





二、解答题


3．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．


（1）求证：四边形ADCE是矩形．


（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．


（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．





【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析


【分析】


（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE为矩形；


（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；


（3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形．


【详解】


证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，


∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，


∴∠ADC＝90°，


∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，


∴∠MAN＝∠CAN，


∴∠DAE＝90°，


∵CE⊥AN，


∴∠AEC＝90°，


∴四边形ADCE为矩形；


（2）四边形ABDE是平行四边形，


理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．


又∵AB＝AC，BD＝CD，


∴AB＝DE，AE＝BD，


∴四边形ABDE是平行四边形；





（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，


理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，


∴AD＝CD＝BD，


又∵四边形ADCE是矩形，


∴四边形ADCE是正方形．


【点睛】


本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．


4．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．





（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；


（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=


【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32


【分析】


（1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；


（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论．


【详解】


（1）∠DEF=∠B，理由如下：


延长EF交BC于G，


∵∠BDC=∠EFD，


∴EF∥BD，


∵∠AED=∠ACB，


∴DE∥BC，


∴四边形DEGB是平行四边形，


∴∠DEF=∠B；


（2）∵F是CD边上的中点，S△DEF=4，


∴S△DEC=2S△DEF=8，


∵E是AC边上的中点，


∴S△ADC=2S△DEC=16，


∵D是AB边上的中点，


∴S△ABC=2S△ACD=32．





【点睛】


本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．


5．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．





（1）求证：


（2）如图2，在延长线上，且，求证：





（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．





【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7


【分析】


（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可证明△AEB≌△AFC，即可解答；


（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；


（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得，FK=16，过点A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=,，从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．


【详解】


解：（1）连接AC，如图1，


∵四边形ABCD为菱形，


∴AB=BC，


∵∠B=60°，


∴△ABC为等边三角形，


∴∠BAC=60°，AC=AB，


∴∠BAE+∠EAC=60°，


∵AB∥CD，


∴∠BAC=∠ACP=60°，


∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，


∴∠BAE=∠CAP，


在△AEB和△APC中， ，


∴△AEB≌△APC，


∴BE=CF


∴；





（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H





∵FH∥AB


∴∠H=∠CGH=60°


∴△FHC是等边三角形


∴CF=CH=FH


又∵△ABC是等边三角形


∴CA=CB


∴AF=BH


又∵FB=FE


∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC


在△HBF和△CEF中


∴△HBF≌△CEF


∴BH=EC


∴AF=EC


（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，





∵BK∥FC，FH∥AB


∴四边形KBAF是平行四边形


∴KB=AF=EC=6，


∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16


过点A作AM⊥FH


由（2）可知，∠CFH=60°


∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°


∴MF=,


∴KM=16-3=13


在Rt△AKM中，


∴AO=7．


【点睛】


本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．


6．如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，


（1）求反比例函数和直线AC的解析式；


（2）求△ABC的面积；


（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．





【答案】（1）反比例函数解析式为：y＝；直线AC的解析式为：y＝﹣x+8；（2）3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．


【分析】


（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；


（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；


（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．


【详解】


解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得


k＝xy＝3×4＝12，


故该反比例函数解析式为：y＝，


把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，


可得：，


解得：，所以直线AC的解析式为：y＝﹣x+8；


（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，


∴把x＝6代入反比例函数y＝，得


y＝＝2，


则B（6，2），


所以△ABC的面积＝；


（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．


∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），


∴点D的横坐标为3，yA﹣yD＝yB﹣yC即4﹣yD＝2﹣0，故yD＝2．


所以D（3，2）．


②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．


∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），


∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA＝yB﹣yC即yD﹣4＝2﹣0，故yD′＝6．


所以D′（3，6）．


③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．


∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），


∴xD″﹣xB＝xC﹣xA即xD″﹣6＝6﹣3，故xD″＝9．


yD″﹣yB＝yC﹣yA即yD″﹣2＝0﹣4，故yD″＝﹣2．


所以D″（9，﹣2）．


综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．


【点睛】


本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．


7．如图所示，，是的中点，，，求证．





【答案】见解析


【分析】


延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论．


【详解】


证明：延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，


∵BM＝EM，


∴四边形ABFE是平行四边形，


∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，


∵∠BAC＝∠DAE＝90°，


∴∠CAD＋∠BAE＝180°，


∴∠ABF＝∠CAD，


∵BF＝AE，AD＝AE，


∴BF＝AD，


在△ABF和△CAD中，，


∴△ABF≌△CAD（SAS），


∴∠BAF＝∠ACD，


∵∠BAC＝90°，


∴∠BAF＋∠CAF＝90°，


∴∠ACD＋∠CAF＝90°，


∴∠AHC＝90°，


∴AM⊥CD．





【点睛】


本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解题的关键．


8．如图所示，是的中线，，求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


要证，可设法将、集中到一个图形中，由已知是的中线，故倍长中线可得到平行四边形.


【详解】


证明：延长至，使，连，，


又∵，


∴四边形为平行四边形，





，


.


【点睛】


中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的目的.


9．如图所示，中，是的中点，，，.求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


过作交的延长线于，得四边形为平行四边形，由已知可得△BDF三边长，再由勾股定理可知∠BDF=90°，即可证明结论.


【详解】


证明：过作交的延长线于，





，又，


四边形为平行四边形，


，，


.


，


，


∴.


【点睛】


此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移AE构造△DBF，证出△BDF是直角三角形．


10．如图所示，中，，，分别为，上一点，，，求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


过作，且，连，，则ADBG为平行四边形．再证明，则GE=BE，得△ADF为等腰直角三角形即可证明结论


【详解】


证明：过作，且，连，，则四边形为平行四边形，





∵∠C=90°，


∴∠GAE=∠C=90°，


在△AEG和△CBE中，


，


，


∴GE=BE，∠GEA=∠EBC，


∴∠GEB=90°.


为等腰直角三角形，


∴


【点睛】


本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．


11．如图所示，四边形中，，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


延长FC交AD于点G，可证明四边形CEDG为平行四边形，可得FC=DE=CG，可知BC为△FAG的中位线，可证明AB=FB．


【详解】


证明：如图，延长FC交AD于点G，





∵四边形CDEF为平行四边形，


∴CF∥DE，CF=DE，


又∵CE∥AD，


∴四边形CEDG为平行四边形，


∴CG=DE，


∴CF=CG，且BC∥AG，


∴BC是△FAG的中位线，


∴B为AF的中点，


即AB=FB．


【点睛】


本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．


12．如图所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


要证，可设法将、集中到一个图形中，由已知，故过作，从而得到平行四边形.


【详解】


证明：过作交于，又，





四边形是平行四边形，


，由，


，又平分，


，，又，


，


.


【点睛】


此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用．利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造平行四边形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键．


13．如图所示，四边形中，，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


过作交的延长线于，连结，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证.


【详解】


证明：过作交的延长线于，连结，





∵，


∴四边形是平行四边形，


∴=，


∵四边形是平行四边形，


∴DE∥CF,DE=CF,


∴平行且等于，


∴四边形为平行四边形，


∴，


∴.


【点睛】


本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.


14．如图所示，在三角形中，是中线及角平分线，求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


延长至，使，连结，，证四边形是平行四边形，得到BE=AC，BE∥AC，再证明△ABE是等腰三角形即可.


【详解】


证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，


∵ BC、AE，相互平分，


∴ ABEC是平行四边形，


∴BE=AC，BE∥AC，


∴∠BAD=∠DAC=∠BED，


∴ AB=BE，


∴ AB=AC.





【点睛】


本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.


15．如图所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求证：.





【答案】见解析


【解析】


【分析】


过作 交于，可证四边形为平行四边形，从而，再证明，可证，再证明CE=CF，即可得出结论.


【详解】


证明：过作 交于，





∵，


∴四边形为平行四边形，


∴，


∵∠ACD+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，


∴∠B=∠ACD，


∵，


∴.


∴.


∵平分，


∴∠CAF=∠BAF，


∴.


∴.


又，


∴CE=CF，


∴，


∴.


【点睛】


本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及等腰三角形的的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.


16．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.


求证：BF＝AC．





【答案】证明见解析


【分析】


方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．


方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.


【详解】


方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC





方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，


则.


，，


，


.


，，


，，


又，


，


.





【点睛】


本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.


17．如图，D为ABC的AB边上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD．


（1）当AB=AC时，求证：DE>BC


（2）当AB≠AC时，DE与BC有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．





【答案】（1）见解析；（2）见解析


【解析】


试题分析：


（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；





（2）当ABAC时，我们要分AB>AC和AB

其中：①当AB>AC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；





②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；





③当AB>AC，且AB∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；





④当ABBC.





试题解析：


（１）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），


得□BCFD，从而∠DFC＝∠B，


DF＝BC，CF＝BD．


又BD＝CE，∴CF＝CE，


∴∠1＝∠2．


∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．


而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1


＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，


即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，


∴DE＞DF，即DE＞BC．


（２）当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：


当AB＞AC但AB＝AE时，DE＝BC；


当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；


当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；


当AB＜AC时，DE＞BC．


证明如下：


①当AB＞AC但AB＝AE时（如图2），


∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．


在△ABC和△AED中，


∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，


∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；


②当AB＞AC且AB＞AE时，


延长AE到F，使AF＝AB，


在AB上截取AN＝AC（如图3），连结NF．


在△ABC和△AFN中，


∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，


∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．


∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．


过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结EM，


则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，


∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，


∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，


即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；


③当AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF＝AE，


在AE上截取AN＝AD（如图4），连结NF,


在△AFN和△AED中，


∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，


∴△AFN≌△AED（SAS），


∴∠F＝∠AED，


∵∠ABC＞∠F，


∴∠ABC＞∠AED，


过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接EM，


则四边形DBCM为平行四边形，


∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，


∵BD＝CE，


∴CM＝CE，


∴∠CME＝∠CEM，


∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，


∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，


即∠DME＞∠DEM，


∴ DE＞DM，


∴ DE＞BC；


④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE


延长AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图5）．


连结NF．在△AFN和△AED中，


∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），


∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，


过D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结CM，


则四边形DBCM平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，


∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，


∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，


∴DE＞DM，


∴DE＞BC.


点睛：本题这种由一个“基本情形”（特殊情形）推广到“一般情形”的探究型问题，首要的是要弄清基本问题的解题思路（本题就是把线段BC通过平移到DM的位置，从而使两条分散的线段集中到一个△DME中，再利用“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”来解决问题的）；而在推广到“一般情形”时，就是通过作辅助线把“一般情形”转化为“基本情形”来解（本题中第二问就是按这样的思路来寻找到解题方法的）.


三、填空题


18．如图，在梯形中， ，对角线，且，则梯形的中位线的长为_________.





【答案】5


【解析】


【详解】


解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，





∵AB∥CD，CE∥BD，


∴四边形DBEC是平行四边形，


∴CE=BD，BE=CD


∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC


∵AC⊥BD，CE∥BD，


∴CE⊥AC


∴△ACE是等腰直角三角形，


∵AC=，


∴AE =AC=10，


∴AB+CD =AB+BE=10，


∴梯形的中位线=AE=5，


故答案为：5．


【点睛】


本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．