中考数学几何模型加强版 模型09 有60°和90°角的旋转

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专题09 有60°和90°角的旋转
一、单选题
1．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．

【点睛】
本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

2．如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，
故选D．

3．如图，均为等边三角形，三点共线，且是的中点，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④⑤，其中正确的个数为（ 　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明△ADG≌△EDF，△ABG≌△BCE，然后一一判断即可.
【详解】
解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，
∴DA=DE，DF=DG，∠ADE=∠FDG=∠AED=∠ACB=∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠ADG=∠EDF，∠DAB=∠CAE，
∴△ADG≌△EDF，故①正确，
∴AG=EF,
∴AG= EC,
如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，

∴EC≠AE，EC≠AC，
∴不是等腰三角形, 故②错误，
∵AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF
∴AD+EG＞DF，故③错误．
∵△ADG≌△EDF，
∴∠DEF=∠DAG，
∵∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，
∴∠EAC-∠DEF=∠BCE，
∵∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，
∴∠BAG=∠BCE，故④正确，
∵△ADG≌△EDF，
∴AG=EF=EC,
∵∠BAG=∠BCE，AB=BC
∴△ABG≌△BCE，
∴∠ABG=∠EBC，BG=BE,
∴∠EBG=∠ABC=，
∴为等边三角形,
∴∠BEG =，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】
将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，有△ABC与△ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据△ACE为等边三角形即可求解；
【详解】
解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，

则有△ABC与△ADE全等．
∴AC=AE，∠ABC=∠ADE．
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°．
∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠ABC=180°．
∴C、D、E三点共线．
∴BC+CD=DE+DC=CE．
又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形．
∴△ACE的面积为．
由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积
故选：C
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE．

5．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．
①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC =60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.
【详解】
∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°
∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°
∴DE=BD，AE∥BC；
∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC
故①②③正确
∵△ABC，△BDE为等边三角形，
∴∠BED=∠BAC=60°
又∵对顶角相等
∴∠ADE=∠ABE
∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°
∴∠ADE＝∠DBC．
故④正确
故选：D
【点睛】
题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．

二、解答题
6．（探索发现）
如图①，已知在△ABC中，BAC= 45°，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE相交于F．

（1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC，（用>，<，=填空）；
（2）若ABC=67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由．
（拓展应用）
（3）如图②，在△ABC中，ADBC，垂足为D，已知BAC=45°，C=22.5°，AD= ，求△ABC的面积．
【答案】（1）=；（2）AF=2BD，见解析；（3）8
【分析】
（1）证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AE，证明△CBE≌△FAE（ASA），即可得出结论；
（2）结论：AF=2BD．只要证明△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题；
（3）如图中，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G．只要证明BC=AD，利用三角形面积公式，即可解决问题．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，BEAC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE，
∵ADBC，
∴∠C+∠CBE=∠C+∠FAE=90°，
∴∠CBE =∠FAE，
在△CBE和△FAE中，
，
∴△CBE≌△FAE（ASA），
∴AF=BC；
（2）结论AF=2BD．
理由：∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°，
∴∠C=180-∠BAC-ABC=67.5°，
∴∠C=∠ABC，
∴△ABC是等腰三角形，且AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，
由（1）得：AF=BC=2BD；
（3）如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G．

∵∠AHC=90°，
∴∠HAC=∠HCA=45°，
∴AH=HC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADB=∠BHC=90°，
∵∠ABD=∠CBH，
∴∠GAH=∠BCH，
∵∠AHG=∠CHB=90°，
∴△AHG≌△CHB，
∴BC=AG，
∵∠ACB=22.5°，∠HCA=45°，
∴∠ACD=∠GCD=22.5°，
又∵CD⊥AG，
∴△AGC是等腰三角形，且GC=AC，
∴AD=GD=2，
∴BC=AG=2AD=4，
∴△ABC的面积为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

7．在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D
(1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；
(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；
(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.
【分析】
（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；
（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；
（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．
【详解】
解：（1）如图1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=AC+BD；
（2）如图2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
,
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．
（3）如图3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
,
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，
即CD=BD﹣AC．
【点睛】
此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.

8．（1）（方法探索）如图，在等边中，点在内，且，，，求的长．
小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长．
解：把绕着点顺时针旋转得到，连接，请接着写下去：
（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题
①如图，点在等边外，且，，，若，求度数；
②如图，在中，，，是外一点，连接、、已知，．请直接写出的长．

【答案】（1）10，过程见解析；（2）①30°；②
【分析】
（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，证明△是直角三角形即可解解决问题．
（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，证明．，共线，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
②如图3中，过点作，使得，连接，．证明，推出，求出即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，

由旋转不变性可知，，，，，
，
△为等边三角形，
，，

在△中，，，
．
（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，

是等边三角形，
，，
由旋转不变性可知，，，，，
，
为等边三角形，
，
，
，，共线，
，，，
，
，
，
．
②如图3中，过点作，使得，连接，．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
过点作于，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

9．在中，，点在平面内，连接，并将线段绕顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图，如果点是边上任意一点．则线段和线段的数量关系是__________．

（2）如图，如果点为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；

（3）如图，在中，，，，是线段上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转60°，得到线段，连接．请直接写出线段长度的最小值．

【答案】（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】
（1）先判断出∠BAQ=∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
（2）结论BQ=PC仍然成立，理由同（1）的方法；
（3）先构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ=HP，进而判断出要使EQ最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，最后用解直角三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）由旋转知：AQ=AP，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：相等．
（2）仍成立，理由如下：
证明：由旋转知：AQ=AP，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）如图：

在DF上取一点H，使，连接ＰＨ，过点Ｈ作于Ｍ，由旋转知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，
∴当（点P和点M重合）时，HP最小，
即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，
过点E作于G，在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即：EQ的最小值为．
【点睛】
本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．

10．已知在中，，，于．

（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
（2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②．
【分析】
（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；
②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】
（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，

由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，
，
又，
．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．

11．如图，BC为等边△ABM的高，AB＝，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD．
（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD；
（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD；
（3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP＝5
【分析】
（1）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．
【详解】
（1）如图①，连接AD

∵△ABM是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（2）如图②，连接AD

∵△AMB是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
在△BAP与△MAD中
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（3）∵BC为等边△ABM的高
∴∠ABC＝30°
∵△BAP≌△MAD
∴∠ABP＝∠AMD＝30°
∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°
∴∠BMD＝90°
∵∠BDM＝30°
∴∠DBM＝60°
∴点D在BA的延长线上
如图③

∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°
∴BD＝2BM＝10
∴AD＝BD﹣AB＝5
∵PA＝PD＝AD
∴AP＝AD＝5．
【点睛】
本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．

12．如图，在等腰中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD．
（1）求证：；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据E点绕A点逆时针旋转90°到AD，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，进而可以证明△ABE≌△ACD；
（2）结合（1）△ABE≌△ACD，和等腰三角形的性质，可得∠DCE＝90°，再根据勾股定理即可求出DE的长．
【详解】
（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵AC＝AB，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∠DCA＝∠ABE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4＝CD，
∴DE＝＝2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

13．综合与实践
如图1，在等边三角形中，点在内部，且猜想三条线段之间有何数量关系，并说明理由．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

（1）想法一：在图1中，将绕点按逆时针方向旋转得到连接寻找三条线段之间的数量关系；
（2）想法二：在图2中，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接寻找三条线段之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将绕点按逆时针方向旋转得到可证明是等边三角形和是直角三角形，依据勾股定理可得结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到连接，可证明，进一步证明是等腰直角三角形和是直角三角形，运用勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）．

证明：如答图1，将绕点按逆时针方向旋转得到
则，，
是等边三角形，


∴是直角三角形，
在中，

．

证明：如答图2，将绕点逆时针旋转得到连接

，
在中，

根据勾股定理得，


是直角三角形，


．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

14．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．

【点睛】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．

15．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°，重复①的操作，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（2）如图3，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）①EF=BE+DF，②成立，见解析；（2）
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】
（1）①如图1，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G共线，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB=AC=，
，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
由勾股定理得：BC=，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．

则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF=DE，
设DE=，则DF=，
∵BC=4，
∴BF=CE=，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：，即，
解得：，
即DE=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．

16．如图1，已知△ABC是边长为8的等边三角形，∠EBD＝30°，BE＝DE，连接AD，点F为AD的中点，连接EF．将△BDE绕点B顺时针旋转．
（1）如图2，当点E位于BC边上时，延长DE交AB于点G．
①求证：BG＝DE；
②若EF＝3，求BE的长；
（2）如图3，连接CF，在旋转过程中试探究线段CF与EF之间满足的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②2；（2）EC＝EF，EC⊥EF，见解析
【分析】
（1）①想办法证明△BEG是等边三角形即可解决问题；②利用三角形的中位线定理求出AG，再求出BG即可解决问题．
（2）结论：EC＝EF，EC⊥EF．延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．证明图中，红色三角形全等，推出△CFK是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠GBD＝∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BGD＝60°，
∴△BEG是等边三角形，
∴BG＝BE，
∴BG＝ED．
②解：由①可知，BG＝GE＝BE＝DE，
又∵AF＝DF，
∴AG＝2EF＝6，
∵AB＝8，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2，
∴BE＝BG＝2．
（2）结论：EC＝EF，EC⊥EF．
理由：如图2中，延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．

∵FB＝FD＝FN，
∴∠DBN＝90°，
∵∠DBF＝30°，
∴∠FBN＝60°，
∴△FBN是等边三角形，
∴BN＝BF，
∵∠ABC＝∠NBF＝60°，
∴∠ABN＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABN≌△CBF（SAS），
∴AN＝CF，
∵FN＝DF，AE＝ED，
∴EF∥AN，AN＝2EF，
∵2EF＝FK，
∴AN＝FK，AN∥FK，
∴四边形ANFK是平行四边形，
∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，
∴∠CAK＝∠M，
∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，
∴∠M＝∠OBN，
∴∠ABN＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABN≌△CAK（SAS），
∴AN＝CK，
∴CF＝CK＝FK，
∴△CFK是等边三角形，∠CFE＝60°
∵2EF＝FK，
∴CE⊥FK，
∵∠EFC＝60°，
∴tan∠CFE＝＝，
∴EC＝EF，EC⊥EF．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，准确应用等边三角形的性质进行分析是关键．

17．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：AC•DF＝BD•BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．

【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）证明△ABD≌△BCE（SAS），得出∠BAD＝∠CBE，则∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；
（2）证明△ADB∽△BDF，得出，由AB＝AC可得出结论；
（3）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，证明△BAF≌△CAH（SAS），得出∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，可证明AF∥CH，得出，进而即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，
∴∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；
（2）证明：由（1）知∠BAD＝∠DBF，
又∵∠ADB＝∠BDF，
∴△ADB∽△BDF，
∴，
又AB＝AC，
∴，
∴AC•DF＝BD•BF；
（3）证明：延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，

由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH＝60°，AF＝AH，
∴∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，
即∠BAF＝∠CAH，
在△BAF和△CAH中，
,
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，
又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠ABF＝∠CAF，
∴∠ACH＝∠CAF，
∴AF∥CH，
∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，
∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，
∴FH＝2CH，
∴FH＝2BF，
∵FD∥CH，
∴，
∴BD＝DC．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．

18．以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是 ；
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由．

【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，证明见解析；（3）∠EGD不发生变化．
【分析】
（1）利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；
（2）利用长方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不会发生变化，是一个定值，为60°．
【详解】
解：（1）EB＝FD，
理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，
∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，
∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，
∴∠FAD＝∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB＝FD；
（2）EB＝FD．

证：∵△AFB为等边三角形
∴AF＝AB，∠FAB＝60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°
∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，
即∠FAD＝∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB＝FD；
（3）解：不会发生改变；

同（2）易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB＝∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，
∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF
＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°
＝60°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．

三、填空题
19．已知：如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边、上的点，若，，且，则的长为__________．

【答案】
【分析】
连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF= =5cm．
【详解】
解：连接EF，

∵OD=OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD
∴∠COF+∠DOF=90°
∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，
根据勾股定理得到EF==5cm．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键．


20．如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为_____．

【答案】25
【分析】
由题意可证△ADF≌△ABE，即可得S△ABE=S△ADF，即S四边形AECF=S正方形ABCD=AB2=25．
【详解】
解：∵正方形ABCD与直角三角板放置如图，

∴∠BAD＝∠EAF＝90°，
即∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABE＝90°，AD＝AB，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝52＝25．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点．若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为______．

【答案】
【分析】
把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，再求出∠BDC即可得解．
【详解】
解：如图，

把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADP，
由旋转的性质得，△ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，∠ADB=∠APC=135 ，
所以，

，

故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．

22．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为则正方形ABCD的面积为________

【答案】
【分析】
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
【详解】
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．

∵BP=BM=，∠PBM=90°，
∴PM=PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2+1，
∴AB2=AH2+BH2=（2+1）2+12=14+4，
∴正方形ABCD的面积为14+4．
故答案为14+4．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

23．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为__________.

【答案】
【分析】
把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，再利用“边角边”证明△AEF和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，

∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠B=45°，
由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAE，
在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴EF=DE，
∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴EF= =5，
∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴点A到BC的距离为×12=6，
∴△ABC的面积=×12×6=36．
故答案为：36.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

24．如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_______．

【答案】8
【分析】
过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．
【详解】
解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E

∵旋转 ∴AB=AB'，∠BAB'=90°
∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°
∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'
∴△ABC≌△B'AE（AAS）
∴AC=B'E=4
∴S△AB'C=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．