数学北师大版第一章 三角形的证明1 等腰三角形优秀一课一练

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1．如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是( C )


A．AB＝AC，∠B＝∠C


B．AD⊥BC，BD＝CD


C．BC＝AC，∠B＝∠C


D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD





2．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点则图中共有等边三角形( D )


A．2个 B．3个 C．4个 D．5个





3．下列三角形：


①有两个角等于60°的三角形；


②有一个角等于60°的等腰三角形；


③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；


④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．


其中是等边三角形的有( D )


A．①②③ B．①②④


C．①③ D．①②③④


4．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( A )


A．等边三角形


B．腰和底边不相等的等腰三角形


C．直角三角形


D．不等边三角形





5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是( C )


A．BD＝eq \f(1,2)BC B．BD＝eq \f(1,3)BC


C．BD＝eq \f(1,4)BC D．BD＝eq \f(1,5)BC


6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )


A．BD＝CD B．BD＝2CD


C．BD＝3CD D．BD＝4CD





7．【中考·西宁】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( D )


A．∠CAD＝30° B．AD＝BD


C．BD＝2CD D．CD＝ED





8．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( D )


A．1 B．2 C．3 D．4





9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，且DE交BC于点E，垂足为D，若BE＝6 cm，则AC等于( D )


A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm


【点拨】∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.


∴∠B＝∠BAE.∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.


在△AEC中，∠C＝90°，∠AEC＝30°，


则AC＝eq \f(1,2)AE＝eq \f(1,2)BE＝3 cm.


【答案】D


10.【2019·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( C )


A．12 B．15 C．18 D．21





11．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是( D )


A．直角三角形 B．钝角三角形


C．等腰直角三角形 D．等边三角形


【点拨】如图，连接PP1，PP2，PO.∵点P1与P关于OB对称，∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.∴△OP1P2为等边三角形．


本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．


【答案】D





12.(2019·宜昌)如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( B )


A．(－1，2＋eq \R(3)) B．(－eq \R(3)，3) C．(－eq \R(3)，2＋eq \R(3)) D．(－3，eq \R(3))





【点拨】如图，作B′H⊥y轴于点H.


由题意得OA′＝OA＝AB＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，


∴∠A′B′H＝30°.∴A′H＝eq \f(1,2)A′B′＝1.∴B′H＝eq \r(3).


∴OH＝3.∴B′的坐标是(－eq \r(3)，3)．


【答案】B


二．填空题


13.如图,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是___等边三角形____.





14.(教材P12随堂练习改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为___3_____.





解析：∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠B＝30°，∴BC＝2BD＝2.同理，AB＝2BC＝4.∴AD＝AB－BD＝3.


如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3 cm，则BC的长为__9cm___.





解析：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴CD＝2AD，∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝30°.∴∠BAD＝∠B.∴BD＝AD.∴BC＝BD＋CD＝3AD＝9(cm)．


16．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝PQ＝CQ＝AP＝AQ.∠BAC=___120°____．





解析：∵PQ＝AP＝AQ，∴∠2＝∠4＝∠5＝60°.


∵AP＝BP，∴∠1＝∠B.


又∵∠4＝∠1＋∠B，∴∠1＝eq \f(1,2)∠4＝30°.


同理，∠3＝30°.∴∠BAC＝∠1＋∠2＋∠3＝120°.


三．计算证明题


17．如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°.求证：△ABC为等边三角形．





证明：∵HB＝HC，∴∠CBH＝∠BCH.


∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFC＝∠BEC＝90°，


∴∠ABC＋∠BCH＝90°＝∠ACB＋∠CBH，


∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.


又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．


18．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.


(1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长．





【点拨】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP＋PE代入数据进行计算即可．


证明：（1）∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.


又∵AE＝CD，


∴△ABE≌△CAD.


∴BE＝AD.


（2）：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.


∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.


又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.


∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.


∴AD＝7.


19．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.


(1)若AD＝2，求AF的长；


(2)当AD取何值时，DE＝EF?








解：（1）由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°.


∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.


∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°.


∴BE＝eq \f(1,2)BD＝3.∴EC＝8－3＝5.


∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.


∴FC＝5×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2). ∴AF＝8－eq \f(5,2)＝eq \f(11,2).


（2）：当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，


∴BE＝CF，BD＝CE.


∵CF＝eq \f(1,2)CE，∴BE＝eq \f(1,2)CE.


又∵BE＋CE＝8，∴CE＝eq \f(16,3). ∴BD＝eq \f(16,3). ∴AD＝eq \f(8,3).


即当AD＝eq \f(8,3)时，DE＝EF.


20．【2020·荆门】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F.


(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；


(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．





【思路点拨】求出∠ABC＝70°，由平分线性质得∠ABD＝∠DBC＝35°，由AF⊥AB，得∠BAF＝90°，由三角形外角性质可求得∠AFE度数；


解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，


∴∠ABC＝eq \f(1,2)(180°－40°)＝eq \f(1,2)×140°＝70°.


∵BD平分∠ABC，


∴∠ABD＝∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×70°＝35°.


∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，


∴∠AFE＝∠ABD＋∠BAF＝35°＋90°＝125°.


【思路点拨】易证△ADE≌△CDB(AAS)，得出AE＝BC，易证∠E＝∠ABD，得出AB＝AE，则△ABC是等边三角形，得∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF.


（2）：∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC.


又∵∠ADE＝∠CDB，AD＝CD，


∴△ADE≌△CDB(AAS)．∴AE＝BC.


∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD.


∴AB＝AE.∴AB＝BC.


又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC.


∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.


∴∠ABF＝30°.


∵AD＝DC＝2，∴AB＝AC＝4.


∵在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，


∴BF＝2AF.


∵AB2＋AF2＝BF2，∴16＋AF2＝4AF2.∴AF＝eq \f(4\r(3),3).


21．【2020·烟台】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.


【问题解决】


如图①，若点D在边BC上，


求证：CE＋CF＝CD.


【类比探究】


如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．





证明：（1）在CD上截取CH＝CE，连接EH，如图①所示．


∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，


∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.


∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，


∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，


∴∠DEH＝∠FEC，∴△DEH≌△FEC(SAS)，


∴DH＝CF，∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，即CE＋CF＝CD.





图3


（2）：线段CE，CF与CD之间的数量关系是


CF＝CD＋CE.理由如下：


∵△ABC是等边三角形，


∴∠A＝∠B＝60°，


过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示．


∵DG∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，


∴∠GDC＝∠DGC＝60°，


∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG.


∵△EDF为等边三角形，


∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，


∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝CF，


∴CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE.