初中第十八章 平行四边形综合与测试优秀课后测评

小专题(四)　特殊平行四边形的性质与判定

1．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.

(1)求证：△ACD≌△EDC；

(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．

2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．

3．(2017·张掖)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

4．(2016·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

5．(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

6．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.

 (1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．

图1　　　　　　　　图2

7．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；

(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．

小专题(四)　特殊平行四边形的性质与判定

1．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.

(1)求证：△ACD≌△EDC；

(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.

由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ADC＝90°，DC＝AB，

∴AD＝EC.

在△ACD和△EDC中，

∴△ACD≌△EDC(SAS)．

(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：

∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE.

∴△BDE是等腰三角形．

2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

又∵CF＝AE，

∴BE＝DF.

又∵BE∥DF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.

∴四边形BFDE是矩形．

(2)∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.

在Rt△BFC中，由勾股定理，得

BC＝＝＝10.

∴AD＝BC＝10.

又∵DF＝10，∴AD＝DF.

∴∠DAF＝∠DFA.

∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.

∴∠DAF＝∠FAB.

∴AF是∠DAB的平分线．

3．(2017·张掖)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.

∴∠OBE＝∠ODF.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴EO＝FO.

又∵OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．

(2)∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.

设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x.

在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，

∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝.

∵BD＝＝2，

∴OB＝BD＝.

∵BD⊥EF，∴EO＝＝.

∴EF＝2EO＝.

4．(2016·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

解：(1)证明：∵四边形

ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BAE

＝∠DCF.

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS)．

(2)四边形BEDF是菱形．理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵AE＝CF，∴DE＝BF.

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴BO＝DO.

在△BGD中，∵BG＝DG，BO＝DO，∴GO⊥BD.

∴四边形BEDF是菱形．

5．(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.

又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BE＝DF.

在△BCE和△DCF中，

  ∴△BCE≌△DCF(SAS)．

(2)当AB与BC满足AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：

∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.

又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.

同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．

∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，

∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．

∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.

∴四边形AEOF为正方形．

6．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.

图1　　　　　　　　图2

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．

证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.

∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.

∴∠FAE＝∠CED.

∴AF∥EC.

又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，

∴∠AOE＝∠BEC＝90°.

∴∠AOE＝∠AOB＝90°.

在△ABO和△AEO中，

∴△ABO≌△AEO(ASA)．

∴BO＝EO.

同理可得△ABO≌△FBO，

∴AO＝FO.

∴四边形ABFE是平行四边形．

又∵AF⊥BE，

∴平行四边形ABFE是菱形．

7．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；

(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．

解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.

由题意，得EF＝AC，EH＝

BD，GH＝AC，GF＝BD，

∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：

∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝AC.

同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.

又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.

∴四边形EFGH是正方形．