还剩97页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年中考数学专项汇编
成套系列资料，整套一键下载
2023年中考数学专项汇编 专题 平行四边形的性质与判定
展开
这是一份2023年中考数学专项汇编 专题 平行四边形的性质与判定，共100页。
专题 平行四边形的性质与判定
【题型目录】
题型一 利用平行四边形的判定定理证明
题型二 利用平行四边形的性质求角度
题型三 利用平行四边形的性质求长度
题型四 利用平行四边形的性质求面积
题型五 平行四边形中的最值问题
题型六 平行四边形中的翻折问题
题型七 平行四边形的存在性问题
题型八 平行四边形的性质与判定综合题型
【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】
【知识归纳】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【例1】（2022秋·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）如图，，，和相交于点O，E，F过点O且与，分别交于点E，F，则图中全等三角形的组数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知，P、F是、上一点．
(1)用尺规作图法作；
(2)若，，，求与的距离．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（ ）度．
A．60 B．65 C．70 D．75
【变式训练】
【变式1】（2021·山东烟台·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，则∠CED的度数为（ ）
A．12° B．15°
C．18° D．20°
【变式2】（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰中，，，将绕点A逆时针旋转一定角度（）得到，点B、C的对应点分别是D、E．连接交于点F，连接交于点G．
(1)用含的代数式表示的度数；
(2)当时，求的长．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
(1)【问题】填空： ；
(2)当时，求的值；
(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【变式训练】
【变式1】（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
【变式2】（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）在四边形中，，，，，，点为的平分线上一点，连接，且，连接，则的面积为________．
【变式3】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
(3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2021秋·八年级单元测试）如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【变式2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【变式3】（2021·辽宁本溪·统考模拟预测）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．
（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022·安徽合肥·统考二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点M在直线上，点N在边上，连接，将沿直线翻折，点D的对应点E恰好在边上，当最大时，_____．
【变式3】（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【经典例题七 平行四边形中的存在性问题】
【例7】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
【变式1】（2022春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．3 B．3或5 C．5 D．4或5
【变式2】（2022春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒
(1)______，______，（分别用含有的式子表示）；
(2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值
【经典例题八 平行四边形的性质与判定综合问题】
【例8】（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
【变式3】（2022春·广东佛山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【培优检测】
1．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．10
2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（ ）
A．36 B．48 C．63 D．75
3．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，点E在上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，在平行四边形中，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ）
A． B． C． D．36
7．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·山东东营·八年级校考期中）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为_______．
10．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为___________.
12．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是__________．
13．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
14．（2022·全国·八年级专题练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
15．（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知是等边三角形，D是边上的一个动点（点D不与B，C重合）是以为边的等边三角形，过点F作的平行线交射线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当面积最少时，在图中以B为原点建立直角坐标系，设，求和的交点坐标．
16．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ．
(2)如图2，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标．
17．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】
(1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，．
①求证：是直角三角形；
②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
18．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
20．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【例1】（2022秋·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）如图，，，和相交于点O，E，F过点O且与，分别交于点E，F，则图中全等三角形的组数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据已知易得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵平行四边形的对边相等，对角线相互平分，
∴，
∵，
∴，
根据对顶角相等有，，
∴，，，，，．
故图中的全等三角形共有6对．
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质等，常用的判定方法有等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定，性质和三角形全等的判定定理，判断选择即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，MD∥FB，BN∥ED．
因为EF∥BD，
所以四边形BFMD、四边形BNED都是平行四边形，
所以BF=DM，BN=DE，BD=FM=NE，
所以FM-MN=EN-MN即FN=EM，
所以
所以①④正确；
因为AD=BC=AM+MD=AM+BF，
所以③正确；
无法证明，
所以②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握销售部小的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【答案】
【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，
∵D是边上的中点，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知，P、F是、上一点．
(1)用尺规作图法作；
(2)若，，，求与的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定，作，得到，在上取点E，使连接EF即可作出；
（2）过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离，
，
，
，
，
，
即与的距离为．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（ ）度．
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】B
【分析】由DE＝2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．
【详解】解：如图，取DE中点O，连接AO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∴∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°，
∴∠AED＝65°．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），难度较大，解题的关键是取DE中点O以及方程思想的应用．
【变式训练】
【变式1】（2021·山东烟台·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，则∠CED的度数为（ ）
A．12° B．15°
C．18° D．20°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠CBD=36°，∠ABD=36°，证得四边形ABED是平行四边形，得到∠BDE=∠DEB=36°，再推出∠ACB=∠CBE=72°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ABC==72°，
又∵BC＝BD，
∴∠ACB=∠BDC=72°，
∴∠CBD=36°，∠ABD=36°，
∵DE∥AB，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠DEB=∠A=36°，∠BDE=∠ABD=36°，
∴∠BDE=∠DEB=36°，
∴BD= BE，
∵BC＝BD，
∴BC＝BE，
∵AC∥BE，
∴∠ACB=∠CBE=72°，
∴∠BCE=∠BEC==54°，
∴∠CED=∠BEC-∠DEB=54°-36°=18°．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2】（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【答案】24
【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答．
【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由绕点B逆时针旋转所得且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰中，，，将绕点A逆时针旋转一定角度（）得到，点B、C的对应点分别是D、E．连接交于点F，连接交于点G．
(1)用含的代数式表示的度数；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求，由等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）∵将绕点A逆时针旋转一定角度α（）得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，作交的延长线于H，连接，证明，四边形是平行四边形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作交CF的延长线于H，连接．
，
，，
，
，
，
，，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．
【详解】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵DF＝CD，AE＝AB，
∴DF平行且等于AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝1cm，
∵AB＝2AD，
∴AB＝2cm，
∵AB＝2AD，AB＝2AE，
∴AD＝AE，
∴∠1＝∠4，
∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，
∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵AE＝BE，
∴DE＝BE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，
∴（cm），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，比较复杂，综合性较强，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．
【变式2】（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．
【答案】12
【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴BO＝DO＝6，AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝30°，
∴AO＝2DO＝12，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝AO＝12，
如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK，
∴四边形DPQK为平行四边形，
∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，
此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，
∵DK=PQ=BD=12，
∴△BDK是等边三角形，
∴BK=DB=12，
∴DP+BQ的最小值为12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
(1)【问题】填空： ；
(2)当时，求的值；
(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，是定值
【分析】（1）由线段和差关系可求解；
（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的值；
（3）过点作交延长线于点连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得；
【详解】（1）解：∵ 是边长为的等边三角形，
∴ ，
设 ，
则 ，
，
（2）解：
，
解得：
（3）解：线段的长度不改变，
如图：过点作交延长线于点连接
∵点 速度相同，
是等边三角形，
，
∴四边形是平行四边形，
【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【详解】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE=2，AF=4，
∴BC•AE=AB•AF，
∴BC=2AB．
又∵AB+BC=9，
∴AB=3，BC=6，
∴四边形ABCD的面积=2×6=12；
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC=2AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据中点的定义可得CE=EF，BD=CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠DCE，利用ASA可证明△AFE≌△DCE，可得AF=CD，即可得出AF=BD，可证明四边形AFBD是平行四边形，可得S△AFB=S△ADB，根据三角形中线的性质可得S△ADB=S△ADC，即可得出S平行四边形AFBD=S△ABC，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】∵点D，E分别是BC，AD的中点，
∴CE=EF，BD=CD，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AFE和△DCE中，，
∴△AFE≌△DCE，
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S△AFB=S△ADB，
∵点D为BC中点，
∴S△ADB=S△ADC，
∴S△AFB=S△ADC，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC，
∵，，，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC=AB·AC=12，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形中线的性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）在四边形中，，，，，，点为的平分线上一点，连接，且，连接，则的面积为________．
【答案】6
【分析】过点D作DF⊥BC，连接BD，根据平行线的判定和性质得出DF=AB=4，再由等边对等角确定∠BEC=∠BCE，利用各角之间的关系及平行线的判定及性质得出BE∥DC，∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，结合图形求解即可．
【详解】解：过点D作DF⊥BC，连接BD，如图所示，
∵AD∥BC，∠A=90，
∴∠ABC=90，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90，
∴DF∥AB，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF=AB=4，
∵BE=BC=3，
∴∠BEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BEC，
∴BE∥DC，
∴∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，
∴，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的计算，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式3】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
(3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)12
(3)8或
【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；
（2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据即可求解．
（3）画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出BC和推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出的面积．即可求出△ABC的面积
（1）
∵ADBC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
则AO是△ABF的中线．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）
∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴，
∵△AOF≌△EOB，
∴，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴，
∴=×4×1=2，
∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12；
（3）
分为两种情况：①如图1所示：
∵．
∴AD=BD=AB=4，
∵沿CD折叠A和重合，
∴AB=×8=4，
∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴
∴DO=OB，O=CO，
∴四边形DCB是平行四边形，
∴BC=D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8
②如图2所示：
∵．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=D=AB=×8=4，
∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴，
∴DO=O，BO=CO，
∴四边形BDC是平行四边形，
∴C=BD=4，
过C作CQ⊥D于Q，
∵C=4，∠DC=∠BAC=30°，
∴CQ=C=2，
∴；
即△ABC的面积是8或8．
故答案为：8或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2021秋·八年级单元测试）如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，
∴OD∥AB，
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【答案】 平行四边形 ##
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【详解】解：如图，∵AQBC，CQAP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，
∴AC=2，∠ACB=45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC=，
∴PQ=，
∴QC=，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=，
故答案为：平行四边形；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
【变式3】（2021·辽宁本溪·统考模拟预测）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．
（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．
【答案】（1），（2）成立，理由见解析；（3）当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．
【分析】（1）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（2）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（3）由GH=GF，GF=BD，可得GF=BD，则当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB-AD=2，即GF最小值为，当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB=6，即GF最小值为3，即可求解．
【详解】（1），
理由如下：连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，
∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°．
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．
又∵∠ACE+∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠CEA＝90°，
∴∠BNE＝90°，
∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，
∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．
∴CF＝FH，∠ENB＝∠FOB＝∠GFH＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴GH＝GF；
（2）连接EC，FH，BD，EC交BD于点I，交GF于点M，FH交BD于N，
∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAB+∠DAC＝∠EAD+∠DAC．
∴∠EAC＝∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．
又∵∠AOB＝∠COI，
∴∠OIC＝∠BAO＝90°，
∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，
∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．
∴GF＝FH．四边形FMIN是平行四边形，
∴∠MFN＝∠MIN＝180°﹣90°＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴；
（3）∵GH＝GF，GF＝BD，
∴GF＝BD，
∴当BD有最大值时，GF有最大值，当BD有最小值时，GF有最小值，
∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB﹣AD＝2，即GF最小值为，旋转角的度数为270°；
当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．
【点睛】几何综合性题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题关键是正确作出辅助线．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022·安徽合肥·统考二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由D为AB的中点，得到AD＝BD＝AB＝，，由△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，则A'D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，，从而＝，点与点B到DP的距离相等，得到A′B//DP，四边形A'BPD是平行四边形，得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AC＝1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝，，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，
∴，
∴＝
∴点与点B到DP的距离相等，
∴ A′B//DP
∵A′B＝DP，
∴四边形A'BPD是平行四边形
∴BP＝A'D＝，
故选：B
【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由矩形和折叠可知，
,
,
,
在与中，
,
,
,
在中：
,
解得：,
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点M在直线上，点N在边上，连接，将沿直线翻折，点D的对应点E恰好在边上，当最大时，_____．
【答案】
【分析】根据点N在边上，当最大时，最小，由翻折可得，时，最小，作于点F，证明四边形是正方形，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：点N在边上，当最大时，最小，
由翻折可知：，
时，最小，
如图，作于点F，
在平行四边形中，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形，正方形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式3】（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据点的坐标可得，，由折叠可得，利用勾股定理求出，则点，根据即可求出点E坐标；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（3）分当点在轴负半轴、点在轴正半轴两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
由折叠可知：，
则，
则点，
，
，
故点；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
，，
故直线的表达式为：；
（3）①当点在轴负半轴时，
，则点；
当时，点；
②当点在轴正半轴时，
，故点；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及勾股定理的运用、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【经典例题七 平行四边形中的存在性问题】
【例7】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定．
【详解】A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意；
B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意；
C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意；
D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
【变式训练】
【变式1】（2022春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．3 B．3或5 C．5 D．4或5
【答案】B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD=12cm，
∵AF=6cm，
∴AD=18cm，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BC=AD=9cm，
要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则PF=EQ即可，
设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，
解得：t=3或t=5．
经检验：由P的最长运动时间为 所以t=3或t=5符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【变式2】（2022春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【答案】
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得不合题意舍去，
综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒
(1)______，______，（分别用含有的式子表示）；
(2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值
【答案】(1)
(2)3
(3)3或或．
【分析】（1）设运动时间为t秒，则即可；
（2）由题意可得，则，，四边形和是同高，因此根据梯形面积公式列式求解即可；
（2）设t秒后四边形或或是平行四边形,然后根据平行四边形的性质列出方程解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
∴设运动时间为t秒，则．
故答案为：．
（2）解：设运动时间为t秒，则，
∵，
∴，，
∵四边形的面积是四边形面积的2倍时，且四边形和四边形等高
∴，即，解得：．
答：边形的面积是四边形面积的2倍时，则运动时间为3秒．
（3）解：当四边形是平行四边形时，
∵
∴PD=CQ，即，解得：
当四边形是平行四边形时，
∵
∴，即，解得：
当四边形PDQB是平行四边形时，
∵
∴，即，解得：．
综上所述，综上所述，t的值为3或或．
【点睛】本题主要考查了四边形动点问题、列代数式、平行四边形的性质与判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【经典例题八 平行四边形的性质与判定综合问题】
【例8】（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
【答案】B
【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．
【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵CC1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF，
∴C2F．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【答案】B
【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，即，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，
∵，，
设，则，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
【答案】或
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，
由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，
∴，
由题意得，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，
同理可得，，
，
，
，
∴点P与点C重合，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式3】（2022春·广东佛山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(-m，0)， B（，0），P(，)
(2)
PA的表达式为：
PB的表达式为：
(3)存在；D1，D2， D3．
【分析】(1)A点是直线y=x+m与x轴的交点．令y=0，求出x即可得到A点的横坐标．B点是直线y=－3x+n与x轴的交点，令y=0，求出x即可得到B点的横坐标．联立y=x+m 与 y=－3x+n，求出P点坐标即可．
（2）根据，把n表示成，再把p点坐标表示成P()．根据四边形PQOB的面积=△ABP的面积－△AOQ的面积列方程求出m，从而求出n，最后带入PA，PB的表达式中即可
（3）过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．根据平行四边形的对边平行且相等很容易得到D1、D2的坐标，根据两直线平行斜率相同，得到AD3、BD3的表达式，再把这两个表达式联立起来解方程组得到D3的坐标
（1）
在直线中，令y=0，得
∴点A(-m，0)
在直线中，令y=0，得
∴点B（，0）
由 得
∴点P(，)
（2）
∵
∴
得
∴
∴P()
∵S四边形PQOB=S△ABP- S△AOQ =
∴
解得
∵m>0
∴m=4
∴
∴
∴PA的表达式为：
PB的表达式为：
（3）
存在
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．
①∵PD1∥AB，BD1∥AP
∴四边形PABD1是平行四边形，此时PD1=AB，易得D1；
②∵PD2∥AB，AD2∥BP
∴四边形PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得D2；
③∵BD3∥AP，AD3∥BP
∴四边形BPAD3是平行四边形
∵BD3∥AP且B（2，0）
∴yBD3=x-2．同理可得yAD3= -3x-12
得
D3
综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形
D1；D2； D3
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了两条直线的交点问题和坐标与图形的性质，三角形的面积，用待定系数法求一次函数解析式，已知三点求平行四边形的第四个点的坐标 ．解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【培优检测】
1．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．10
【答案】B
【分析】根据的周长是，得到，，结合，得到直线是线段的垂直平分线，得到，根据的周长为计算即可．
【详解】解：的周长是，
，，
，
直线是线段的垂直平分线，
，
的周长为，
的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（ ）
A．36 B．48 C．63 D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解：平行四边形的周长为60，
，
设为x，
，
，解得：，
的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底高．
3．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出的值，求出和的值，相加即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
①如图：
由平行四边形面积公式得：，
求出，，
在和中，由勾股定理得：，
把代入求出，
同理，即F在的延长线上（如上图），
∴，，
即；
②如图：
∵，在中，由勾股定理得：，
同理，
由①知：，，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，点E在上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．（2021春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，在平行四边形中，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质证明，进而证明得到，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ）
A． B． C． D．36
【答案】A
【分析】根据图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可求出▱ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E，
由图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12，
∴AB=BD
∵BE⊥AD
∴，
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，等腰三角形三线合一，勾股定理，平行四边形的面积，弄清横轴和纵轴表示的量以及运用数形结合的思想解题确定AB、AD的长是解答本题的关键．
7．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，由平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，推出 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵将四边形沿翻折，得到四边形，
，
，
即，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
8．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离．
【详解】解：作于，
，，，
，，
，
，
，，
的中点为，
平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，
把代入得，，解得，
，
平移距离为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键．
9．（2022秋·山东东营·八年级校考期中）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为_______．
【答案】
【分析】通过证明，得到，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
10．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
【答案】##45度
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和定理可求得的度数．
【详解】解：平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E，
，，
，
，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理，熟练运用相关性质和定理求得和的度数是解此题的关键．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为___________.
【答案】
【分析】确定的中点F，根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为，把中点坐标代入解析式，确定n，除以速度即可得到m的值．
【详解】因为点A的坐标为，点C的坐标为，
所以的中点F的坐标为，
根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为，
所以，
解得n=，
所以运动时间m=（秒）
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键．
12．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是__________．
【答案】##
【分析】根据平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质证明当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，即可求解．
【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF， ，
∵和都为等腰直角三角形，，
∴AB=AC，CD=CE，∠CDE=45°，
∴AC=DF，DF⊥AC，
∴AC=DF，∠ACD=∠CDE=45°，
∴DO=OC，
∴OA=OF，
∵∠AOF=90°，
∴，
∴当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，
∵，，
∴OC=1，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时点F的位置是解题的难点．
13．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【答案】15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
14．（2022·全国·八年级专题练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
【答案】
【分析】先延长交于点，得出，再判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】延长交于点，
∵在正和正中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积，
又∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即四边形面积的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造平行四边形的高线是解答本题的关键．
15．（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知是等边三角形，D是边上的一个动点（点D不与B，C重合）是以为边的等边三角形，过点F作的平行线交射线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当面积最少时，在图中以B为原点建立直角坐标系，设，求和的交点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，可证得，从而得到，进而得到，可得到，即可；
（2）根据题意可得当的边长最小时，的面积最小，即最小，此时，然后以点B为坐标原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，过点F作轴于点M， 根据等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质和勾股定理求出点A，F的坐标，然后分别求出直线和的解析式，再联立，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由题意得：当的边长最小时，的面积最小，即最小，此时，
如图，以点B原坐标原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，过点F作轴于点M，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴点，，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴和的交点坐标为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，两直线的交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
16．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ．
(2)如图2，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)或或．
【分析】（1）由旋转的性质得，，，，由勾股定理求出的长，判断出与x轴平行，进而可得点，点的坐标；
（2）作轴于H，如图2，利用旋转的性质得，，则，再在中利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理计算出和的长，进而可得点的坐标；
（3）分三种情况：①当、为平行四边形的边时，连接，交于点P，根据，，利用中点坐标公式求出点P的坐标，进而可得点D的坐标；②当为对角线时，③当为对角线时，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，，
∴，
∵把绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
∵，，，
∴与x轴平行，
∴，
∵是直角三角形，，
∴的坐标为，
综上，的坐标为，的坐标为，的长为，
故答案为：，，；
（2）解：作轴于H，如图2，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：分三种情况：
①当、为平行四边形的边时，如图，
连接，交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，点的坐标为，
∴，
∵点，
∴点D的坐标为；
②当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
③当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
．
综上，点D的坐标为或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，平行四边形的性质和中点坐标公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】
(1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，．
①求证：是直角三角形；
②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①证明见解析；②，证明见解析
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）①根据折叠的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到结论；
②如图1，延长，交于点，根据折叠的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，即可得到结论；
（2）①由（1）知，，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的判定定理得到；
②如图2，延长，交于，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
【详解】（1）①证明：将沿翻折得到，
，
点是边的中点，
，
，
，
是直角三角形；
②，
证明：如图1，延长，交于点，
将沿翻折得到，
，，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①，
证明：由（1）知，，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，
，
，
；
②，
证明：如图2，延长，交于，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由等角的补角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据各角之间的关系得出，，再由平行线的性质得出，利用全等三角形的判定证明即可；
（3）设，则，根据各角之间的关系得出,过F作于M，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴(AAS)；
（3）设，则，
∴，
由（2）知：，
中，，即，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
过F作于M，
∵，
∴，
中，，
，
∴．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质与勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由可得；
（2）求出，可得是等腰三角形时，，是等腰直角三角形，然后根据列式求出t值即可；
（3）作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，连接，当点运动到的位置时，先求出和的长，然后可得，即可计算t的值；当点运动到的位置时，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接交于G，过点G，证明，可得当过点G时，直线平分的面积，然后分点P在上和点P在上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
由题意得：，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴当是等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴（平行线间间距相等），
∴，
∴当点运动到的位置时，；
连接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点运动到的位置时，；
综上，当点在的垂直平分线上时，的值为或；
（4）解：如图2，连接交于G，过点G，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当过点G时，直线平分的面积，
当点P在上时，
∵，，，
∴，
解得：；
当点P在上时，如图3，点P与点G重合，
∵，
∴；
综上，当直线平分的面积时，的值为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
20．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，再根据全等三角形的判定定理，即可证出结论；
（2）首先根据全等三角形的性质及直角三角形的性质，即可得，，再由，即可解答；
（3）延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，即可证得四边形为平行四边形，，再根据角的和差，即可证得，即可证得，，，据此即可证得结论
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
在与中，
；
（2）解：结论：，；
理由如下：
，
，，
在，F是的中点，
，
，，
，，
，
；
（3）解：不变；理由如下：
如图：延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，
又，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键.
专题 平行四边形的性质与判定
【题型目录】
题型一 利用平行四边形的判定定理证明
题型二 利用平行四边形的性质求角度
题型三 利用平行四边形的性质求长度
题型四 利用平行四边形的性质求面积
题型五 平行四边形中的最值问题
题型六 平行四边形中的翻折问题
题型七 平行四边形的存在性问题
题型八 平行四边形的性质与判定综合题型
【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】
【知识归纳】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【例1】（2022秋·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）如图，，，和相交于点O，E，F过点O且与，分别交于点E，F，则图中全等三角形的组数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知，P、F是、上一点．
(1)用尺规作图法作；
(2)若，，，求与的距离．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（ ）度．
A．60 B．65 C．70 D．75
【变式训练】
【变式1】（2021·山东烟台·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，则∠CED的度数为（ ）
A．12° B．15°
C．18° D．20°
【变式2】（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰中，，，将绕点A逆时针旋转一定角度（）得到，点B、C的对应点分别是D、E．连接交于点F，连接交于点G．
(1)用含的代数式表示的度数；
(2)当时，求的长．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
(1)【问题】填空： ；
(2)当时，求的值；
(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【变式训练】
【变式1】（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
【变式2】（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）在四边形中，，，，，，点为的平分线上一点，连接，且，连接，则的面积为________．
【变式3】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
(3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2021秋·八年级单元测试）如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【变式2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【变式3】（2021·辽宁本溪·统考模拟预测）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．
（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022·安徽合肥·统考二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点M在直线上，点N在边上，连接，将沿直线翻折，点D的对应点E恰好在边上，当最大时，_____．
【变式3】（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【经典例题七 平行四边形中的存在性问题】
【例7】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
【变式1】（2022春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．3 B．3或5 C．5 D．4或5
【变式2】（2022春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒
(1)______，______，（分别用含有的式子表示）；
(2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值
【经典例题八 平行四边形的性质与判定综合问题】
【例8】（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
【变式3】（2022春·广东佛山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【培优检测】
1．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．10
2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（ ）
A．36 B．48 C．63 D．75
3．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，点E在上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，在平行四边形中，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ）
A． B． C． D．36
7．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·山东东营·八年级校考期中）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为_______．
10．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为___________.
12．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是__________．
13．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
14．（2022·全国·八年级专题练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
15．（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知是等边三角形，D是边上的一个动点（点D不与B，C重合）是以为边的等边三角形，过点F作的平行线交射线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当面积最少时，在图中以B为原点建立直角坐标系，设，求和的交点坐标．
16．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ．
(2)如图2，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标．
17．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】
(1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，．
①求证：是直角三角形；
②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
18．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
20．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【例1】（2022秋·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）如图，，，和相交于点O，E，F过点O且与，分别交于点E，F，则图中全等三角形的组数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据已知易得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵平行四边形的对边相等，对角线相互平分，
∴，
∵，
∴，
根据对顶角相等有，，
∴，，，，，．
故图中的全等三角形共有6对．
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质等，常用的判定方法有等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定，性质和三角形全等的判定定理，判断选择即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，MD∥FB，BN∥ED．
因为EF∥BD，
所以四边形BFMD、四边形BNED都是平行四边形，
所以BF=DM，BN=DE，BD=FM=NE，
所以FM-MN=EN-MN即FN=EM，
所以
所以①④正确；
因为AD=BC=AM+MD=AM+BF，
所以③正确；
无法证明，
所以②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握销售部小的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【答案】
【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，
∵D是边上的中点，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知，P、F是、上一点．
(1)用尺规作图法作；
(2)若，，，求与的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定，作，得到，在上取点E，使连接EF即可作出；
（2）过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离，
，
，
，
，
，
即与的距离为．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（ ）度．
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】B
【分析】由DE＝2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．
【详解】解：如图，取DE中点O，连接AO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∴∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°，
∴∠AED＝65°．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），难度较大，解题的关键是取DE中点O以及方程思想的应用．
【变式训练】
【变式1】（2021·山东烟台·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，则∠CED的度数为（ ）
A．12° B．15°
C．18° D．20°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠CBD=36°，∠ABD=36°，证得四边形ABED是平行四边形，得到∠BDE=∠DEB=36°，再推出∠ACB=∠CBE=72°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ABC==72°，
又∵BC＝BD，
∴∠ACB=∠BDC=72°，
∴∠CBD=36°，∠ABD=36°，
∵DE∥AB，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠DEB=∠A=36°，∠BDE=∠ABD=36°，
∴∠BDE=∠DEB=36°，
∴BD= BE，
∵BC＝BD，
∴BC＝BE，
∵AC∥BE，
∴∠ACB=∠CBE=72°，
∴∠BCE=∠BEC==54°，
∴∠CED=∠BEC-∠DEB=54°-36°=18°．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2】（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【答案】24
【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答．
【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由绕点B逆时针旋转所得且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰中，，，将绕点A逆时针旋转一定角度（）得到，点B、C的对应点分别是D、E．连接交于点F，连接交于点G．
(1)用含的代数式表示的度数；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求，由等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）∵将绕点A逆时针旋转一定角度α（）得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，作交的延长线于H，连接，证明，四边形是平行四边形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作交CF的延长线于H，连接．
，
，，
，
，
，
，，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．
【详解】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵DF＝CD，AE＝AB，
∴DF平行且等于AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝1cm，
∵AB＝2AD，
∴AB＝2cm，
∵AB＝2AD，AB＝2AE，
∴AD＝AE，
∴∠1＝∠4，
∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，
∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵AE＝BE，
∴DE＝BE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，
∴（cm），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，比较复杂，综合性较强，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．
【变式2】（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．
【答案】12
【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴BO＝DO＝6，AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝30°，
∴AO＝2DO＝12，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝AO＝12，
如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK，
∴四边形DPQK为平行四边形，
∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，
此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，
∵DK=PQ=BD=12，
∴△BDK是等边三角形，
∴BK=DB=12，
∴DP+BQ的最小值为12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
(1)【问题】填空： ；
(2)当时，求的值；
(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，是定值
【分析】（1）由线段和差关系可求解；
（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的值；
（3）过点作交延长线于点连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得；
【详解】（1）解：∵ 是边长为的等边三角形，
∴ ，
设 ，
则 ，
，
（2）解：
，
解得：
（3）解：线段的长度不改变，
如图：过点作交延长线于点连接
∵点 速度相同，
是等边三角形，
，
∴四边形是平行四边形，
【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【详解】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE=2，AF=4，
∴BC•AE=AB•AF，
∴BC=2AB．
又∵AB+BC=9，
∴AB=3，BC=6，
∴四边形ABCD的面积=2×6=12；
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC=2AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据中点的定义可得CE=EF，BD=CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠DCE，利用ASA可证明△AFE≌△DCE，可得AF=CD，即可得出AF=BD，可证明四边形AFBD是平行四边形，可得S△AFB=S△ADB，根据三角形中线的性质可得S△ADB=S△ADC，即可得出S平行四边形AFBD=S△ABC，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】∵点D，E分别是BC，AD的中点，
∴CE=EF，BD=CD，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AFE和△DCE中，，
∴△AFE≌△DCE，
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S△AFB=S△ADB，
∵点D为BC中点，
∴S△ADB=S△ADC，
∴S△AFB=S△ADC，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC，
∵，，，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC=AB·AC=12，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形中线的性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）在四边形中，，，，，，点为的平分线上一点，连接，且，连接，则的面积为________．
【答案】6
【分析】过点D作DF⊥BC，连接BD，根据平行线的判定和性质得出DF=AB=4，再由等边对等角确定∠BEC=∠BCE，利用各角之间的关系及平行线的判定及性质得出BE∥DC，∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，结合图形求解即可．
【详解】解：过点D作DF⊥BC，连接BD，如图所示，
∵AD∥BC，∠A=90，
∴∠ABC=90，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90，
∴DF∥AB，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF=AB=4，
∵BE=BC=3，
∴∠BEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BEC，
∴BE∥DC，
∴∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，
∴，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的计算，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式3】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
(3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)12
(3)8或
【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；
（2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据即可求解．
（3）画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出BC和推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出的面积．即可求出△ABC的面积
（1）
∵ADBC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
则AO是△ABF的中线．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）
∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴，
∵△AOF≌△EOB，
∴，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴，
∴=×4×1=2，
∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12；
（3）
分为两种情况：①如图1所示：
∵．
∴AD=BD=AB=4，
∵沿CD折叠A和重合，
∴AB=×8=4，
∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴
∴DO=OB，O=CO，
∴四边形DCB是平行四边形，
∴BC=D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8
②如图2所示：
∵．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=D=AB=×8=4，
∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴，
∴DO=O，BO=CO，
∴四边形BDC是平行四边形，
∴C=BD=4，
过C作CQ⊥D于Q，
∵C=4，∠DC=∠BAC=30°，
∴CQ=C=2，
∴；
即△ABC的面积是8或8．
故答案为：8或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2021秋·八年级单元测试）如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，
∴OD∥AB，
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【答案】 平行四边形 ##
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【详解】解：如图，∵AQBC，CQAP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，
∴AC=2，∠ACB=45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC=，
∴PQ=，
∴QC=，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=，
故答案为：平行四边形；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
【变式3】（2021·辽宁本溪·统考模拟预测）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．
（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．
【答案】（1），（2）成立，理由见解析；（3）当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．
【分析】（1）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（2）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（3）由GH=GF，GF=BD，可得GF=BD，则当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB-AD=2，即GF最小值为，当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB=6，即GF最小值为3，即可求解．
【详解】（1），
理由如下：连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，
∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°．
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．
又∵∠ACE+∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠CEA＝90°，
∴∠BNE＝90°，
∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，
∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．
∴CF＝FH，∠ENB＝∠FOB＝∠GFH＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴GH＝GF；
（2）连接EC，FH，BD，EC交BD于点I，交GF于点M，FH交BD于N，
∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAB+∠DAC＝∠EAD+∠DAC．
∴∠EAC＝∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．
又∵∠AOB＝∠COI，
∴∠OIC＝∠BAO＝90°，
∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，
∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．
∴GF＝FH．四边形FMIN是平行四边形，
∴∠MFN＝∠MIN＝180°﹣90°＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴；
（3）∵GH＝GF，GF＝BD，
∴GF＝BD，
∴当BD有最大值时，GF有最大值，当BD有最小值时，GF有最小值，
∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB﹣AD＝2，即GF最小值为，旋转角的度数为270°；
当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．
【点睛】几何综合性题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题关键是正确作出辅助线．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022·安徽合肥·统考二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由D为AB的中点，得到AD＝BD＝AB＝，，由△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，则A'D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，，从而＝，点与点B到DP的距离相等，得到A′B//DP，四边形A'BPD是平行四边形，得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AC＝1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝，，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，
∴，
∴＝
∴点与点B到DP的距离相等，
∴ A′B//DP
∵A′B＝DP，
∴四边形A'BPD是平行四边形
∴BP＝A'D＝，
故选：B
【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由矩形和折叠可知，
,
,
,
在与中，
,
,
,
在中：
,
解得：,
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点M在直线上，点N在边上，连接，将沿直线翻折，点D的对应点E恰好在边上，当最大时，_____．
【答案】
【分析】根据点N在边上，当最大时，最小，由翻折可得，时，最小，作于点F，证明四边形是正方形，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：点N在边上，当最大时，最小，
由翻折可知：，
时，最小，
如图，作于点F，
在平行四边形中，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形，正方形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式3】（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据点的坐标可得，，由折叠可得，利用勾股定理求出，则点，根据即可求出点E坐标；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（3）分当点在轴负半轴、点在轴正半轴两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
由折叠可知：，
则，
则点，
，
，
故点；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
，，
故直线的表达式为：；
（3）①当点在轴负半轴时，
，则点；
当时，点；
②当点在轴正半轴时，
，故点；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及勾股定理的运用、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【经典例题七 平行四边形中的存在性问题】
【例7】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定．
【详解】A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意；
B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意；
C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意；
D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
【变式训练】
【变式1】（2022春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．3 B．3或5 C．5 D．4或5
【答案】B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD=12cm，
∵AF=6cm，
∴AD=18cm，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BC=AD=9cm，
要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则PF=EQ即可，
设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，
解得：t=3或t=5．
经检验：由P的最长运动时间为 所以t=3或t=5符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【变式2】（2022春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【答案】
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得不合题意舍去，
综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒
(1)______，______，（分别用含有的式子表示）；
(2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值
【答案】(1)
(2)3
(3)3或或．
【分析】（1）设运动时间为t秒，则即可；
（2）由题意可得，则，，四边形和是同高，因此根据梯形面积公式列式求解即可；
（2）设t秒后四边形或或是平行四边形,然后根据平行四边形的性质列出方程解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
∴设运动时间为t秒，则．
故答案为：．
（2）解：设运动时间为t秒，则，
∵，
∴，，
∵四边形的面积是四边形面积的2倍时，且四边形和四边形等高
∴，即，解得：．
答：边形的面积是四边形面积的2倍时，则运动时间为3秒．
（3）解：当四边形是平行四边形时，
∵
∴PD=CQ，即，解得：
当四边形是平行四边形时，
∵
∴，即，解得：
当四边形PDQB是平行四边形时，
∵
∴，即，解得：．
综上所述，综上所述，t的值为3或或．
【点睛】本题主要考查了四边形动点问题、列代数式、平行四边形的性质与判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【经典例题八 平行四边形的性质与判定综合问题】
【例8】（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
【答案】B
【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．
【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵CC1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF，
∴C2F．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【答案】B
【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，即，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，
∵，，
设，则，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
【答案】或
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，
由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，
∴，
由题意得，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，
同理可得，，
，
，
，
∴点P与点C重合，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式3】（2022春·广东佛山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(-m，0)， B（，0），P(，)
(2)
PA的表达式为：
PB的表达式为：
(3)存在；D1，D2， D3．
【分析】(1)A点是直线y=x+m与x轴的交点．令y=0，求出x即可得到A点的横坐标．B点是直线y=－3x+n与x轴的交点，令y=0，求出x即可得到B点的横坐标．联立y=x+m 与 y=－3x+n，求出P点坐标即可．
（2）根据，把n表示成，再把p点坐标表示成P()．根据四边形PQOB的面积=△ABP的面积－△AOQ的面积列方程求出m，从而求出n，最后带入PA，PB的表达式中即可
（3）过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．根据平行四边形的对边平行且相等很容易得到D1、D2的坐标，根据两直线平行斜率相同，得到AD3、BD3的表达式，再把这两个表达式联立起来解方程组得到D3的坐标
（1）
在直线中，令y=0，得
∴点A(-m，0)
在直线中，令y=0，得
∴点B（，0）
由 得
∴点P(，)
（2）
∵
∴
得
∴
∴P()
∵S四边形PQOB=S△ABP- S△AOQ =
∴
解得
∵m>0
∴m=4
∴
∴
∴PA的表达式为：
PB的表达式为：
（3）
存在
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．
①∵PD1∥AB，BD1∥AP
∴四边形PABD1是平行四边形，此时PD1=AB，易得D1；
②∵PD2∥AB，AD2∥BP
∴四边形PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得D2；
③∵BD3∥AP，AD3∥BP
∴四边形BPAD3是平行四边形
∵BD3∥AP且B（2，0）
∴yBD3=x-2．同理可得yAD3= -3x-12
得
D3
综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形
D1；D2； D3
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了两条直线的交点问题和坐标与图形的性质，三角形的面积，用待定系数法求一次函数解析式，已知三点求平行四边形的第四个点的坐标 ．解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【培优检测】
1．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．10
【答案】B
【分析】根据的周长是，得到，，结合，得到直线是线段的垂直平分线，得到，根据的周长为计算即可．
【详解】解：的周长是，
，，
，
直线是线段的垂直平分线，
，
的周长为，
的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（ ）
A．36 B．48 C．63 D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解：平行四边形的周长为60，
，
设为x，
，
，解得：，
的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底高．
3．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出的值，求出和的值，相加即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
①如图：
由平行四边形面积公式得：，
求出，，
在和中，由勾股定理得：，
把代入求出，
同理，即F在的延长线上（如上图），
∴，，
即；
②如图：
∵，在中，由勾股定理得：，
同理，
由①知：，，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，点E在上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．（2021春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，在平行四边形中，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质证明，进而证明得到，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ）
A． B． C． D．36
【答案】A
【分析】根据图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可求出▱ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E，
由图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12，
∴AB=BD
∵BE⊥AD
∴，
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，等腰三角形三线合一，勾股定理，平行四边形的面积，弄清横轴和纵轴表示的量以及运用数形结合的思想解题确定AB、AD的长是解答本题的关键．
7．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，由平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，推出 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵将四边形沿翻折，得到四边形，
，
，
即，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
8．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离．
【详解】解：作于，
，，，
，，
，
，
，，
的中点为，
平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，
把代入得，，解得，
，
平移距离为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键．
9．（2022秋·山东东营·八年级校考期中）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为_______．
【答案】
【分析】通过证明，得到，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
10．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
【答案】##45度
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和定理可求得的度数．
【详解】解：平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E，
，，
，
，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理，熟练运用相关性质和定理求得和的度数是解此题的关键．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为___________.
【答案】
【分析】确定的中点F，根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为，把中点坐标代入解析式，确定n，除以速度即可得到m的值．
【详解】因为点A的坐标为，点C的坐标为，
所以的中点F的坐标为，
根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为，
所以，
解得n=，
所以运动时间m=（秒）
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键．
12．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是__________．
【答案】##
【分析】根据平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质证明当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，即可求解．
【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF， ，
∵和都为等腰直角三角形，，
∴AB=AC，CD=CE，∠CDE=45°，
∴AC=DF，DF⊥AC，
∴AC=DF，∠ACD=∠CDE=45°，
∴DO=OC，
∴OA=OF，
∵∠AOF=90°，
∴，
∴当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，
∵，，
∴OC=1，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时点F的位置是解题的难点．
13．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【答案】15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
14．（2022·全国·八年级专题练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
【答案】
【分析】先延长交于点，得出，再判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】延长交于点，
∵在正和正中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积，
又∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即四边形面积的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造平行四边形的高线是解答本题的关键．
15．（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知是等边三角形，D是边上的一个动点（点D不与B，C重合）是以为边的等边三角形，过点F作的平行线交射线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当面积最少时，在图中以B为原点建立直角坐标系，设，求和的交点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，可证得，从而得到，进而得到，可得到，即可；
（2）根据题意可得当的边长最小时，的面积最小，即最小，此时，然后以点B为坐标原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，过点F作轴于点M， 根据等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质和勾股定理求出点A，F的坐标，然后分别求出直线和的解析式，再联立，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由题意得：当的边长最小时，的面积最小，即最小，此时，
如图，以点B原坐标原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，过点F作轴于点M，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴点，，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴和的交点坐标为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，两直线的交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
16．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ．
(2)如图2，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)或或．
【分析】（1）由旋转的性质得，，，，由勾股定理求出的长，判断出与x轴平行，进而可得点，点的坐标；
（2）作轴于H，如图2，利用旋转的性质得，，则，再在中利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理计算出和的长，进而可得点的坐标；
（3）分三种情况：①当、为平行四边形的边时，连接，交于点P，根据，，利用中点坐标公式求出点P的坐标，进而可得点D的坐标；②当为对角线时，③当为对角线时，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，，
∴，
∵把绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
∵，，，
∴与x轴平行，
∴，
∵是直角三角形，，
∴的坐标为，
综上，的坐标为，的坐标为，的长为，
故答案为：，，；
（2）解：作轴于H，如图2，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：分三种情况：
①当、为平行四边形的边时，如图，
连接，交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，点的坐标为，
∴，
∵点，
∴点D的坐标为；
②当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
③当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
．
综上，点D的坐标为或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，平行四边形的性质和中点坐标公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】
(1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，．
①求证：是直角三角形；
②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①证明见解析；②，证明见解析
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）①根据折叠的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到结论；
②如图1，延长，交于点，根据折叠的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，即可得到结论；
（2）①由（1）知，，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的判定定理得到；
②如图2，延长，交于，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
【详解】（1）①证明：将沿翻折得到，
，
点是边的中点，
，
，
，
是直角三角形；
②，
证明：如图1，延长，交于点，
将沿翻折得到，
，，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①，
证明：由（1）知，，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，
，
，
；
②，
证明：如图2，延长，交于，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由等角的补角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据各角之间的关系得出，，再由平行线的性质得出，利用全等三角形的判定证明即可；
（3）设，则，根据各角之间的关系得出,过F作于M，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴(AAS)；
（3）设，则，
∴，
由（2）知：，
中，，即，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
过F作于M，
∵，
∴，
中，，
，
∴．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质与勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由可得；
（2）求出，可得是等腰三角形时，，是等腰直角三角形，然后根据列式求出t值即可；
（3）作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，连接，当点运动到的位置时，先求出和的长，然后可得，即可计算t的值；当点运动到的位置时，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接交于G，过点G，证明，可得当过点G时，直线平分的面积，然后分点P在上和点P在上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
由题意得：，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴当是等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴（平行线间间距相等），
∴，
∴当点运动到的位置时，；
连接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点运动到的位置时，；
综上，当点在的垂直平分线上时，的值为或；
（4）解：如图2，连接交于G，过点G，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当过点G时，直线平分的面积，
当点P在上时，
∵，，，
∴，
解得：；
当点P在上时，如图3，点P与点G重合，
∵，
∴；
综上，当直线平分的面积时，的值为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
20．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，再根据全等三角形的判定定理，即可证出结论；
（2）首先根据全等三角形的性质及直角三角形的性质，即可得，，再由，即可解答；
（3）延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，即可证得四边形为平行四边形，，再根据角的和差，即可证得，即可证得，，，据此即可证得结论
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
在与中，
；
（2）解：结论：，；
理由如下：
，
，，
在，F是的中点，
，
，，
，，
，
；
（3）解：不变；理由如下：
如图：延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，
又，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键.
相关试卷
专题25平行四边形的性质与判定（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】： 这是一份专题25平行四边形的性质与判定（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】，文件包含专题25平行四边形的性质与判定优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用原卷版docx、专题25平行四边形的性质与判定优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
专题25平行四边形的性质与判定三年（2021-2023）中考数学真题： 这是一份专题25平行四边形的性质与判定三年（2021-2023）中考数学真题，共73页。试卷主要包含了如图，是的中位线，点在上，，在中，如图，在中，一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学专项汇编 专题 图形的旋转、中心对称： 这是一份2023年中考数学专项汇编 专题 图形的旋转、中心对称，共86页。
