数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用第2课时同步测试题

这是一份数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用第2课时同步测试题，共3页。

01 基础题


知识点 与坡度、坡角有关的应用问题


1．某堤的横断面如图，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是(C)


A．1∶3 B．1∶2.6


C．1∶2.4 D．1∶2





2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(C)


A．sinα＝eq \f(1,6) B．csα＝eq \f(1,6)


C．tanα＝eq \f(1,6) D．以上都不对





3．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为75°．


4．(岳阳中考)如图，一山坡的坡度为i＝1∶eq \r(3)，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，小辰上升了100米．





5．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为30°．





6．(天门中考)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．





解：在Rt△ADC中，


∵AD∶DC＝1∶2.4，


AC＝13，


由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132.


∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)．


∴DC＝12.


在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，


∴BD＝5×1.8＝9.


∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.


答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．


7．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改成斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C(如图所示)，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，那么斜坡起点C应离A点多远？(精确到1 cm，sin12°≈0.208，cs12°≈0.978，tan12°≈0.213)





解：过点B作BD⊥AC于点D，


由题意，得BD＝20×3＝60(cm)，AD＝30×2＝60(cm)，∠C＝12°，


在Rt△BCD中，CD＝eq \f(BD,tan12°)＝eq \f(60,0.213)≈282(cm)．


∴AC＝CD－AD＝222(cm)．


答：斜坡起点C应离A点约222 cm.








02 中档题


8．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是3eq \r(5)m.








9．(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶eq \r(3).





(1)求新坡面的坡角α；


(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．


解：(1)∵tanα＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，


∴α＝30°.


∴新坡面的坡角α为30°.


(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：


作CD⊥AB于点D，则∠CDB＝90°，CD＝6.


∵坡面BC坡度为CD∶BD＝1∶1，


∴BD＝CD＝6.同理可得AD＝eq \r(3)CD＝6eq \r(3).


∴AB＝AD－BD＝6eq \r(3)－6.又∵PB＝8，


∴PB－AB＝8－(6eq \r(3)－6)＝(14－6eq \r(3))＝eq \r(196)－eq \r(108)＞0.


∴文化墙PM不需要拆除．





10．(荆门中考)如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋eq \r(3))米，小军和小明同学分别从A处和B处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为eq \f(\r(2),2)米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？





解：过点C作CD⊥AB于D，设CD＝x米，


则AC＝eq \f(CD,sin45°)＝eq \r(2)x，BC＝eq \f(CD,sin30°)＝2x，AD＝x，BD＝eq \r(3)x.


∵A处与东端B处相距800(1＋eq \r(3))米，


∴AD＋BD＝x＋eq \r(3)x＝(eq \r(3)＋1)x＝800(1＋eq \r(3))，


解得x＝800，AC＝eq \r(2)x＝800eq \r(2)，BC＝2x＝1 600.


小军从点A到点C用的时间是800eq \r(2)÷eq \f(\r(2),2)＝1 600(秒)．


小明从点B到点C的速度是1 600÷1 600＝1(米/秒)．


答：小明的行走速度是1米/秒．


03 综合题


11．(天水中考)如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA＝200米，山坡坡度为eq \f(1,3)(即tan∠PAB＝eq \f(1,3))，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的垂直高度．(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)





解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，


在Rt△AOC中，OA＝200，∠CAO＝60°，


∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan60°＝200eq \r(3)(米)．


设PE＝x米，


∵tan∠PAB＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(1,3)，


∴AE＝3x米．


在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(200eq \r(3)－x)米，PF＝OA＋AE＝(200＋3x)米．


∵tan∠CPF＝eq \f(CF,PF)，


∴eq \f(CF,PF)＝tan45°＝1，则PF＝CF.


∴200＋3x＝200eq \r(3)－x，解得x＝50eq \r(3)－50.


∴PE＝(50eq \r(3)－50)米．


答：电视塔OC的高度为200eq \r(3)米，此人所在位置点P的垂直高度为(50eq \r(3)－50)米．