人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步测试题
展开方法1 回归定义
直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5.
(1)求AB的长;
(2)求sinA,csA,tanA,sinB,csB,tanB的值.
解:(1)AB=eq \r(AC2+BC2)=13.
(2)sinA=eq \f(BC,AB)=eq \f(5,13),csA=eq \f(AC,AB)=eq \f(12,13),tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(5,12),
sinB=eq \f(AC,AB)=eq \f(12,13),csB=eq \f(BC,AB)=eq \f(5,13),tanB=eq \f(AC,BC)=eq \f(12,5).
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cs∠ADC=eq \f(3,5),求sinB的值.
解:∵AD=BC=5,cs∠ADC=eq \f(3,5),
∴CD=3.
在Rt△ACD中,
∵AD=5,CD=3,
∴AC=eq \r(AD2-CD2)=eq \r(52-32)=4.
在Rt△ACB中,∵AC=4,BC=5,
∴AB=eq \r(AC2+BC2)=eq \r(42+52)=eq \r(41).
∴sinB=eq \f(AC,AB)=eq \f(4,\r(41))=eq \f(4\r(41),41).
方法2 巧设参数
若已知两边的比值,或一个三角函数值,而不能直接求出三角函数相应边的长,则可采用设参数的方法,先用参数表示出三角函数相应边的长,再根据三角函数公式计算它们的比值,即可得出三角函数值.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=eq \f(4,5),则tanB=(C)
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
4.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tanB=(D)
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),3)
5.如图,正方形ABCD中,点E为BC中点,点F在CD边上,且CF=eq \f(1,4)CD,求∠EAF的正、余弦值.
解:设正方形的边长为4a,则BE=EC=2a,CF=a,AE=2eq \r(5)a,EF=eq \r(5)a,AF=5a.
∴AE2+EF2=AF2.
∴△AEF是直角三角形,sin∠EAF=eq \f(EF,AF)=eq \f(\r(5)a,5a)=eq \f(\r(5),5),
cs∠EAF=eq \f(AE,AF)=eq \f(2\r(5)a,5a)=eq \f(2\r(5),5).
方法3 等角转换
若要求的角的三角函数值不容易求出,且这个角可以转化为其他角,则可以直接求转化后的角的三角函数值.
6.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为(B)
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知AC=eq \r(5),BC=2,那么sin∠ACD=(A)
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
8.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.
解:∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠DEB=∠ACB.
又∵∠B=∠B,
∴△ACB∽△DEB.
∴∠BDE=∠A.
∴sin∠BDE=sinA=eq \f(3,5),cs∠BDE=csA=eq \f(4,5),
tan∠BDE=tanA=eq \f(3,4).
方法4 构造直角三角形
若要求三角函数值的角不在直角三角形中,则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决.
9.(安顺中考)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是(D)
A.2 B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,2)
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin∠ABO的值等于eq \f(3,5).
11.(连云港中考)如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=eq \f(1,8).
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:eq \r(2)≈1.4,eq \r(3)≈1.7,eq \r(5)≈2.2)
解:(1)过点A作AD⊥BC的延长线于点D,
∵∠ACB=150°,∴∠ACD=30°.
∴AD=eq \f(1,2)AC=2,
CD=AC·cs30°=4×eq \f(\r(3),2)=2eq \r(3).
在Rt△ABD中,∵tanB=eq \f(AD,BD)=eq \f(1,8),
∴eq \f(2,2\r(3)+BC)=eq \f(1,8).
∴BC=16-2eq \r(3).
(2)在CB上截取CE=CA=4,连接AE,
则∠CEA=∠CAE=eq \f(1,2)∠ACD=15°,
∴tan15°=eq \f(AD,DE)=eq \f(2,4+2\r(3))=eq \f(1,2+\r(3))=2-eq \r(3)≈0.3.
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