初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数综合与测试习题

小专题(一)　反比例函数与一次函数图象的综合题

已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点(2，4)，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．

【解答】　将(2，4)代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.

在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如下：

【方法归纳】　解反比例函数与一次函数的综合题，常用方法如下：

(1)已知反比例函数和一次函数的图象经过某一点，求反比例函数和一次函数的表达式，解这类题的方法常从反比例函数入手，先求出反比例函数的表达式，再求出另一个交点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数的表达式；

(2)求反比例函数与一次函数的交点坐标，解这类题的方法是将两个函数表达式联立得方程组，求得方程组的解即为交点坐标．

变式训练：

1．(常德中考)如图，直线AB与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的表达式．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，反比例函数的表达式为y＝.

把A(－2，0)，B(0，1)代入y＝kx＋b中，得解得

∴一次函数的表达式为y＝x＋1.

把C(4，n)代入y＝x＋1中，得n＝3.

∴点C的坐标为(4，3)．

把C(4，3)代入y＝中，得m＝12.

∴反比例函数的表达式为y＝.

2．(郴州中考)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON＝1.

(1)在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？(根据图象直接写出结果)

(2)求反比例函数的表达式．

解：(1)当x＞1时，y1＞y2.

(2)把x＝1代入y1＝x＋1中，得y＝2.

∴M点的坐标为(1，2)．

把M(1，2)代入y2＝中，得k＝2.

∴反比例函数的表达式为y2＝.

3．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)当y＞1时，求x的取值范围．

解：(1)把y＝1代入y＝x－2中，

得x＝3.

∴点A的坐标为(3，1)．

把点A(3，1)代入y＝中 ，得k＝3.

∴反比例函数的表达式为y＝.

(2)∵当x<0时，y<0，当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y随x的增大而减小，把y＝1代入y＝中，得x＝3，

∴当y＞1时，x的取值范围为0＜x＜3.

4．(襄阳中考)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．

(1)m＝4，n＝1．若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1＞y2(填“＜”“＝”或“＞”)；

(2)若线段CD上的点P到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标．

解：∵直线y＝ax＋b经过点A(1，4)，B(4，1)，

∴解得

∴y＝－x＋5.

当x＝y时，x＝－x＋5，

解得x＝.

∴P(，)．

5．(自贡中考)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；

(3)求△AOB的面积．

解：(1)∵B(2，－4)在双曲线y＝上，∴m＝－8.

∴反比例函数的表达式为y＝－.

∵A(－4，n)在y＝－上，∴n＝2.∴A(－4，2)．

∵直线y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)，

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝－x－2.

(2)x1＝－4，x2＝2.

(3)设一次函数的图象与y轴的交点为C.

∵当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)．∴OC＝2.

∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝×2×4＋×2×2＝6.

6．(威海中考)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．

解：(1)把点A(2，6)代入y＝，得m＝12.

则反比例函数的表达式为y＝.

把点B(n，1)代入y＝，得n＝12.

则点B的坐标为(12，1)．

由直线y＝kx＋b过点A(2，6)，B(12，1)，得解得

则一次函数的表达式为y＝－x＋7.

(2)设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为(0，t)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)．

∴PE＝|t－7|.

∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，

∴×|t－7|×(12－2)＝5.

∴|t－7|＝1.

解得t1＝6，t2＝8.

∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．