初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形精品ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形精品ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了知识回顾，四个角都是直角，学习目标，课堂导入，新知探究，∵AC⊥BD，∵ABBC，∵ACBD，∵∠A90〫，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
轴对称图形，有四条对称轴.
对边平行，四条边都相等
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明手帕是正方形，那么你认为这块手帕一定是正方形吗？
思考1 矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
矩形：对角线相等且互相平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫
∴AC是线段BD的垂直平分线
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是正方形
同理：BD是线段AC的垂直平分线
判定1： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
数学语言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形
思考2 矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？
正方形：四边相等且对边平行
矩形添加邻边相等能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
∴∠B=90〫，四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”）
判定2 ： 有一组邻边相等的矩形是正方形.
数学语言：在矩形ABCD中， ∵AB=BC∴四边形ABCD是正方形
思考3 菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
菱形添加对角线相等能否得到正方形？
菱形：对角线垂直且互相平分
已知在菱形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且 AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOD、△AOB 、△COD 、△BOC是等腰直角三角形
∴∠DAB=∠ABC=90〫
判定3 ： 对角线相等的菱形是正方形.
数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD∴四边形ABCD是正方形
思考4 菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
正方形：四个角相等，都为90°
菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？
已知在菱形ABCD中，∠A=90〫，求证：四边形ABCD是正方形.
∴AB=BC=CD=DA四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形” ）
判定4： 有一个角是直角的菱形是正方形.
数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ ∠A=90〫∴四边形ABCD是正方形
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD是正方形.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.
（2）对角线互相垂直的矩形.
（3）对角线相等的菱形.
（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.
4个都是正方形，满足正方形的判定条件.
1.下列命题正确的是（ ）.
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D.当∠ABC=90〫时，四边形ABCD是矩形
3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45〫. 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
∴∠B=∠D=∠C=90〫
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60〫
∵∠CEF=45〫 ∴∠CFE=45〫
∴∠AFB=∠AEB=180〫-45〫-60〫= 75〫
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
1.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求证：四边形CEDF 为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∴∠DEC=∠DFC=90〫
∴四边形CEDF为矩形
∵DE⊥AC，DF⊥CB
∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB
∴四边形CEDF为正方形
2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分别为M、N.（1）求证：∠ADB=∠CDB.（2）若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形.
证明：（1）∵ AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC
∴ ∠ABD=∠CBD
∵在△ABD和△CBD中， AB=BC， ∠ABD=∠CBD， BD=BD
∴ ∠ADB=∠CDB
（2）∵∠ADC=90〫， PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫
∴四边形PMDN是矩形
∵ ∠ADB=∠CDB=45〫
∴四边形PMDN是正方形
∴∠MPD=∠NPD=45〫
∴DM=PM，DN=PN
3.在正方形ABCD中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，垂足为 A，AF=AE.（1）求证：BF=DE.（2）当点 E 运动到 AC 的中点时，说明四边形AFBE是正方形.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90〫
∵AF⊥AC ∴∠BAF+∠BAE=90〫
∵∠BAE+∠DAE=90〫
∵在△ADE和△ABF中， AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF
∴△ADE≌△ABF， BF=DE