高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题08 立体几何（第02期）（原卷版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)

                             专题08　立体几何

一、选择题

1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（    ）

A． B．

C． D．

2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（    ）（容器壁的厚度忽略不计）

A． B． C． D．

4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，在正方体中，平面，垂足为H，给出下面结论：

①直线与该正方体各棱所成角相等；

②直线与该正方体各面所成角相等；

③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形；

④垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，

其中正确结论的序号为（　　）

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③

5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是.那么这个斗的质量是（   ）注：台体体积公式是.

A． B． C． D．

6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（  ）

A． B． C． D．

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：

三棱锥的体积不变；

平面；

；

平面平面．

其中正确的结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，三棱柱的高为6，点D，E分别在线段，上，，E.点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面的面积为6，则较大部分的体积为　　

A．22 B．23 C．26 D．27

12. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（  ）

A． B． C． D．

13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（    ）

A． B． C． D．

14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点为的中点，点在上，，平面，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知正方体的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为，，则（    ）

A．1 B．

C． D．

16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（  ）

A． B． C． D．

18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为

A．2 B．1

C． D．

19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点（点M与A、不重合），则下列结论正确的个数为（    ）

①存在点M，使得平面平面；

②存在点M，使得平面；

③若的面积为S，则；

④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

20. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（    ）

A． B． C． D．

21. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有人骑行共享单车的概率为，则（    ）

A． B．

C． D．

22. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】在边长为8的等边中，分别为的中点，现将沿折起到的位置，使得，则直线与底面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知半径为4的球面上有两点、，，球心为，若球面上的动点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为(    )

A． B． C． D．

24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（    ）.

A． B．

C． D．

25. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

26. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.

2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数的图象与x轴围成一个封闭区域A（阴影部分），将区域A（阴影部分）沿z轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A（阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.

4. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图（1），若函数的图象与轴围成一个封闭区域，将区域沿轴的正方向向上平移6个单位，得到一几何体。现有一个与之等高的圆柱如图（2），其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为______．

5. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_______．

6. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图（1），在等腰直角中，斜边，D为的中点，将沿折叠得到如图（2）所示的三棱锥，若三棱锥的外接球的半径为，则_________.

图（1）  图（2） 

7. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．

8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________．

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】如图，三棱锥的四个顶点恰是长､宽､高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．

10. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.

三、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，在三棱柱中，,点是的中点.

（1）求证: 平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

3. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】如图，多面体是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面为原正三棱柱的底面，，点D为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（文)】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求多面体的体积.

8. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；

2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，G为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．

（1）求证：PB∥平面AEF；

（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．

12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】如图所示，已知正方形所在平面垂直于矩形所在的平面，与的交点为分别为的中点，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥底面上的高．

13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】如图，已知在四棱锥中，底面为正方形，，点为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）若正方形的边长为4，求点到平面的距离.

14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】如图，在三棱锥P-ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心.

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若点M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值为，试求的值.

15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】如图，四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，.

（1）若，求证：//平面；

（2）若，且三棱锥的体积为，求.

16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.