2021年九年级中考数学 专题练习：二次函数的实际应用（含答案）

这是一份2021年九年级中考数学 专题练习：二次函数的实际应用（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )





A.y=x2B.y=-x2


C.y=x2D.y=-x2





2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:


①小球在空中经过的路程是40 m;


②小球抛出3秒后，速度越来越快;


③小球抛出3秒时速度为0;


④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.


其中正确的是( )





A.①④B.①②C.②③④D.②③





3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )





A．18 m2 B．18 eq \r(3) m2C．24 eq \r(3) m2 D.eq \f(45 \r(3),2) m2





4. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CD处，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为( )





A.16米B.米


C.16米D.米





5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：


①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；


③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.


其中正确的是( )





A．①④ B．①② C．②③④ D．②③





6. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是( )





A.当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 m


B.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势


C.小球落地点距O点水平距离为7 m


D.斜坡的坡度为1∶2





7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为 ( )





A．19 cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2





8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－eq \f(1,2)x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝eq \f(1,2)x刻画，下列结论错误的是( )





A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 m


B．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势


C．小球落地点距点O的水平距离为7 m


D．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同





二、填空题


9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.








10. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．





11. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= .





12. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－eq \f(1,9)(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．








13. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t· 为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．





14. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．





三、解答题


15. 已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件．


(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？


(2)每星期能否获利7000元？试说明理由．


(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？

















16. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．


(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)


(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

















17. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．


(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？


(2)写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

















18. 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图①所示．


(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．





图①


(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在上图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．


(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图②所示．该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．





图②

















2021中考数学 专题训练：二次函数的实际应用-答案


一、选择题


1. 【答案】B [解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-，∴二次函数的表达式为y=-x2，故选B.





2. 【答案】D [解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;


②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;


③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;


④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，


把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，


∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.


把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，


∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.





3. 【答案】C [解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E，


则四边形ADCE为矩形，∠DCE＝∠CEB＝90°，


则∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°.


设CD＝AE＝x m，则BC＝(12－x)m.


在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，


∴BE＝eq \f(1,2)BC＝(6－eq \f(1,2)x)m，


∴AD＝CE＝eq \r(BC2－BE2)＝(6 eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)x)m，AB＝AE＋BE＝x＋6－eq \f(1,2)x＝(eq \f(1,2)x＋6)m，


∴梯形ABCD的面积＝eq \f(1,2)(CD＋AB)·CE


＝eq \f(1,2)(x＋eq \f(1,2)x＋6)·(6 eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)x)


＝－eq \f(3 \r(3),8)x2＋3 eq \r(3)x＋18 eq \r(3)


＝－eq \f(3 \r(3),8)(x－4)2＋24 eq \r(3).





∴当x＝4时，S最大＝24 eq \r(3).


即CD的长为4 m时，梯形储料场ABCD的面积最大为24 eq \r(3) m2.故选C.





4. 【答案】B [解析]∵AC⊥x轴，OA=10米，


∴点C的横坐标为-10.


当x=-10时，y=-(x-80)2+16=+16=-，


∴C，


∴桥面离水面的高度AC为米.


故选B.





5. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误；


②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；


③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确；


④设函数解析式为h＝a(t－3)2＋40，


把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40.


解得a＝－eq \f(40,9)，


∴函数解析式为h＝－eq \f(40,9)(t－3)2＋40.


把h＝30代入解析式，得30＝－eq \f(40,9)(t－3)2＋40，


解得t＝4.5或t＝1.5，


∴小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s或4.5 s，故④错误．故选D.





6. 【答案】A [解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y=4x-x2的函数值为7.5，即4x-x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3 m或5 m，A结论错误;由y=4x-x2，得y=-(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y随x值的增大而减小，B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x中系数的意义判断坡度为1∶2，D结论正确.故选A.








7. 【答案】C [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，


∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝6 cm.


设运动时间为t s(0

∴S四边形PABQ＝S△ABC－S△CPQ＝eq \f(1,2)AC·BC－eq \f(1,2)PC·CQ＝eq \f(1,2)×6×8－eq \f(1,2)(6－t)×2t＝t2－6t＋24＝(t－3)2＋15，


∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取得最小值，最小值为15 cm2.


故选C.





8. 【答案】A [解析] 令y＝7.5，得4x－eq \f(1,2)x2＝7.5.解得x1＝3，x2＝5.可见选项A错误．


由y＝4x－eq \f(1,2)x2得y＝－eq \f(1,2)(x－4)2＋8，∴对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，选项B正确．


联立y＝4x－eq \f(1,2)x2与y＝eq \f(1,2)x，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝\f(7,2).))∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(7,2)))，可见选项C正确．


由对称性可知选项D正确．


综上所述，只有选项A中的结论是错误的，故选A.





二、填空题


9. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m，设3间饲养室合计长x m，则饲养室的宽＝eq \f(48－x,4) m，∴总占地面积为y＝x·eq \f(48－x,4)＝－eq \f(1,4)x2＋12x(0＜x＜48)，由y＝－eq \f(1,4)x2＋12x＝－eq \f(1,4)(x－24)2＋144，∵x＝24在0＜x＜48范围内，a＝－eq \f(1,4)<0，∴在0＜x≤24范围内，y随x的增大而增大，∴x＝24时，y取得最大值，y最大＝144 m2.





10. 【答案】25 [解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.


∵20≤x≤30，


∴当x＝25时，二次函数有最大值25.





11. 【答案】1.6 [解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h，则第一个小球的离地高度y=a(t-1.1)2+h(a≠0)，


由题意a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h，


解得t=1.6.


故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.





12. 【答案】y＝－eq \f(1,9)(x＋6)2＋4





13. 【答案】0




14. 【答案】1.6 秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．





三、解答题


15. 【答案】


解：设该商品每件涨价x元时，每星期获得的总利润为y元．


(1)由题意，得(60＋x－40)(300－10x)＝6090，


整理得x2－10x＋9＝0，


解得x1＝1，x2＝9.


60＋1＝61(元)，60＋9＝69(元)．


答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元．


(2)不能．理由：列方程，得(60＋x－40)(300－10x)＝7000，


整理得x2－10x＋100＝0.


∵Δ＝(－10)2－4×1×100＜0，


∴此方程无实数解，


∴销售该商品每星期不能获利7000元．


(3)y＝(60＋x－40)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，


∴当x＝5时，y最大＝6250，60＋x＝65.


答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元．





16. 【答案】


解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0

由50x－1100>0，(2分)


解得x>22，(3分)


又∵x是5的倍数，


∴每辆车的日租金至少应为25元．(5分)


(2)设每天的净收入为y元，


当0

∵y1随x的增大而增大，


∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；(8分)


当x>100时，y2＝(50－eq \f(x－100,5))x－1100＝－eq \f(1,5)x2＋70x－1100＝－eq \f(1,5)(x－175)2＋5025.(9分)


∴当x＝175时，y2的最大值是5025，


∵5025>3900，


∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．(10分)





17. 【答案】


解：(1)设一次至少买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x－10)元，由题意得，


20－0.1(x－10)＝16，


解得x＝50.


答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分)


【一题多解】设一次购买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x－10)元，由题意得，20－0.1(x－10)≤16，解得x≤50，


∴最大整数x＝50.


答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．


(2)由题意得，当10＜x≤50时，y＝[20－12－0.1(x－10)]x，


即y＝－0.1x2＋9x(3分)


当x＞50时，则每只计算器都按16元销售．


∴y＝16x－12x＝4x，


综上可得y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－0.1x2＋9x（10＜x≤50）,4x（x＞50）)).(5分)


(3)由y＝－0.1x2＋9x得，其图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(9,2×（－0.1）)＝45，


∵a＝－0.1＜0，当x＞45时，y随x的增大而减小，(6分)


又∵50＞46＞45，


∴当x＝46时的函数值大于x＝50时的函数值，


即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)


由二次函数的性质知，当x＝45时，y最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5，


这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．


答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)





18. 【答案】


eq \a\vs4\al(思路分析：)eq \a\vs4\al(思路分析：)本题考查了分段函数的意义及构建二次函数求解利润最大问题．解题关键是确定水果资金额w与批发量n之间的函数关系式，以及构建销售利润y与批发量n之间的函数关系式．利用二次函数求最大利润问题时，需注意①分类讨论．(涨价与降价)②分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系．





解图


③自变量的取值范围的确定．保证实际问题有意义．④一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图分析．注意所学的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．


解：(1)图①表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量高于60 kg的该种水果，可按4元/kg批发.


(2)由题意得


w＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5n （20≤n≤60），,4n （n＞60）.))


图象如图所示．


由图可知，资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.


(3)解法一：设当日零售价为x元，


由图可得日最高销量n＝320－40x，当n＞60时，x＜6.5.


由题意，销售利润为y＝(x－4)(320－40x)＝40(x－4)(8－x)＝40[－(x－6)2＋4].


从而x＝6时，y最大值＝160，此时n＝80.


即经销商应批发80 kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元.


解法二：设日最高销量为x kg(x＞60)．


则由题图②日零售价p满足x＝320－40p.于是p＝eq \f(320－x,40)，销售利润y＝x(eq \f(320－x,40)－4)＝eq \f(1,40)x(160－x)＝－eq \f(1,40)(x－80)2＋160.


从而x＝80时，y最大值＝160.


此时，p＝6，即经销商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元.