2021年九年级中考数学 专题练习：圆的有关性质

2021中考数学 专题练习：圆的有关性质

一、选择题

1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为              (　　)

A.32°    B.31°    C.29°    D.61°

2. 如图，在⊙O中，若C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数是(　　)

A．40°    B．45°    C．50°    D．60°

3. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为(　　)

A. 2 　　　　 B. 3 　　　　 C. 4 　　　　 D. 5

4. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(　　)

A．AP＝2OP       B．CD＝2OP

C．OB⊥AC       D．AC平分OB

5. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为(　　)

A．4 m    B．5 m    C．6 m    D．8 m

6. 如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(　　)

A．30°          B．45°          C．55°          D．60°

7. 2020·武汉模拟 小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为(　　)

A．350 mm       B．700 mm 

C．800 mm        D．400 mm

8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

二、填空题

9. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是　　　　. 

10. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=　　　　度. 

11. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．

12. 2018·曲靖 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.

13. 如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．

14. 如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．

三、解答题

15. 如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.

(1)求证:△DOE∽△ABC;

(2)求证:∠ODF=∠BDE.

16. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．

(1)如图①，求证：OP∥BC；

(2)如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．

17. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；

（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

18. 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．

（1）求AB的长；

（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案

一、选择题

1. 【答案】A　[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，

∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.

∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，

∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.

2. 【答案】A　[解析] ∵∠A＝50°，OA＝OB，

∴∠B＝∠A＝50°，

∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.

∵C是的中点，

∴∠BOC＝∠AOB＝40°.

故选A.

3. 【答案】B　【解析】由垂径定理可得DH＝，所以BH＝＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，()2＝1×BA，AB＝3.

4. 【答案】A　[解析] ∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°.

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴CD∥OB，CD＝OB，∴∠CPO＝90°，

即OB⊥AC，∴选项C正确；

∴CP＝AP.又∵OA＝OD，

∴OP是△ACD的中位线，

∴CD＝2OP，∴选项B正确；

∴CD＝OB＝2OP，即P是OB的中点，

∴AC平分OB，∴选项D正确．

5. 【答案】B　[解析] 如图，连接BO.

由题意可得AD＝BD＝4 m.

设⊙O的半径OC＝x m，则DO＝(8－x)m.

由勾股定理可得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.

故拱桥的半径OC为5 m.

6. 【答案】B

7. 【答案】C　

8. 【答案】A　【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，

解图

∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝.

二、填空题

9. 【答案】2　[解析]连接OC，则OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.

∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，

∴OC=2.

10. 【答案】20　[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，

∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，

∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，

∴∠BAD=20°.

11. 【答案】35　【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝∠OAB＝35°.

12. 【答案】n

13. 【答案】　[解析] 连接OD.因为CD⊥OC，所以CD＝，根据题意可知圆的半径一定，故当OC最小时CD最大，故当OC⊥AB时CD最大，此时CD＝AB＝.

14. 【答案】7 　[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，

∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，

∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，

∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.

在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 ，则PA＋PC的最小值为7  .

三、解答题

15. 【答案】

证明:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.

∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB.

∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE∽△ABC.

(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE=∠A.

∵∠A和∠BDC都是所对的圆周角，

∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC.

∴∠ODF=∠BDE.

16. 【答案】

解：(1)证明：如图①，连接PC.

∵＝，∴∠AOP＝∠COP.

在△AOP和△COP中，

∴△AOP≌△COP，∴∠APO＝∠CPO.

∵OA＝OP，∴∠APO＝∠OAP.

又∵∠PCB＝∠OAP，

∴∠CPO＝∠PCB，

∴OP∥BC.

(2)如图②，连接OP，AC.

∵＝，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠PAO＝∠PCO.

当DO＝DC时，设∠DCO＝x，

则∠DOC＝x，∠PAO＝x，

∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x.

∵∠PAO＝x，∴∠POD＝2∠PAO＝2x.

在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，

即∠PAO＝36°.

当CO＝CD时，设∠DCO＝x，

则∠OPC＝x，∠PAO＝x，

∴∠POD＝2x，

∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝2x＋x＝3x.

∵CD＝CO，

∴∠DOC＝∠ODC＝3x.

在△POC中，x＋x＋5x＝180°，

解得x＝()，即∠PAO＝()°,)．

当OC＝OD时，B，D重合，不符合题意，舍去．

综上所述，∠PAO的度数为36°或()°,)．

17. 【答案】

（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，

所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．

所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．

所以。

顶点为．

（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．

图1

由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．

所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．

由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．        

于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．

当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．

（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．

如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．

如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。

如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．

如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，

如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．

所以点B′′的坐标为．

如图4，由，得．解得．

由于，所以抛物线向左平移了个单位．

图2                         图3                     图4

考点伸展

第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．

由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，得AB2＝25，AD2＝5， BD2＝20．

所以AB2＝AD2＋BD2．所以∠ADB＝90°．

第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．

求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．

求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．

18. 【答案】

（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．

在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．

（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．

由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．

在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．

所以，．

在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．

整理，得．定义域为x＞0．

图2                                     图3

（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．

因此．所以．

解方程，得．此时⊙P的半径为．

②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．

如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．

所以．因此．

解方程，得．此时⊙P的半径为．

图4                     图5                     图6

考点伸展

第（3）题②也可以这样思考：

如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．

这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．