2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-1 word版含答案

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在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．

(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．

解：(1)由题设，可得M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．

又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，则C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，

即x－y－a＝0；

y＝在x＝－2处的导数值为－，则C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，

即x＋y＋a＝0.

故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.

(2)存在符合题意的点．证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.

故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.

从而k1＋k2＝＋

＝＝.

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．

课外拓展阅读

忽视斜率不存在而致误分析

　已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．

　首先验证过P(－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．

　(1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.

此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2，

故该直线为圆的切线．

(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k，

则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.

由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径，

即＝2，

整理得＝2，

解得k＝－，

故此时切线方程为－x－y＋＝0，

即5x＋12y－7＝0.

综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－7＝0.

　x＝－1或5x＋12y－7＝0

温馨提醒

求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．