专题10 数学归纳法的巧妙利用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

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专题10 数学归纳法


姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________











一、单选题


1．（2020·全国）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除.


A．B．C．D．


【答案】B


【分析】：假设时命题成立，即能被9整除，


当时，

















能被9整除


要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除


故选：


2．（2020·全国）设，那么等于（ ）


A．B．


C．D．


【答案】C


【分析】由题意，，


则，


所以，


即.


故选：C.


3．（2020·全国）用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】当时，等式的左边为，


当 时，等式的左边为，


故从“到”，左边所要添加的项是．


故选：D．


4．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足，若，则（ ）


A．B．3C．4D．5


【答案】B


【分析】当时，，当时，


， ，，…，


猜想：，


当时，成立，


假设当时，成立，


那么当时，


，


所以当时等式成立，


综上可知，当时，等式成立.


，


数列是公比为，首项为的等比数列，





，


，


解得：.


故选：B


5．（2020·河北石家庄市·高三其他模拟（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an.数列{bn}满足则数列{bn}的前100项和T100为( )


A．B．C．D．


【答案】C


【分析】∵，∴当n=1时，有a1，解得a1；


当n=2时，可解得a2，故猜想：an，


下面利用数学归纳法证明猜想：


①当n=1，2时，由以上知道an显然成立；


②假设当n=k（k≥2）时，有ak成立，此时


Sk成立，


那么当n=k+1时，


有，


解得ak+1，这说明当n=k+1时也成立.


由①②知：an.∵，


∴，


∴数列{bn}的前100项和





.


故选：C.


6．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（ ）


A．


B．


C．


D．


【答案】B


【分析】根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，


右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.


故选：B.


7．（2020·上海高三专题练习）利用数学归纳法证明的过程中，由变到时，左边增加了（ ）


A．1项B．项C．项D．项


【答案】D


【分析】解：用数学归纳法证明等式的过程中，


假设时不等式成立，左边，


则当时，左边，


∴由递推到时不等式左边增加了：，


共项，


故选：D.


8．（2019·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明：（）能被整除．从假设成立 到成立时，被整除式应为( )


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，


故选：C．


9．（2019·四川成都市·成都经开区实验中学高三开学考试（文））用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）


A．k3+1B．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3


C．（k+1）3D．


【答案】B


【解析】


分析：当项数从到时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。


详解：当 时，等式左边


当时，等式左边


所以增加的项为


10．（2018·全国高三单元测试（理））用数学归纳法证明“”，验证n=1时，左边计算所得式子为（ ）


A．1B．1+2C．D．


【答案】D


【解析】


当时,左边计算的式子为，故选D.








二、解答题


11．（2020·广西高三其他模拟（理））设数列满足，.


（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；


（2）记，求数列的前n项和.


【答案】（1），，；证明见解析；（2）.


【分析】（1）由题意可得，，


由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，


即，


证明如下：


当时，成立；


假设时，成立.


那么时，也成立.


则对任意的，都有成立；


（2）因为.


∴，①


，②


①-②得：


.


∴.


12．（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列满足，，当.


（1）计算，，猜想的通项公式，并加以证明.


（2）求证：.


【答案】（1），，，证明见解析；（2）证明见解析.


【分析】（1）解：由，，


所以，.


猜想：，


证明：当时，由，，故成立；


假设（）时成立，即，


所以，


即当时成立，


综上所述，.


（2）证明：由（1）知，，


所以











，证毕.


13．（2020·浙江瓯海区·温州中学高三月考）已知正实数列满足，，．


（Ⅰ）证明：；


（Ⅱ）证明：．


【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.


【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：．


①时，，，显然满足；


②假设时，成立，即，


则，即，所以，


即时，也成立；


综上，对应任意的，都有成立；


（Ⅱ）因为，


所以，则，


所以


.


14．（2020·全国）数列满足）.


（1）计算，并由此猜想通项公式；


（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.


【答案】（1），；（2）证明见解析.


【解析】：（1），由此猜想；


（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即


当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，


综上所述，.


15．（2020·全国高三专题练习）已知数列，，其中为等差数列，且满足，，，．


（1）求数列，的通项公式；


（2）设，求证：．


【答案】（1）；；（2）证明见解析.


【分析】（1）当，时，，


已知，，解得，公差，.


因此，


，


累加得;


（2）法一：


,





.


法二：因为时，，成立，时，成立.


下面用数学归纳法证明时不等式成立.


（1）当时，成立.


（2）假设时，成立,


那么时，.


要证成立,


只要证成立,


只要证,


只要证，显然成立,


所以，当时，不等式成立.


根据（1）（2）不等式对任意，成立.


所以对任意，不等式成立.