3.1.5 透镜成像

这是一份3.1.5 透镜成像，共40页。教案主要包含了，则此时物距为u，则有等内容，欢迎下载使用。

§1.5、透镜成像
图1-5-1
1.5.1、透镜成像作图
（1）三条特殊光线
①通过光心的光线方向不变；
②平行主轴的光线，折射后过焦点；
③通过焦点的光线，折射后平行主轴。
（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，与焦平面 交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线
*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
1.5.2、薄透镜成像公式
薄透镜成像公式是：

图1-5-2
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令，，则有

该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。
一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心和的两点时，求像所在的位置及速度。
，
代入牛顿公式得
，，，，
上述、、、意义如图1-5-2所示。
设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为 ，有

当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有

图1-5-3


将、、、的值代入，求得， 。像移动方向与移动方向相同。
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。假定，P为实物，为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a）反向为（b）图所示，则表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的，为虚物均为实物。
1.5.3、组合透镜成像
u
v
图1-5-4
如果由焦距分别为和的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴）将一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。
因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有
①
另一个考虑角度可认为是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A后成像，设位于A右侧距A为处，应有
②
因为位于透镜B右侧处，对B为一虚物，物距为，再经B成像 ，所以
③
由②、③可解得
④
比较①、④两式可知

如果A、B中有凹透镜，只要取负的或代入即可。
1.5.4、光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m一般是指所有成实像的长度放大率，即v=mu。
如果有一幻灯机，当幻灯片与银幕相距2.5m时，可在银幕上得到放大率为24的像；若想得到放大率为40的像，那么，假设幻灯片不动，镜头和银幕应分别移动多少？
根据第一次放映可知

可解得 ，

第二次放映

可解得 ，
比较和，可知镜头缩回1.6mm；比较和，可知银幕应移远1.54m。
虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α，用仪器观察物体的视角为β，那么
m=β/α
d
L
图1-5-5
先看显微镜的放大率。如果有一台显微镜，物镜焦距为，目镜焦距为，镜筒长L，若最后的像成在离目镜d处，试证明显微镜的放大率。
显微镜的光路如图1-5-5所示，AB经物镜Ⅰ成一放大实像，物镜的长度放大率

因、相对L都较小，而且B很靠近，所以
，
即
位于目镜Ⅱ的焦点内，经目镜成一放大的虚像（通常让成在观察者的明视距离d上）。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到的视角β为

若观察者不用显微镜，直接观看AB的视角α为

则显微镜的放大率m

不难看出目镜的长度放大率为

所以有
s
f1
f2
图1-5-6
下面再看天文望远镜的放大率，如果天文望远镜的物镜焦距为，目镜焦距为，试证明天文望远镜的放大率 。
望远镜成像光路如图1-5-6所示，远处物体AB由物镜Ⅰ成像，然后再由目镜Ⅱ在远处成一虚像（图中未画出），观察者观察的视角即为图中的β，。若不用望远镜，观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视角，近似为图中的α

因此望远镜的放大率m为

u≈f
v
图1-5-7
图1-5-8
图1-5-9
1.5.5、常见的光学仪器
投影仪器 电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等，都属于投影仪器，它的主要部分是一个会聚的投影镜头，将画片成放大的实像于屏幕上，如图1-5-7。由于物距u略大于焦距f，画片总在物方焦平面附近，像距υ»f，放大率，它与像距v成正比。
一光学系统如图1-5-8所示，A为物平面，垂直于光轴，L为会聚透镜，M与光轴成45°角的平面镜。P为像面，垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为A面上的一个“上”字，试在图1-5-9中实像面P上画出像的形状。
眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看，类似于照像机，图1-5-10为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜，相当于照像机中的感光底片，虹膜相当于照像机中的可变光阑，它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是一个折射率不均匀的透镜，包在眼球外面的坚韧H
H’
图1-5-10
的膜，最前面的透明部分称为角膜，其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部分称为前房，其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔，称为后房，其中充满玻璃状液。所以，眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率（焦距）来调节聚焦的距离。
眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点，分别称为它调节范围的远点和近点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长，无穷远的物体成像在网膜之前，它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短，无穷远的物体成像在网膜之后（虚物点）。矫正近视眼和远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透图1-5-11
镜。所谓散光，是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引起的，它需要非球面透镜来矫正。
视角、视角放大 物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角，视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。当两物点（或同一物体上的两点）对人眼视角大小（约）时，才能被人眼区分。
在看小物体时，为了增大视角就要缩短物眼间距离，但当其小于人眼近点距离时，视网膜上所成的像反而模糊不清。为此，必须使用光学仪器来增大视角。
图1-5-11是人眼（E）通过放大镜观察物体AB的像，当人眼靠近光心时视角。
图1-5-12

若物体很靠近焦点，且成像于明视距离，则：
，

若不用放大镜将物体置于明视距离，如图1-5-12，BE=25cm，则视角：

把用光学仪器观察虚像所得视角与将物体放在虚像位置上直接观察的视角φ的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β表示视角放大率，即有
图1-5-13
对于放大镜，有 。
显微镜 图1-5-13是显微镜成像原理图。被观察物体AB置于物镜焦点外很靠近焦点处，（），成放大实像于目镜焦点内靠近焦点处（），眼睛靠近目镜的光心可观察到位于明视距离的虚像
显微镜的物镜视角放大率

未在图中画出。目镜放大率：

未在图中画出。显微镜的视角放大率：

式中L是镜筒长度。由于«L，因此在计算放大率时用L代表物镜像距。通常显微镜焦距很小，多为mm数量级，明镜焦距稍长，但一般也在2cm以内。
图1-5-14
图1-5-15
望远镜 望远镜用于观察大而远的物体，如图1-5-14，图1-5-15分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。
两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行光，因此将在物镜的焦平面上成一实像。开普勒望远镜的目镜也是凸透镜，其焦距较短，物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。结果，以为物，在无穷远处得到虚像。而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜，当它的物方焦平面（在右侧）与物镜的像方焦平面重合时，实像却成了虚物，经凹透镜折射成像于无穷远处。
由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的，可用于观察地面物体，而开普勒望远镜观察到的像是倒立的，只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为：

还有一类望远镜的物镜是凹面镜，称为反射式望远镜。大型的天文望远镜都是反射式望远镜。
例题
例1、如图1-5-16。AB为一线状物体，为此物经透镜所成的像。试用作图法确定此镜的位置和焦距，写出作图步骤。
图1-5-16
图1-5-16
分析: 像是倒像，所以透镜应是凸透镜。物AB和像不平行，所以物相对于透镜的主轴是斜放的，沿物体AB和其像所引出的延长线的交点必在过光心且垂直于主轴的平面上，这条特殊光线是解答本题的关键光线。
解: 作和的连线，两条连线的交点O就是凸透镜光心的位置。作AB和的延长线交于C点，C点必定落在透镜上。由C、O两点可画出透镜的位置，过O点且与 CO垂直的连线MN就是透镜的主光轴，如图1-5-17所示。过A点作平行于主光轴的直线交透镜于D点，连接，该连线与主光轴的交点F就是透镜的右焦点位置。过 作平行于主光轴的直线交透镜于E点，连线EA与主光轴的交点就是透镜左焦点的位置所在。
点评 熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律，并能灵活运用特
殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。
例2、如图1-5-18，MN是凸透镜主光轴，O为光心，F为焦点，图中所画两条光线为点光源S经凸透镜折射的两条光线。用作图法确定光源S与像点的位置。
图1-5-19
图1-5-18
分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的，所以两条出射光线的反向延长线的交点就是像点的所在位置。由于物点发出的过光心的光线不改变方向，由此可以确定物点S落在直线上，与凸透镜右焦点F的连线交凸透镜于P点，由于物点发出的平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过F焦点，所以过P点作与主光轴MN的平行线与相交处就是物点S所在位置。如图1-5-19所示。
解: 反向延长两条出射光线，它们的交点就是像点，分别作和O的连线，和F的连线且与凸透镜交于P，过P点作与MN的平行线PS与交于S，S就是物点所在位置。
点评 正确理解像的物理意义，物与像之间的关系，才能顺利解答这类作图题。
例3、在斯涅耳的档案中有一张光学图（见1-5-20），由于墨水褪色只留下三个点；一个薄透镜的焦点F，光源S和透镜上的一点L。此外还留下一部分从光源S画到其像的直线a。从正文中知道S点比点更靠近透镜，图1-5-20
图1-5-21
有可能恢复这张图吗？如果可能，把它画出来，并确定图中透镜的焦距。
解: 1、令O为透镜的光学中心；
2、F和O点应位于垂直于透镜的光轴上，因此是直角；
3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心；
4、连接F，L点并以线段FL的中点C为圆心，画一通过F及L点的圆；
5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角，可以判定O点位于圆和直线a的交点上；
6、从圆中找到O点的两个可能的位置（和）；
7、恢复出两种可能的示意图，如图1-5-21所示；
8、由于光源S比其像更靠近透镜，可以断定只有透镜符合题意。实际上，对透镜可以看到S到的距离大于二倍焦距，因此到的距离小于二倍焦距。
图1-5-22
例4、焦距均为f的二凸透镜、与两个圆形平面反射镜、放置如图1-5-22。二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源O。
1、画出由光源向右的一条光线OA（如图1-5-22所示）在此光学系统中的光路。
2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（O点除外）形成光源O图1-5-23
P
Q
的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像。
3、现在用不透明板把和的下半部（包括透镜中心）都遮住，说出这些像有什么变化。

解: 1、光线OA的第一次往返光路如图1-5-23所示。当光线由图中左方返回经O点后，将继续向右下方进行，作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出。以后，光线重复以上两种往返光路。
2、向右发出的光线：处成实像，右方无限远处成虚像；处成实像；P处（左方处主轴上）成虚像。
向左发出的光线：处成实像；左方无限远处成虚像；处成实像；Q处（右方处主轴上）成虚像。
3、向右发出的光线只在处成实像。向左发出的光线只在处成实像。两像均比未遮住时暗。
H
2f
F
F/
图1-5-24
例5、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（图1-5-24）。
（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。
（2）用计算法求出此像的位置和大小。
H
P
A
F
S
T
A/
P/


L M
Q
O
S/
F/
图1-5-25
分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路，但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律，这是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。
解: （1）用作图法求得物AP的像及所用各条光线的光路如图1-5-25所示。
说明：平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM，如图1-5-25所示。图中O为L的光心，为主轴，F和为L的两个焦点，AP为物。作图时利用了下列三条特征光线：
①由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为α。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的。
②由P发出且通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图个中RFP。
③由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点，即沿图中的方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：通过O作平行于QF辅助线，通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。
上列三条出射光线的交点即为LM组合所成的P点的像，对应的即A的像点。由图可判明，像是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得，即为正确的答案。
（2）按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。
物AP经透镜L成的像为第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平面镜后距离2f处，像的大小与原物相同， 。
第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2f处，对M来说是虚物，成实像于M前2f处。像的大小也与原物相同，。
第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像。这是因为光线由L右方入射。且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物距 ，由透镜公式可得像距

上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，像的大小可由求得，即

像高为物高的 。
例6、如图1-5-26所示，凸透镜焦距f=15cm，OC=25cm，以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。
C
F
O
F
图1-5-26
分析: 先考虑发光圆环上任意一点P经透镜所成之像，当P点绕圆环一周时，对应的像点的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。
解: 如图1-5-27所示，以O点为直角坐标系原点建立坐标系xOy和。考虑发光圆环上任一点P（x，y），则有
①
C
F
O
F
x
P
Pˊ
xˊ
y,yˊ
图1-5-27
发光点P（x，y）的像为，根据透镜成像公式及放大率关系可有
②
③
联立②、③式解得
④
⑤
将④、⑤式代入①式中并整理得
⑥
⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心45cm处，以主光轴为长轴的椭圆。
讨论 如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。
点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。
例7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜，讨论可行性。
解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征；球形表面的半径和，厚度d和折射n（图1-5-28），焦距f=BF由下式给出
r1
r2
f
d
F
A
B
图1-5-28

焦距是从主点B算起的。B离表面的距离为

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给满意结果，因为是在一定的近似下得到的。
光被透镜色散。透镜对波长的折射率是，对波长的折射率是。按折射率n的幂次整理焦距公式，得

这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可以解决。
先后以和代入方程，并令其相等


整理后得到

如果半径与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积在起作用，而不是色散（）。因折射率大于1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。
结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，和之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。
如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。
例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。
12.0cm
8.0cm
0.90cm
图1-3-29
1、求插入玻璃板后，像的新位置。
2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？
解: 解法1
1、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图1-3-30，取任一指向点的傍轴光线C，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDE，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向图1-3-30
延长E交D点处的法线于F，容易看出，DE为平行四边形，则

平行板厚度d为

得
因为i与r都很小，所以

故得

以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上点。在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离，由题给数据得

故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3（cm）处。
2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有
1/228+1/2=1/f，
可得 f=11.4cm。
插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即
v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为u，则
1/u+1/11.7=1/11.4，
得 u≈4.45m。
即：物体置于镜头前4.45m时，插入玻璃板后，仍可在胶片上得到清晰的像。
解法2
图1-5-31
1、对于玻璃板第一面上的折射，其物距为
，，
根据公式 （见图1-5-31）
可得
对于玻璃板第二面上的折射，（见图1-3-32）
其物距为
图1-5-32

又根据
可得

故像成在镜头后面的像距为

比原像向后移动△v，即

2、设照像机镜头焦距为f，不插入玻璃板时，
1/f=1/228+1/12，
得 f=11.4cm。
要使放上玻璃板后，像还成在离镜头12cm处的胶片上，可采用个光路可逆性原理从已知像的位置，求此物体应在的位置。
对于玻璃板第二面上的折射：
已知：像距，，，设与之相应的物为，则可得

对于玻璃板第一面上的折射：
已知：像距 ，，，设与之相应的物为P，则可得


对于凸透镜，像距为v=8.6+3.1=11.7(cm) ，则此时物距为u，则有
1/u+1/11.7=1/11.4，
u=4.45m。
即物体应放在照相机镜头前4.45m处，才能在胶片上得到清晰的像。

物
L1
L2
图1-5-29
d+u
u
v
d-v
d
O1
O2
L1
L2
图1-5-31
例8、有两个焦距分别为和的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配置，则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像，如图1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置。
分析: 首先，我们应根据题目给出的条件，分析得出物经透镜、所成像的虚、实与大小，从而得出光学系统的配置关系；然后再运用透镜成像公式求出光学系统中物、、位置的具体距离与、的数量关系。
解: 设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑，光线经过第2个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像必为虚像才能满足题设要求。由此判定，作为透镜2的“物”必在其左侧，物距小于透镜2的焦距，并且是倒立的。再考虑到透镜2的“物”应该是透镜1对给定的傍轴物体所成的像（中间像），它只能是给定物的倒立实像，必然成像在透镜1的右侧。（由于最后的像与原物同样大小，还可以肯定中间像一定是缩小的。）以上分析表明，光线系统的配置如图1-5-28所示。
根据图上标明的两透镜位置和物距、像距，有
①
因最后像为虚像，则
②
又因物、像大小相等，则
③
由③得

代入①②并经过化简可得
，
因题图中要求，故必须。由以上分析可知，要取焦距较小的透镜（即如，取透镜a，反则反之）作透镜，放在物右方距离u处，而把焦距较大的透镜作为透镜放在透镜右方距离d处，就得到题所要求的配置方案。
例9、焦距为20cm的薄凸透镜和焦距为18cm的薄凹透镜，应如何放置，才能使平行光通过组合透镜后成为
1、平行光束；2、会聚光束；3、发散光束；（所有可能的情况均绘图表示）。
解: 设凸透镜主焦点为；凹透镜主焦点为。
1、平行光束
（1）凸透镜在前时，d=2cm，d为两透镜间距离（见图1-5-34）。
L1
L2
d
2cm
18cm
F′
F
(共焦)
图1-5-34
L2
L1
d
F′
F2
图1-5-35
F2
F1
L1
L2
图1-5-36
F1
F2
L2
L1
d
图1-5-39
L2
L1
d
F′
F2
图1-5-38
F2
F1
L2
L1
图1-5-37
（2）凹透镜在前时，d=2cm，根据光路可逆性原理，这相当于把前面的系统反过来。
2、会聚光束。
（1） 凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-35）。
（2） 凹透镜在前时d＞2cm（图1-5-36）。
3、发散光束
（1）凸透镜在前时，d＞2cm（图1-5-37）
（2）凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-38）
凹透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-39）








10、焦距f的数值均相同的三个薄透镜、与 ，依次为凸透镜、凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为d，各透镜的光心分别为，如图1-5-40所示，在透镜左方，位于主光轴上的物点P，经过此光学系统最终成像于透镜右方的Q点 若距离，则物点P与透镜的距离应为多少？
图1-5-40
分析: 此题按陆续成像考虑，一个一个透镜做下去也能得出⑥式的解，但列式子时容易出错，不如考虑对称性的解法，有清晰的物理图像，求解主动。
此题的⑦式的解也以用“P经成像”的思路解出最为简明，但能这样想必须以“透镜成像时，若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。
解:（1）该系统对凹透镜而言是一左右对称的光学系统。依题意，物点P与像点Q处于对称的位置上，即对凹透镜而言，物点及经它成像后的像点应分居的两侧，且物距与像距相等。即

代入凹透镜的物像公式

解得
物距与像距均为负值表明：物点P经透镜成像后，作为凹透镜的物点位于它的右侧，因而是虚物，经凹透镜成像于它的左侧，为一虚像，虚像点与虚像点的凹透镜位于对称位置（图1-5-41）

图1-5-41
图1-5-42
代入凸透镜的物像公式

解出

（2）由②式，凹透镜的像距可表示为

当物点由右向左逐渐趋近于时，即物距由负值逐渐增大而趋于零时，像距亦由负值逐渐增大趋于零，即像点由左向右亦趋近于。即时，当时，，即对凸透镜而言，像距，参见图1-5-42，代入⑤式

解得：

此结果表明，当物点P经过透镜后恰成像于透镜的光心上，由系统的对称性，可知经透镜后，将成像于对称点Q。像距数值为

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解，但对⑦式的结果，透镜间距d必须满足条件

这也可以从另一角度来考虑，当P通过成像正好在的光心处时，它经过的像仍在原处，即 。这样也可得到上面的结果。
例11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。
分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。
解:（1）先求凸球面的曲率求径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图1-5-43所示，C点为球面的球心，，由正弦定理可得
图1-5-43

由折射定律知

当i、r很小时，，，由以上两式得

12cm
图1-5-44
所以
（2）凸面镀银后将成为半径R的凹面镜，如图1-5-44所示令P表示物所在的位置，P点经平面折射成像于，根据折射定律可推出

由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得

因此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。


最后所成实像在透镜左方24cm处。
例12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm的凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源（如图1-5-45）
1、光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
图1-5-45
2、若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此像的位置。
3、继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像的大小。
解:1、设u,v,f分别为物距、像距和焦距，由成像公式

得

代入u=100mm,f=90mm，得

又从放大率公式知光源的半径b为

h
h′
γ
i
图1-5-46
2、注入水后，当水面高于光源h(mm)时，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距离，等效光源在距水面处。设i,r分别为入射角和折射角，则，（图1-5-46），对近轴光线

故原来的物距u在注入水后变成等效物距

于是像距为

本小题中，h=100mm,u=100mm，故得

实像在透镜上方1170mm处。
3、当水注满而又恰好不碰上透镜时，仍可用上面的公式，但此时h=100mm，

等效光源已在焦距之内，此时像的半径为

此时所成像是一半径为30mm的正立虚像，位于透镜下方。
例13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为12cm，暗箱的最大伸长为20cm的照相机，要用这个照相机拍摄距镜头15cm处的物体，需要在镜头上附加焦距为多少的一个薄透镜，使暗箱最大伸长时，像能清晰地呈现在底片上？（假设两个薄透镜紧贴着，其间距离可以忽略不计）
分析：这是一个组合透镜成像的问题，可以从两个不同角度来考虑求解。（1）依照成像先后顺序，物体经前一个透镜成的像视为后一透镜成像之物，重复运用透镜成像公式来求解；（2）把组合透镜视为一个透镜整体来处理，再根据组合透镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求解。
解法一：将附加薄透镜加在镜头的前面，照相机镜头焦距为12cm，暗箱最大伸长为20cm，设它能拍摄的物体的最近距离为u。
以f=12cm,v=20cm代入透镜成像公式，可以求得u。
附加薄透镜
(a)
12cm
30cm
20cm
主透镜
(b)
附
主
15cm
(C)
图1-5-47


设附加镜头的焦距为，它的作用是使距镜头15cm的物体成像在30cm处。
以u=15cm,v=-30cm代入透镜成像公式，可以求得。


所以 ，是凸透镜，光路图如图1-5-47所示。
图1-5-47（a）表示附加薄透镜的作用是将距镜头15cm的物体在30cm处造成的虚像。图1-5-47（b）表示以为物，经主透镜成像于镜后20cm处底板上成实像。图1-5-47（c）表示附加透镜加在主透镜的前面，距透镜15cm的物体AB，其所发的光线经附加透镜和主透镜折射后在另一侧20cm处得一实像。
解法二：将附加薄透镜加在镜头后面。
无附加透镜时，物距u=15cm,焦距f=12cm，像距为v。
由
得
设附加镜头的焦距为，上述像即附加透镜中的虚物，此时物距为 ，像距为 。
由
得
光路图如图1-5-48所示。
图1-5-48（a）表示距主透镜15cm的物体，在主透镜另一侧成一距透镜60cm的实像。图1-5-48（b）表示附加透镜附于主透镜之后，光线①因通过光心方向不变，由物体射出之光线，经主透镜折射后其中的光线②再经附加透镜的折射，改变方向为光线③因而成像于处。图1-5-48（c）表示距透镜15cm的物体，经主透镜、附加透镜折射后成像于另一侧20cm主透镜
15cm
(a)
12cm






附加薄透镜
(b)
主
附
15cm
(c)
透镜
图1-5-48
处。
解法三：照相机镜头焦距f=12cm，附加薄凸透镜焦距为,相当于一个焦距为F的凸透镜，且有

因为
，

所以
把求得的F值代入①式
有

则即为所求附加薄透镜焦距。
点评：透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题，对于这类问题，一方面要注意不同的光学元件各自的成像规律，另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性。即前一光学元件的像视为后一光学元件之物。
例14、长度为4mm的物体AB由图1-5-49所示的光学系统成像，光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均示于图中。求：
6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
n=1.5
45˚
f1
f2
f2=-10cm
f1=-20cm
B
A
图1-5-49
1、像的位置；
2、像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
解: 解法1
1、分析和等效处理
根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为

6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
N=1.5
45˚
图1-5-50
注意到物长为 4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在45º左右，大于临界角，发生全反射，所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜，本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”，如图4-3-34的示。
现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。
2、求像的位置
图1-5-51
厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。
设轴上物点为B，由于厚度平玻璃板的作用而形成的像点（即侧像的物点）为（图1-5-51）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知

而
所以
当为小角度时

故得

这也就是物AB与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。
这个像对透镜来说就是物，而物距

可见，物证好在 的左方焦平面上，像距即为

再考虑透镜，这是平行光线入射情况

所以必成像于这个发散透镜左侧焦平面上（虚像）。

整个光路的最后成像位置就是在 的左侧10cm处。
3、求像的大小和虚、实、正、倒情况
图1-5-52
可用作图法求解，如图1-5-52所示（为了图示清楚，图中把物高加大了）。
连接并延长，便得到发自的光线经后的平行光线的方向。过的光心作的平行线，它与交于C点，则即为从出发经过折射又通过光心的光线。反向延长与左侧焦面的交点就是由经所成的像点。令左侧焦面与光轴的焦点为，就是的像。这是一个正立的虚像。由图可得


而 与AB等高，所以像的大小为

解法2
图1-5-53
关于物体经棱镜（折射、反射、再折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。
如图1-5-53所示，AB发出的与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于这是视深问题，与PQ面的距离均为A，B与PQ面的距离的n倍，即

，（像与物的大不相同）
经PQ面的折射成像于，大小不变，且

经PQ面的折射成像于，大小不变，且




由此即可求出这个像作为透镜的物距。其它部分的求解同解法1。
图1-5-54
例15、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于轴，与透镜的距离为2.00cm，如图1-5-54所示，设光楔的折射率n=1.5，楔角=0.028弧度。在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？
分析:这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果。
解:共有五次成像过程。
图1-5-55
（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光线方向的夹角）用表示，由图1-5-55可知
，，
对近轴光线，很小，有；
因也很小，同样有

图1-5-56
故有

代入数值，得

因与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-5-56。
光点S经光楔成一虚像点。对近轴光线，在S正上方，到S的距离为h，离光楔距离。

代入数据，得

（2）为透镜L的实物，像点的位置可由下式求出

以u=30.00cm,f=20.00cm代入，得

图1-5-57
将视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式

可求得

即像点在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜的中心距离为60.00cm处，图1-5-57。
（3）在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点与对称于平面镜（图1-5-57）


（4）作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点，及与L的距离分别为和，则
，
在透镜左侧，主轴上方，图1-5-58。

图1-5-58
（5）第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点在正下方，离光楔距离为50cm，离光轴的距离为（见图1-5-58）。


像点在光轴上的垂足与S的距离为

即最后的像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm。