5.1.1 原子

  第一讲   原 子 物 理

自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。

§1.1    原子

1．1．1、原子的核式结构

1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。

1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm以下。

1、1．2、氢原子的玻尔理论

1、核式结论模型的局限性

通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论：

①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统；

②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。

为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。

2、玻尔理论的内容：

一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。

二、原子从一种定态（设能量为E2）跃迁到另一种定态（设能量为E1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即

=E2-E1

三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r和运动初速率v需满足下述关系：

，n=1、2……

其中m为电子质量，h为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连续的，或者说轨道是量子化的，每一可取的轨道对应一个能级。

定态假设意味着原子是稳定的系统，跃迁假设解释了原子光谱的离散性，最后由氢原子中电子轨道量子化条件，可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。

氢原子的轨道能量即原子能量，为    

因圆运动而有             

由此可得                 

根据轨道量子化条件可得：

      ，n=1，2……

因，便有         

得量子化轨道半径为：

，n=1，2……

式中已将r改记为rn对应的量子化能量可表述为：

，n=1，2……

n=1对应基态，基态轨道半径为    

计算可得：            =0.529

r1也称为氢原子的玻尔半径

基态能量为          

计算可得：          E1=eV。

对激发态，有：

，n=1，2…

n越大，rn越大，En也越大，电子离核无穷远时，对应，因此氢原子的电离能为：

电子从高能态En跃迁到低能态Em辐射光子的能量为：

光子频率为           ，

因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为：

，

试求氢原子中的电子从第n轨道迁跃到n-1第轨道时辐射的光波频率，进而证明当n很大时这一频率近似等于电子在第n轨道上的转动频率。

辐射的光波频率即为辐射的光子频率，应有

将                    

代入可得

当n很大时，这一频率近似为   

电子在第n轨道上的转动频率为：

将                   

代入得               

因此，n很大时电子从n第轨道跃迁到第n-1轨道所辐射的光波频率，近似等于电子在第n轨道上的转动频率，这与经典理论所得结要一致，据此，玻尔认为，经典辐射是量子辐射在时的极限情形。

1、1．3、氢原子光谱规律

1、巴耳末公式

研究原子的结构及其规律的一条重要途径就是对光谱的研究。19世纪末，许多科学家对原子光谱已经做了大量的实验工作。第一个发现氢原子线光谱可组成线系的是瑞士的中学教师巴耳末，他于1885年发现氢原子的线光谱在可见光部分的谱线，可归纳为如下的经验公式

，n=3，4，5，…

式中的为波长，R是一个常数，叫做里德伯恒量，实验测得R的值为1.096776107。上面的公式叫做巴耳末公式。当n=3，4，5，6时，用该式计算出来的四条光谱线的波长跟从实验测得的、、、四条谱线的波长符合得很好。氢光谱的这一系列谱线叫做巴耳末系。

2、里德伯公式

1896年，瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公式表示出来，即

n=1，2，3…，，…

上式称为里德伯公式。对每一个，上是可构成一个谱线系：

，，3，4…       莱曼系（紫外区）

，，4，5…   巴耳末系（可见光区）

，，5，6…   帕邢系（红外区）

，，6，7…   布拉开系（远红外区）

，，7，8…   普丰德系（远红外区）

以上是氢原子光谱的规律，通过进一步的研究，里德伯等人又证明在其他元素的原子光谱中，光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。这种规律性为原子结构理论的建立提供了条件。

1、1．4、玻尔理论的局限性：

玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱；从理论上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难，理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外，对谱线的强度、宽度也无能为力；也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。玻尔理论还存在逻辑上的缺点，他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又给予它们量子化的观念，失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪20年代，薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念，而代之以几率和电子云概念。

例题1：设质子的半径为，求质子的密度。如果在宇宙间有一个恒定的密度等于质子的密度。如不从相对论考虑，假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速，试计算它的半径是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol气体的分子数是个；光速）；万有引力常数G取为。只取一位数做近似计算。

解:的摩尔质量为2g/mol，分子的质量为         

∴质子的质量近似为   

质子的密度     ρ==

设该星体表面的第一宇宙速度为v，由万引力定律，得

，

而    

∴

由于“重力速度”

∴

【注】万有引力恒量一般取6.67

例题2：与氢原子相似，可以假设氦的一价正离子（He）与锂的二价正离子（L）核外的那一个电子也是绕核作圆周运动。试估算

（1）He、L的第一轨道半径；

（2）电离能量、第一激发能量；

（3）赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，原子核可视为不动，其带电量用+Ze表示，可列出下面的方程组：

，          ①

，        ②

，n=1，2，3，…      ③

，          ④

由此解得，，并可得出的表达式：

，         ⑤

其中米，为氢原子中电子的第度轨道半径，对于He，Z=2，对于Li，Z=3．

，       ⑥

其中13.6电子伏特为氢原子的基态能．

．   ⑦

，2，3，…

，，…

R是里德伯常数。

（1）由半径公式⑤，可得到类氢离子与氢原子的第一轨道半径之比：

，．

（2）由能量公式⑥，可得到类氢离子与氢原子的电离能和第一激发能（即电子从第一轨道激发到第二轨道所需的能量）之比：

电离能：      ，

第一激发能：

，

。

（其中：表示电子处在第二轨道上的能量，表示电子处在第一轨道上的能量）

（3）由光谱公式⑦，氢原子赖曼系第一条谱线的波长有：

相应地，对类氢离子有：

 ，

 ，

因此 ：               ，。

例3：已知基态He的电离能为E=54.4Ev，（1）为使处于基态的He进人激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？（2）He从上述最底激发态跃迁返回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？（离子He的能级En与n的关系和氢原子能级公式类中，可采用合理的近似。）

分析:第（1）问应正确理解电离能概念。第（2）问中若考虑核的反冲，应用能量守恒和动量守恒，即可求出波长变化。

解:（1）电离能表示He的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量。而题问最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以

54.440.8eV

（2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态迁回基态发阜的光子有关系式：

现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是而是，为反冲离子的动能，则由能量守恒得   

又由动量守恒得   

式中是反冲离子动量的大小，而是发射光子的动量的大小，于是，波长的相对变化

=

由于

所以     

代入数据

即百分变化为0.00000054%