5.3.2 量子力学初步

§3、2    量子力学初步

3．2．1、   物质的二象性

①光的二象性：

众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。

一个光子的能量： E=hv    v是光的频率，h是普朗克常数

光子质量：            

光子动量：       

②德布罗意波

德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E、动量为p，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是

自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。

物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。

例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量）热中子是指在室温下（T=300K）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能

它的方均根速率，相应的德布罗意波长

这一波长与X射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。

3．2．2、海森伯测不准原理

设一束自由粒子朝z轴方向运动，每一个粒子的质量为m，速度为v，沿z轴方向的动量P=mv。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x方向）的动量取精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x位置坐标可取任意值，或者说粒子的x位置坐标不确定范围为。为了在波阵面的某个x位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x位置不确定范围为△x。△x越小，通过狭缝粒子以x位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭缝即会发生衍射，出射波会在缝的上、下两侧散开，或者说通过狭缝的粒子既有可能继续沿x轴方向运动，也有可能朝x轴正方向或负方向偏转地向前运动。偏向的粒子必对应地取得x方向的非零动量，即有，这表明出射粒子在x方向的动量不再一致地为，因此x方向动量有不确定性，不确定范围可记为。缝越窄，△x越小，粒子的x位置越接近准确，但衍射效应越强，越大，粒子的x方向动量值越不准确。反之，缝越宽，△x越大，粒子的x位置越不准确，但衍射效应越弱，越小，粒子的x方向动量值越准确。总之，由于波动性，使粒子的x位置和x方向动量不可能同时精确测量，这就是测不准原理。

由近代量子理论可导出△x与之间的定量关系，这一关系经常可近似地表述为：

h

对y和z方向，相应地有：

,    

有时作为估算，常将上述三式再近似取为：

在经典力学中，运动粒子任意时刻的位置和动量或者说速度都可以精确测定，粒子的运动轨道也就可以确定。在量子理论中，运动粒子在任意时刻的位置和动量或者说速度不能同时精确测定，粒子的运动轨道也就无法确定。微观世界中，粒子的运动轨道既然不可测，也就失去了存在的意义。如在经典力学中，可以说氢原子中的电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动。在量子力学中，只能说粒子在核周围运动，某时刻电子的位置可能在这里，也可能在那里。描述这种可能性的概率有一个确定的分布。即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子，也不能预言下一时刻该电子会出现在什么位置，因为电子的运动没有可供预言的轨道。经典力学中一个粒子可静止在某一确定的位置，量子力学则否定了这种可能性。据测不准原理，如果一个粒子在x、y、z              坐标完全确定，即△x=△y=△z=0，那么它的x、y、z方向动量均不可为零，否则，与上面给出的关系式显然会发生矛盾。

例2、实验测定原子核线度的数量级为。试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时的动能。从而判断原子核由质子和电子组成是否可能。

取电子在原子核中位置的不确定量，由测不准原理得

由于动量的数值不可能小于它的不确定量，故电子动量考虑到电子在此动量下有极高的速度，由相对论的能量动量公式

故        

电子在原子核中的动能。理论证明，电子具有这么大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。

3.2.3    量子力学的基本规律——薛定谔方程 

 波函数是描写微观粒子的基本物理量，波函数所遵从的规律，就是量子力学的基本规律，它将决定粒子函数的特征，从而决定粒子的运动状态。正像在经典力学学里，粒子的位置和动量描写粒子的运动状态，牛顿运动定律决定了粒子的位置和动量如何变化，因而牛顿运动定律是经典力学的基本规律。

奥地利物理学家薛定谔（1887~1961）在1926年找到了遵从的规律，称为薛定谔方程。在应用数学形式描述电子的波粒二象性上，他从麦克斯韦电磁理论得到启发，认为电子的德布罗意波也可以应用类似于光波的方式加以描述。这个方程既描述了电子的波动行为，又蕴涵着粒子性特征。写出并求解薛定谔方程，超出本书的范围。不过，我们可以讨论一下有关结论。

波函数必须满足一些物理条件：作为描写粒子运动状态的应是时空坐标的单值函数，变化应是连续的，不能变为无限大，即应有界。这样，薛定谔方程的解，不但成功地解释了玻尔原子理论所能解释的现象，而且能够解释大量玻尔理论所不能解释的现象。玻尔的基本假设，在量子力学里是从理论上推导出来的必然结果。原来，在薛定谔方程中，只有原子中电子具有某些不连续的能量值时，方程的解才满足上述物理条件。由薛定谔方程解中得出的氢原子中电子能量的可能值，正好就是玻尔原子理论给出的值。

3.2.4  概率密度与电子云  

我们将以原子的稳定态为例，讨论一下由波函数所决定的电子在原子中的概率密度，这波函数就是由薛定谔方程求解出来的。因为是稳定态，所以和时间无关，说明在任何时候，电子出现在任一处的概率密度都相同。例如，氢原子处在基态时，电子经常出现的概率最大的地方，是以原子核为中心的一个球壳，这个球壳的半径为米，这个数值与玻尔原子理论计算出来的基态轨道半径相同，可见，玻尔的原子轨道只不过电子出现概率最大的地方。

电子核外的运动情况，通常用电子云来形象地描述。用小黑点的稠密与稀疏，来代表电子核外各处单位体积中出现的概率（即概率密度）的大小，这样就可以画出原子的电子云图。图11-8是氢原子基态的电子云。

看一下以核为中心的一层层很薄的球壳中电子出现的概率，在靠近原子核的地方，虽然云雾浓度较大，小黑点稠密，但是靠近原子核的一个薄球壳中包含的小黑点的总数不会很多，即电子出现在这个球壳中的概率不会很大，因为这个球壳的体积较小。在远离原子核的地方，球壳的体积虽然较大，但是小黑点稀疏，因而出现在这个球壳中的概率不会很大。经过计算知道，在半径为米的一薄的球壳中电子出现的概率最大，就是玻尔理论中氢原子基态的轨道半径。

3.2.5   量子学的应用和发展

量子力学建立后，应用它计算氢原子的光谱，获得巨大成功，其理论计算与实验结果完全符合。量子力学不仅可以正确地解释氢原子光谱，而且，还可以说明复杂原子的构造，解释复杂原子的光谱。这确实表明，量子力学是微观粒子所遵从的规律。

在量子力学发展的早期，就认识到它的应用不限于电子，对其它粒子也一样适用。1927年，美国物理学家康登应用量子力学解释了α衰变现象。这又称为隧道效应。在α粒子放射体中α粒子被约束在原子核内，其能量小于核对它的结束能量——势垒，按照经典理论，α粒子是不可能穿出原子核的。但是，按照量子力学，α粒子有穿过势垒的概率。这个概率即使很小，但不为零。对大量的原子核来说，总会有一小部分原子核的α粒子，穿透势垒而发射出来。理论计算为实验数据所证实。

量子力学在建立之初，就用于研究分子的结构。美国物理学家和化学家泡利阐明了化学键的本性，就是以量子力学为依据的。比如，对,CO等分子，原子之间的相互作用是量子力学效应。当两个氢原子互相靠近时，它们能量的减小在于相互吸引作用，而这是由于两个原子共享两个电子造成的。和电子波函数的对称性密切相关。量子力学可以算出分子的平衡距离为米，两个氢原子结合成氢分子时释放的能量为4.52电子伏。同样，量子力学也解释了共价键以外的结合键。这里不作具体介绍。

凝聚态物理，如液体和固体的构造理论，其导电与导热性能的解释，也是建立在量子力学基础之上的。比如研究电子在晶体中的运动，因为晶体点阵的周期性结构。电子受的力也具有空间的周期性，量子力学能揭示电子在晶体中的运动状态，就像一个原子中的电子可以处在不同的能级上，在固体中，电子可以在不同的能带上，能带有一定的宽度，代表一个能量范围。这就是能带理论。应用能带理论，可以成功地解释金属和半导体的导电特性。在近代，其实际应用几乎随处可见。

薛定谔方程是非相对论的，不能应用于高速的微观粒子。1928年，狄拉克建立了相对论的量子力学方程，称为狄拉克方程。它不仅成功地说明电子自旋的存在，而且还证明，对于每一种粒子，都存在相应的反粒子。电子的反粒子带正电，其他性质都和电子相同。1932年，美国物理学家安德森从宇宙射线中发现了正电子，证明了狄拉克理论的正确性，这是基本粒子广泛研究的开始。