5.2.6 广义相对论初步

§2、6、广义相对论初步

狭义相对论在惯性系里研究物理规律，不能处理引力问题。

1915年，爱因斯坦在数学家的协助下，把相对性原理从惯性系推广到任意参照系，发表了广义相对论。由于这个理论过于抽象，数学运算过于复杂，这里只做个大概描述。

2．6．1、  非惯性系与惯性力   牛顿运动定律在惯性系里才成立，在相对惯性系做加速运动的参照系（称非惯性系）里，会出现什么情况呢？例如，在一列以加速度 做直线运动的车厢里，有一个质量为m的小球，小球保持静止状态，小球所受合外力为零，符合牛顿运动定律。相对于非惯性系的车厢来观测，小球以加速度-向后运动，而小球没有受到其他物体力的作用，牛顿运动定律不再成立。

不过，车厢里的人可以认为小球受到一向后的力，把牛顿运动定律写为。这样的力不是其他物体的作用，而是由参照系是非惯性系所引起的，称为惯性力。如果一非惯性系以加速度相对惯性系而运动，则在此非惯性里，任一质量为m的物体受到一惯性力，把惯性力计入在内，在非惯性里也可以应用牛顿定律。当汽车拐弯做圆周运动时，相对于地面出现向心加速度，相对于车厢人感觉向外倾倒，常说受到了离心力，正确地说应是惯性离心力，这就是非惯性系中出现的惯性力。

2．6．2、  惯性质量和引力质量   根据牛顿运动定律，力一定时，物体的加速度与质量成反比，牛顿定律中的质量度量了物体的惯性，称为惯性质量，以为符号，有

根据万有引力定律，两物体（质点）间的引力和它们的质量乘积成正比。万有引力定律中的质量，类似于库仑定律中的电荷，称为引力质量，以为符号。

惯性质量和引力质量是两个不同的概念，没有必然相等的逻辑关系，它们是否相等，应由实验来检验。本世纪初，匈牙利物理学家厄缶应用扭秤证明，只要单位选择恰当，惯性质量和引力质量相等，实验精度达。后来，人们又把两者相等的实验精度提高到。

设一物体在地面上做自由落体运动，此物体的惯性质量和引力质量分别为和，以代表地球的引力质量，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

,

式中G为万有引力常量，R为地球半径，g为物体下落的加速度。因为，所以，与物体的质量无关。这就是伽利略自由落体实验的结论。

既然惯性质量与引力质量相等，就可以简单地应用质量一词，并应用相同的单位。质量也度量了物质的多少。

2．6．3、 广义相对论的基本原理   爱因斯坦提出广义相对论，主要依据就是引力质量和惯性质量相等的实验事实。既然引力质量和惯性相等，就无法把加速坐标系中的惯性力和引力区分开来。比如，在地面上，物体以的加速度向下运动。这是地球引力作用的结果。设想在没有引力的太空，一个飞船以做直线运动（现在可以做到），宇航员感受到惯性力，力的方向与a的方向相反，这时他完全可以认为是受到引力的作用。匀加速的参照系与均匀引力场等效，这是爱因斯坦提出的等效原理的特殊形式。因为引力质量和惯性质量相等，所以，在均匀引力场中，不同的物体以相同的加速度运动。这也是伽利略自由落体实验的结果。它可一般叙述为：在引力场中，如无其他力作用，任何质量的质点的运动规律都相同。这是等效原理的另一种表述。

由于等效原理，相对于做加速运动的参照系来观测，任一质点的运动规律都是引力作用的结果，具有相同的规律形式。爱因斯坦进一步假设，相对任何一种坐标系，物理学的基本规律都具有相同的形式。这个原理表明，一切参照系都是平等的，所以又称为广义协变性原理。

等效性原理和广义协变性原理是广义相对论的基本原理。

2．6．4、  广义相对论的实验验证   在广义相对论的基本原理下，应建立新的引力理论和运动定律，爱因斯坦完成了这个任务。这样，牛顿运动定律和万有引力定律成为一定条件下广义相对论的近似规律。根据广义相对论得出的许多重要结论，有一些已得到实验证实。下面介绍几例。

1、日点的进动   按照牛顿引力理论，水星绕日作椭圆运动，轨道不是严格封闭的，轨道离太阳最近的点（近日点）也在做旋转运动，称为水星近日点的进动，如图2-6-1所示。理论计算和实验观测的水星轨道长轴的转动速率有差异。牛顿的引力理论不能正确地给予解释，而广义相对论的计算结果与观测值符合。爱因斯坦当年给朋友写信说：“方程给出了进动的正确数字，你可以想象我有多高兴，有好些天，我高兴得不知怎样才好。”

2、光线的引力偏折   在没有引力存在的空间，光沿直线行进。在引力作用下，光线不再沿直线传播。比如，星光经过太阳附近时，光线向太阳一侧偏折，如图2-6-2所示。这已在几次日蚀测量中得到了证实，证明广义相对论的计算偏折角与观测值相符合。             

3、光谱线的引力红移   按照广义相对论，在引力场强的地方，钟走得慢，在引力场弱的地方，钟走得快。原子发光的频率或波长。可视为钟的节奏。引力场存在的地方，原子谱线的波长加大，引力场越强，波长增加的量越大，称这个效应为引力红移。引力红移早已为恒星的光谱测量所证实。20世纪60年代，由于大大提高了时间测量的精度，即使在地面上几十米高的地方由引力场强的差别所造成的微小引力红移，也已经精确地测量出来。这再一次肯定了广义相对论的正确性。

4、引力波的存在   广义相对论预言，与电磁波相似，引力场的传播形成引力波。星体作激烈的加速运动时，发射引力波。引力波也以光的速度传播。虽然还没有直接的实验证据，但后来对双星系统的观测，给出了引力波存在的间接证据。

广义相对论建立的初期并未引起人们的足够重视，后来在天体物理中发现了许多广义相对论对天体物理的预言，如脉冲星、致密X射线源、类星体等新奇天象的发现以及微波背景辐射的发现等。这些发现一方面证实了广义相对论的正确性，另一方面也大大促进了相对论的进一步发展。

本章典型例题

例1、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个电子的速率为0.6c，c是光速。今以一个电子为参照物，另一个电子的速率是多大？（1）用伽利略变换进行计算；（2）用洛仑兹变换进行计算。并指出哪个不合理。

解:  （1）设向右运动的电子为系，则按伽利略变换，在系中看另一电子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c，这与光速不变的实验事实相矛盾，所以是不合理的。

（2）设实验室为参照系S，一个电子参照系为，则相对于S系的速度是0.6c，另一个电子相对于S系的速度为-0.6c，按洛仑兹变换，另一个电子相对于系的速度是，则

  =                                                       

         =                                                            

这就是说，以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c＜c，即小于光速，与实验相符合，是合理的。

例2、有一条河宽为l，其河水流速是v，船相对河水的速度为，且。今有船A和B分别沿图2-6-4（a）中所示路径往返一次，求各需要时间多少？哪条船需时长些？

解  本题是经典力学问题，用力伽利略变换处和即可。设岸的坐标系为S，河水的坐标系为，如图2-6-4（b）所示，若船相对岸的速度为u，则对于A船

，

， .

由伽利略变换知:,则.而

  =

                =

所以A船往返一次所需时间为

对于B船，相对于岸的往返速度分别为和，所以其往反一次所需要的时间为

因为，所以.按和展为幂级数的公式有

  =

  =

所以         ,

故，即B往返一次的时间比A船往返一次的时间要长。

例3、一个中微子在惯性系S中沿+y方向以光速c运动，求对S系以速度v沿+x方向运动的观察者所观测到的中微子的速度和方向怎样？

解:  设运动观察者为系，他所看到的中微子的速度分量为，  ，，则按洛仑兹变换

=

 =

       （令）

            =

因此，        

即运动中的观测者测得中微子的速度仍是c，中微子的运动方向是

即中微子运动方向与轴的夹角。

例4、试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系：

证明：E- pc=(mc)-(mvc)

=mc( c- v)=( c- v)

= c - v)= mc=E

            E=pc+ E

     读者可试为之，从E- E入手证明它等于pc。

例5、一个静止质量为m的粒子以速率 v=运动，它和一个同类的静止粒子进行完全非弹性碰撞。求：

（1）复合粒子的速率。

（2）复合粒子的静止质量。

解:   在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有

                             ① 

                       ② 

        ③   

将③代入②得：              ④ 

③与④代入①得：

即复合粒子的速率为，静止质量为。

例6、求证：在伽利略变换下，质点动量定理具有不变性。

证明：在S系中，     

两边同时作定积分得： 

这就是S系中质点的动能定理的数学公式。在系中

两边同时作定积分可得：

这就是系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学，可设一质量为m的质点沿x轴正方向，在平行于x轴的恒定的合外力F作用下作匀加速直线运动。经过时间t，速度从增大到，根据牛顿第二定律在S系中有

整理得：    

这就是S系中的质点动量定理。在系中，

即         

此即系中的质点动量定理。

例7、一个静止质量为M的物体静止在实验室中，裂变为静止质量为和的两部分，试求裂变产物的相对论动能和。

解：根据相对论能量守恒有      

化简得：                           ①

根据相对论动量守恒有               ②

但          

将        和

代入②式化简得: 

                      ③

由①、③两式可解得：

,,

例8、爱因斯坦的“等效原理”指出，在不十分大的空间范围和时间间隔内，惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相同的。现在研究以下问题。

（1）试从光量子的观点出发，讨论在地面附近的重力场中，由地面向离地面的距离为L处的接收器发射频率为的激光与接收器接收到的频率v之间的关系。

（2）假设地球物体没有引力作用，现在一以加速度a沿直线做匀加速运动的箱子中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器，两者间的距离为L，现从发射器向接收器发射周期为的激光。试从地面参考系的观点出发，求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T。

（3）要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题（2）中的箱子的加速度的大小和方向应如何？

解:  （1）对于能量为的光子，其质量，在重力场中，当该光子从地面到达接收器时，增加的重力势能为mgh。由能量守恒得

得               

（2）设t=0时刻，箱子从静止开始加速，同时，激光光波的某一振动状态从发射器发出，任何时刻t，发射器和接收器的位置分别为

所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期的振动状态的位置分别为：

x=ct

设所考察的振动状态在时刻到达接收器，则有

解得           

比所考察的振动状态晚一个周期发出的振动状态到达接收器的时刻为，则有

解得        

接收器接收到的激光的周期为

T=t-t

=(

（3）

比较上述两式得a=g，即“箱子”的加速度a=g方向竖直向上。

例9、考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法，要在太阳系建立一个质量为m的静止空间站。这个空间站有一个面向太阳的大反射面（反射系数为1），来自太阳的辐射功率L产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力，此力与质量为的太阳对空间站的万有引力方向相反，大小相等，因而空间站处于平衡状态。忽略行星对该站的作用力，求：

（1）此空间站反射面的面积A。

（2）平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关？

（3）设反射面是边长为d的正方形，空间站的质量为千克，确定d之值。已知太阳的辐射功率是瓦。太阳质量为千克。

解:  （1）设空间站与太阳的距离为r，则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强，太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果，这一光压为

于是反射面受到的辐射压力

太阳对空间站的万有引力为     

式中G为万有引力常数，在空间站处于平衡状态时,,即

这就得到，反射面的面积

（2）由上面的讨论可知，由于辐射压力和太阳引力都与成反比，因而平衡条件与太阳和空间站的距离r无关。

（3）若A=。并以题给数据代入前式得到

米。