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    2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数(含解析)
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    2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数(含解析)

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    这是一份2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数(含解析),共26页。

    2021年中考数学压轴题专项训练《二次函数》
    1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.
    (1)求a,b的值;
    (2)若点P为直线BC上一点,点P到A,B两点的距离相等,将该抛物线向左(或向右)平移,得到一条新抛物线,并且新抛物线经过点P,求新抛物线的顶点坐标.

    解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),点B(3,0),
    ∴,解得;
    (2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1,C(3,0),
    ∵点P到A,B两点的距离相等,
    ∴点P在抛物线的对称轴x=1上,
    ∵B(3,0),C(0,3),
    ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
    令x=1,则y=﹣1+3=2,
    ∴P(1,2),
    设平移后的新抛物线的解析式为y=﹣(x﹣h)2+4,
    ∵新抛物线经过点P,
    ∴2=﹣(1﹣h)2+4,
    解得h1=1+,h2=1﹣,
    ∴新抛物线的顶点坐标为(1+,4)或(1﹣,4).

    2.如图a,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0)、C(0,2),与x轴的另一个交点为B.
    (1)求出抛物线的解析式.
    (2)如图b,将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′,试判断四边形BC′AC的形状.并证明你的结论.
    (3)如图a,在抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在请说明理由.

    解:(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得:
    b=1,c=2,
    故:抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2;

    (2)四边形BC′AC为矩形.
    抛物线y=﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为:(﹣1,0)
    由勾股定理求得:BC=,AC=2,又AB=5,
    由勾股定理的逆定理可得:△ABC直角三角形,
    故∠BCA=90°;
    已知,△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′,则A、B互为对应点,
    由旋转的性质可得:BC=AC',AC=BC'
    所以,四边形BC′AC为平行四边形,已证∠BCA=90°,
    ∴四边形BC′AC为矩形;

    (3)存在点D,
    使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等,
    则点D与点C关于函数对称轴对称,
    故:点D的坐标为(3,2).

    3.如图,已知二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线AC交二次函数图象的对称轴于点D,若点C为AD的中点.
    (1)求m的值;
    (2)若二次函数图象上有一点Q,使得tan∠ABQ=3,求点Q的坐标;
    (3)对于(2)中的Q点,在二次函数图象上是否存在点P,使得△QBP∽△COA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    解:(1)设对称轴交x轴于点E,交对称轴于点D,

    函数的对称轴为:x=1,点C为AD的中点,则点A(﹣1,0),
    将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:m=﹣3,
    故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①;

    (2)tan∠ABQ=3,点B(3,0),
    则AQ所在的直线为:y=±3x(x﹣3)…②,
    联立①②并解得:x=﹣4或3(舍去)或2,
    故点Q(﹣4,21)或(2,﹣3);

    (3)不存在,理由:
    △QBP∽△COA,则∠QBP=90°
    ①当点Q(2,﹣3)时,
    则BQ的表达式为:y=﹣(x﹣3)…③,
    联立①③并解得:x=3(舍去)或﹣,故点P(﹣,),
    此时BP:PQ≠OA:OB,故点P不存在;
    ②当点Q(﹣4,21)时,
    同理可得:点P(﹣,),
    此时BP:PQ≠OA:OB,故点P不存在;
    综上,点P不存在.

    4.如图,已知二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C.一次函数y=﹣x+b的图象经过点A,与y轴交于点D(0,﹣3),与这个二次函数的图象的另一个交点为E,且AD:DE=3:2.
    (1)求这个二次函数的表达式;
    (2)若点M为x轴上一点,求MD+MA的最小值.

    解:(1)把D(0,﹣3)代入y=﹣x+b得b=﹣3,
    ∴一次函数解析式为y=﹣x﹣3,
    当y=0时,﹣x﹣3=0,解得x=﹣6,则A(﹣6,0),
    作EF⊥x轴于F,如图,
    ∵OD∥EF,
    ∴==,
    ∴OF=OA=4,
    ∴E点的横坐标为4,
    当x=4时,y=﹣x﹣3=﹣5,
    ∴E点坐标为(4,﹣5),
    把A(﹣6,0),E(4,﹣5)代入y=ax2+4ax+c得,解得,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;
    (2)作MH⊥AD于H,作D点关于x轴的对称点D′,如图,则D′(0,3),
    在Rt△OAD中,AD==3,
    ∵∠MAH=∠DAO,
    ∴Rt△AMH∽Rt△ADO,
    ∴=,即=,
    ∴MH=AM,
    ∵MD=MD′,
    ∴MD+MA=MD′+MH,
    当点M、H、D′共线时,MD+MA=MD′+MH=D′H,此时MD+MA的值最小,
    ∵∠D′DH=∠ADO,
    ∴Rt△DHD′∽Rt△DOA,
    ∴=,即=,解得D′H=,
    ∴MD+MA的最小值为.

    5.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图2,直线AD:y=x+1与y轴交于点D,P点是x轴上一个动点,过点P作PG∥y轴,与抛物线交于点G,与直线AD交于点H,当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时,求此时P点坐标.
    (3)如图3,连接AC和BC,Q点是抛物线上一个动点,连接AQ,当∠QAC=∠BCO时,求Q点的坐标.
    解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3),
    故﹣3a=3,解得:a=﹣1,
    故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①;

    (2)直线AD:y=x+1与y轴交于点D,则点D(0,1),则CD=2;
    设点P(x,0),则点H(x, x+1)、点G(x,﹣x2﹣2x+3),
    则GH=CD=2,即|x+1﹣(﹣x2﹣2x+3)|=2,
    解得:x=﹣或,
    故点P(﹣,0)或(,0)或(,0);

    (3)设直线AQ′交y轴于点H,过点H作HM⊥AC交于点M,交AQ于点H′,

    设:MH=x=MC,∠QAC=∠BCO,则tan∠CAH=,则AM=3x,
    故AC=AM+CM=4x=3,解得:x=,则CH=x=,
    OH=OC﹣CH=,
    故点H(0,),同理点H′(﹣,3),
    由点AH坐标得,直线AH的表达式为:y=(x+3)…②,
    同理直线AH′的表达式为:y=2(x+3)…③,
    联立①②并解得:x=﹣3(舍去)或;
    联立①③并解得:x=﹣3(舍去)或﹣1;
    故点Q的坐标为:(,)或(﹣1,4).
    6.在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
    (1)直接写出:b的值为 ﹣ ;c的值为 ﹣2 ;点A的坐标为 (﹣1,0) ;
    (2)点M是线段BC上的一动点,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.设点D的横坐标为m.
    ①如图1,过点D作DM⊥BC于点M,求线段DM关于m的函数关系式,并求线段DM的最大值;
    ②若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标 1 .

    解:(1)直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,
    则点B、C的坐标为:(4,0)、(0,﹣2),
    将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得:b=﹣,c=﹣2,
    故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣2…①,点A(﹣1,0);
    故答案为:﹣,﹣2,(﹣1,0);

    (2)①如图1,过点D作y轴的平行线交BC于点H,

    设点D(m, m2﹣m﹣2),点H(m, m﹣2),
    则∠MDH=∠OBC=α,tan∠OBC==tanα,则cos;
    MD=DHcos∠MDH=(m﹣2﹣m2+m+2)=(﹣m2+4m),
    ∵<0,故DM有最大值;
    设点M、D的坐标分别为:(s, s﹣2),(m,n),n=m2﹣m﹣2;
    ②(Ⅰ)当∠CDM=90°时,如图2左图,
    过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F,交y轴于点E,

    则△MEC≌△DFM(AAS),
    ∴ME=FD,MF=CE,
    即s﹣2=2=m﹣s,s=s﹣2﹣n,
    解得:s=,
    故点M(,﹣);
    (Ⅱ)当∠MDC=90°时,如图2右图,
    同理可得:s=,
    故点M(,﹣);
    (Ⅲ)当∠MCD=90°时,
    则直线CD的表达式为:y=﹣2x﹣2…②,
    联立①②并解得:x=0或﹣1,
    故点D(﹣1,0),不在线段BC的下方,舍去;
    综上,点M坐标为:(,﹣)或(,﹣).
    7.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.
    (1)求线段OC的长度;
    (2)设直线BC与y轴交于点D,点C是BD的中点时,求直线BD和抛物线的解析式,
    (3)在(2)的条件下,点P是直线BC下方抛物线上的一点,过P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BD于点F,是否存在一点P,使得PE+PF最大,若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由.

    解:(1)a(x﹣1)(x﹣3)=0,
    x1=1,x2=3,
    则点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),
    ∴OA=1,OB=3,
    ∵△OCA∽△OBC,
    ∴=,即=,
    解得,OC=;
    (2)在Rt△BOD中,点C是BD的中点,
    ∴BD=2OC=2,
    由勾股定理得,OD===,
    ∴点D的坐标为(0,﹣)
    设直线BD的解析式为:y=kx+b,
    则,
    解得,,
    则直线BD的解析式为:y=x﹣,
    ∵点B的坐标为(3,0),点D的坐标为(0,﹣),点C是BD的中点,
    ∴点C的坐标为(,﹣),
    ∴﹣=a(﹣1)(﹣3),
    解得,a=,
    ∴抛物线的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣x+2;
    (3)作PG⊥OB交BD于G,
    tan∠OBD==,
    ∴∠OBD=30°,
    ∵PF∥AB,
    ∴∠PFG=∠OBD=30°,
    ∴PF=PG,
    ∵PE⊥BC,PF⊥PG,
    ∴∠EPG=∠PFG=30°,
    ∴PE=PG,
    ∴PE+PF=PG+PG=PG,
    设点P的坐标为(m, m2﹣m+2),点G的坐标为(m, m﹣),
    ∴PG=m﹣﹣(m2﹣m+2)
    =﹣m2+3m﹣3
    ∴PE+PF=PG
    =﹣3m2+m﹣
    =﹣3(m﹣)2+,
    则PE+PF的最大值为.

    8.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(3,0),与y轴负半轴交于点C,且OC=OB.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在y轴负半轴上存在一点D,使∠CBD=∠ADC,求点D的坐标;
    (3)点D关于直线BC的对称点为D′,将抛物线y=ax2+bx+c向下平移h个单位,与线段DD′只有一个交点,直接写出h的取值范围.

    解:(1)OC=OB,则点C(0,﹣3),
    抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣3)=a(x2﹣x﹣6),
    ﹣6a=﹣3,解得:a=,
    故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣3;

    (2)设:CD=m,过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H,

    则CH=HD=m,
    tan∠ADC==tan∠DBC==,解得:m=3或﹣4(舍去﹣4),
    故点D(0,﹣6);

    (3)过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′,则D′(﹣3,﹣3);
    平移后抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣3﹣h,
    当平移后的抛物线过点C时,抛物线与线段DD′有一个公共点,此时,h=3;
    当平移后的抛物线过点D′时,抛物线与线段DD′有一个公共点,
    即﹣3=9﹣h,解得:h=15,
    故3≤h≤15.
    9.如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的对称轴为直线l,将直线l绕着点P(0,2)顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点(点A在点B的左侧),点Q是该抛物线上一点
    (1)若∠α=45°,求直线AB的函数表达式;
    (2)若点p将线段分成2:3的两部分,求点A的坐标
    (3)如图②,在(1)的条件下,若点Q在y轴左侧,过点p作直线l∥x轴,点M是直线l上一点,且位于y轴左侧,当以P,B,Q为顶点的三角形与△PAM相似时,求M的坐标.
    解:(1)∵∠α=45°,则直线的表达式为:y=x+b,
    将(0,2)代入上式并解得:b=2,
    故直线AB的表达式为:y=x+2;

    (2)①AP:PB=2:3,
    设A(﹣2a,4a2)B(3a,9a2),

    解得:,(舍去),
    ∴;
    ②AP:PB=3:2,
    设A(﹣3a,9a2),B(2a,4a2),

    解得:,(舍去),
    ∴,
    综上或;

    (3)∠MPA=45°,∠QPB≠45°A(﹣1,1),B(2,4),
    ①∠QBP=45°时,

    此时B,Q关于y轴对称,
    △PBQ为等腰直角三角形,
    ∴M1(﹣1,2)M2(﹣2,2),
    ②∠BQP=45°时,
    此时Q(﹣2,4)满足,左侧还有Q'也满足,
    ∵BQP=∠BQ'P,
    ∴Q',B,P,Q四点共圆,则圆心为BQ中点D(0,4);
    设Q'(x,x2),(x<0),
    Q'D=BD,
    ∴(x﹣0)2+(x2﹣4)2=22(x2﹣4)(x2﹣3)=0,
    ∵x<0且不与Q重合,
    ∴,
    ∴,Q'P=2,
    ∵Q'P=DQ'=DP=2,
    ∴△DPQ'为正三角形,
    则,
    过P作PE⊥BQ',
    则,,
    ∴,

    当△Q'BP~△PMA时,
    ,,
    则,
    故点;
    当△Q'PB~△PMA时,
    ,,
    则,
    故点;
    综上点M的坐标:(﹣1,2),(﹣2,2),,.
    10.如图,Rt△FHG中,∠H=90°,FH∥x轴,=0.6,则称Rt△FHG为准黄金直角三角形(G在F的右上方).已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点E(0,﹣3),顶点为C(1,﹣4),点D为二次函数y2=a(x﹣1﹣m)2+0.6m﹣4(m>0)图象的顶点.
    (1)求二次函数y1的函数关系式;
    (2)若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上,求点G的坐标及△FHG的面积;
    (3)设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合,求m的值,并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状,请说明理由.

    解:(1)设二次函数y1的函数关系式为y1=a(x﹣1)2﹣4,
    将E(0,﹣3)代入得a﹣4=﹣3,
    解得a=1,
    ∴y1=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3;

    (2)设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式,得,(a﹣1)2﹣4=0.6(a+1),
    解得a1=3.6,a2=﹣1(舍去),
    所以点G坐标为(3.6,2.76).
    由x2﹣2x﹣3=0知x1=﹣1,x2=3,
    ∴A(﹣1,0)、B(3,0),
    则AH=4.6,GH=2.76,
    ∴S△FHG=×4.6×2.76=6.348;

    (3)∵y=mx+m=m(x+1),
    ∴当x=﹣1时,y=0,
    ∴直线y=mx+m过点A,
    延长QH,交x轴于点R,
    由平行线的性质得,QR⊥x轴.
    ∵FH∥x轴,
    ∴∠QPH=∠QAR,
    ∴∠PHQ=∠ARQ=90°,
    ∴△AQR∽△PHQ,
    ∴==0.6,
    设Q[n,0.6(n+1)],
    代入y=mx+m中,得mn+m=0.6(n+1),
    整理,得:m(n+1)=0.6(n+1),
    ∵n+1≠0,
    ∴m=0.6.
    四边形CDPQ为平行四边形,
    理由如下:
    连接CD,并延长交x轴于点S,过点D作DK⊥x轴于点K,延长KD,过点C作CT垂直KD延长线,垂足为T,

    ∵y2=(x﹣1﹣m)2+0.6m﹣4,
    ∴点D由点C向右平移m个单位,再向上平移0.6m个单位所得,
    ∴==0.6,
    ∴tan∠KSD=tan∠QAR,
    ∴∠KSD=∠QAR,
    ∴AQ∥CS,即CD∥PQ.
    ∵AQ∥CS,
    由抛物线平移的性质可得,CT=PH,DT=QH,
    ∴PQ=CD,
    ∴四边形CDPQ为平行四边形.
    11.如图,点P是二次函数y=﹣+1图象上的任意一点,点B(1,0)在x轴上.
    (1)以点P为圆心,BP长为半径作⊙P.
    ①直线l经过点C(0,2)且与x轴平行,判断⊙P与直线l的位置关系,并说明理由.
    ②若⊙P与y轴相切,求出点P坐标;
    (2)P1、P2、P3是这条抛物线上的三点,若线段BP1、BP2、BP3的长满足,则称P2是P1、P3的和谐点,记做T(P1,P3).已知P1、P3的横坐标分别是2,6,直接写出T(P1,P3)的坐标 (1,﹣) .

    解:(1)①⊙P与直线相切.
    过P作PQ⊥直线,垂足为Q,设P(m,n).
    则PB2=(m﹣1)2+n2,PQ2=(2﹣n)2
    ∵,即:(m﹣1)2=4﹣4n,
    ∴PB2=(m﹣1)2+n2=4﹣4n+n2=(2﹣n)2=PQ2
    ∴PB=PQ,
    ∴⊙P与直线相切;

    ②当⊙P与y轴相切时PD=PB=PQ
    ∴|m|=2﹣n,即:n=2±m
    代入(m﹣1)2=4﹣4n
    得:m2﹣6m+5=0或m2+2m+5=0.
    解得:m1=1,m2=5.
    ∴P(1,1)或P(5,﹣3);

    (2)∵,则BP2=(BP1+BP2),
    P1、P3的横坐标分别是2,6,则点P1、P2的坐标分别为:(2,)、(6,﹣),
    BP2=(BP1+BP2)=(+)=,
    设点P2的坐标为:(m,n),n=﹣(m﹣1)2+1,
    则(m﹣1)2+(n)2=()2,
    解得:m=1±,
    故点P2的坐标,即T(P1,P3)的坐标为:或.
    12.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
    (1)求该抛物线的函数表达式;
    (2)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)点P是直线BC上方抛物线上的点,若∠PCB=∠BCO,求出P点的到y轴的距离.

    (1)解:(1)将点A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,
    可得,,
    ∴;
    (2)存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
    由题得,B(3,0),C(0,2),设N(1,n),M(x,y),
    ①四边形CMNB是平行四边形时,,∴x=﹣2,
    ∴;
    ②四边形CNBM时平行四边形时,,∴x=2,
    ∴M(2,2);
    ③四边形CNNB时平行四边形时,,∴x=4,
    ∴;
    综上所述:M(2,2)或或;
    (3)解法一:过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点.

    ∵BH∥OC
    ∴∠OCB=∠HBC
    又∠OCB=∠BCP
    ∴∠PCB=∠HBC
    ∴HC=HB
    又OC⊥OB
    ∴HB⊥OB
    故可设H(3,m),即HB=HC=m
    过点H作HN垂直y轴于N
    在Rt△HCN中,则m2=32+(m﹣2)2
    解得

    由点C、P的坐标可得,设直线CP的解析式为;

    解得x1=0(舍去),
    即点P到y轴的距离是

    解法二、过点B作CP的垂线,垂足为M,过点M作x轴的平行线交y轴于点N,再过点B作DN的垂线,垂足为D,(以下简写)
    可得△BOC≌△BMC
    得BM=BC=3,OC=CM=2
    设点M(m,n)
    得BD=n,CN=n﹣2,MN=m,MD=3﹣m
    可证△BDM∽△MNC
    所以

    解得,

    同解法一直线CP的解析式

    解得x1=0(舍去),
    即点P到y轴的距离是
    13.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O,P为直线OA上方抛物线上的一个动点.
    (1)求直线OA及抛物线的解析式;
    (2)过点P作x轴的垂线,垂足为D,并与直线OA交于点C,当△PCO为等腰三角形时,求D的坐标;
    (3)设P关于对称轴的点为Q,抛物线的顶点为M,探索是否存在一点P,使得△PQM的面积为,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.

    解:(1)设直线OA的解析式为y1=kx,
    把点A坐标(3,3)代入得:k=1,
    直线OA的解析式为y=x;
    再设y2=ax(x﹣4),
    把点A坐标(3,3)代入得:a=﹣1,
    函数的解析式为y=﹣x2+4x,
    ∴直线OA的解析式为y=x,二次函数的解析式是y=﹣x2+4x.

    (2)设D的横坐标为m,则P的坐标为(m,﹣m2+4m),
    ∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点,
    ∴0<m<3.
    此时仅有OC=PC,,
    ∴,解得,
    ∴;

    (3)函数的解析式为y=﹣x2+4x,
    ∴对称轴为x=2,顶点M(2,4),
    设P(n,﹣n2+4n),
    则Q(4﹣n,﹣n2+4n),M到直线PQ的距离为4﹣(﹣n2+4n)=(n﹣2)2,
    要使△PQM的面积为,
    则,即,
    解得:或,
    ∴或.
    14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
    (1)如图1,若抛物线的对称轴为直线x=﹣3,AB=4.
    ①点A的坐标为( ﹣5 , 0 ),点B的坐标为( ﹣1 , 0 );
    ②求抛物线的函数表达式;
    (2)如图2,将(1)中的抛物线向右平移若干个单位,再向下平移若干个单位,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标.

    解:(1)①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3,AB=4,
    ∴点A的坐标为(﹣5,0),点B的坐标为(﹣1,0),
    故答案为:﹣5;0﹣1;0;
    ②∵抛物线经过(﹣5,0),(﹣1,0),
    ∴,
    解得,,
    则抛物线的解析式为y=﹣x2﹣6x﹣5;
    (2)如图2,作PD⊥OC于D,
    ∵△OCP是等腰直角三角形,
    ∴PD=OC=OD,
    设点P的坐标为(a,a),
    设抛物线的解析式为y=﹣(x﹣a)2+a,
    ∵抛物线经过原点,
    ∴﹣(0﹣a)2+a=0,
    解得,a1=0(不合题意),a2=1,
    ∴△OCP是等腰直角三角形时,点P的坐标为(1,1).

    15.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D,其对称轴与x轴交于点E.
    (1)求二次函数的解析式;
    (2)点P为第三象限内抛物线上一点,△APC的面积记为S,求S的最大值及此时点P的坐标.

    解:(1)∵二次函数过A(﹣3,0),B(1,0)两点,
    ∴设二次函数解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
    ∵二次函数过C点(0,﹣3),
    ∴﹣3=a(0+3)(0﹣1),
    解得,a=1,
    ∴y=(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3
    即二次函数解析式为y=x2+2x﹣3;
    (2)设直线AC解析式为:y=kx+b,
    ∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
    ∴,
    解得,,
    ∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,
    过点P作x轴的垂线交AC于点G,设点P的坐标为(x,x2+2x﹣3),
    则G(x,﹣x﹣3),
    ∵点P在第三象限,
    ∴PG=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x,
    ∴===,
    ∴当时,,点P(﹣,﹣).,
    即S的最大值是,此时点P的坐标是(﹣,﹣).



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