2021年中考数学压轴题专项训练 图形的相似（含解析）

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2021年中考数学压轴题专项训练《图形的相似》
1．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴，
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；


2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为　（2，1）　；
（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为　（﹣2m+3，2n+3）　．

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；

故答案为：（2，1）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）．
故答案为：（﹣2m+3，2n+3）．
3．综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题
问题情境：
已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB＝2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′（点A′，B′，C′，D′分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段A′D′经过点D时，猜想线段C′O与D′D满足的数量关系，并说明理由；
深入探究：
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　A　题．
A．在图2中连接AA′和BB′，请直接写出的值．
B．“好问”小组提出问题：如图3，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB′交线段AA′于点P．连接OP，并过点O作OQ⊥BB′于点Q．请在图3中补全图形，并直接写出的值．

（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°；
由旋转可知，OB＝OB’，
∴∠OB’B＝∠OBB’＝45°，
∵∠B’OC是△BOB’的一个外角，
∴∠B’OC＝∠OB’B+∠OBB’＝45°+45°＝90°，
∵四边形 A’B’C’D’是正方形，
∴∠OB’M＝90°，
∴四边形 OB’MC是矩形；
（2）解：D’D＝2C’O，理由如下：
如图2①，连接 OD，OD’，过点 O作 OE⊥D’D于点 E，则∠OED’＝90°，
由旋转可知，OD＝OD’，则 D’D＝2D’E，
∵四边形 A’B’C’D’是正方形，
∴∠C′＝∠OED′＝90°，
∴四边形 OC’D’E是矩形，
∴C’O＝D’E，
∴D’D＝2C’O；
（3）解：A、如图2②，连接AA′，BB′，OA，OA′，
∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′，
∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′，
∴，
∴△OBB′∽△OAA′，
∴＝，
∵AB＝BC，OB＝2OC，
∴设OC＝x，则OB＝2x，
∴AB＝BC＝3x，
∴OA＝＝＝x，
∴＝＝＝；
B、如图3，连接OA，OA′，
∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′，
∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′，
∴∠OBB′＝∠OAA′，
∴点A，B，O，P四点共圆，
∴∠ABO+∠APO＝180°，
∴∠APO＝90°，
∵OQ⊥BB′，
∴∠BQO＝∠APO＝90°，
∴△OAP∽△OBQ，
∴＝．



4．如图，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y轴上，且OA＝8，OC＝6，连接OB，点D为OB中点，点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止，设运动时间为t（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于F，连接EF．
（1）如图1，当四边形DFAE为矩形时，求t的值；
（2）如图2，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO；
（3）当t为何值时，△AEF面积最大？最大值为多少？
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝6，∠OAB＝90°，
∵四边形DFAE是矩形，
∴∠BED＝90°＝∠OAB，
∴DE∥OA，
∵点D是OB的中点，
∴点E是AB中点，
∴AE＝AB＝3，
由运动知，AE＝t，
∴t＝3；

（2）如图2所示：
作DM⊥OA于M，D
N⊥AB于N，

∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴＝，＝，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM＝AB＝3，DN＝OA＝4，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDN，
又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴＝＝，
∵OA＝8，AB＝6，
∴，
∴，
∵∠FDE＝∠BAO＝90°，
∴△DFE∽△ABO；

（3）如图2，由（2）知，△DMF∽△DNE，
∴，
由运动知，AE＝t，
当0＜t≤3时，NE＝3﹣t，
∴，
∴MF＝（3﹣t），
∴AF＝AM+MF＝4+（3﹣t）＝8﹣t
当3＜t＜6时，NE＝t﹣3，
∴
∴MF＝（t﹣3），
∴AF＝AM﹣MF＝4﹣（t﹣3）＝8﹣t，
∴S△AEF＝AE×AF＝•t（8﹣t）＝﹣（t﹣3）2+6，
当t＝3时，△AEF面积最大，最大值为6．
5．如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）连接AC，若AC⊥BC，试求的值；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，若a+b﹣c＝20，a≥2b，且a、b、c为整数，求a，b，c的值．

（1）证明：∵∠BPA＝135°，
∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，
∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，
∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，
∴∠BAP＝∠CBP，
∵∠BPA＝∠BPC，
∴△CPB∽△BPA；
（2）解：∵AC⊥BC，∠MBN＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵△CPB∽△BPA，
∴＝＝＝＝，
设PC＝a，
则BP＝a，AP＝2a，
∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC＝＝＝a，
∴＝＝；
（3）解：∵△CPB∽△BPA，
∴＝，
即＝≥2，
∴c≤，
∴a+b﹣c≥2b+b﹣＝b，
∴b≤20，
∴b≤8，
∵a、b、c为整数，
∴当b＝8时，a＝16，c＝4；
当b＝7时，a＝14，c＝1；
当b＜7时，c＜0（不合题意舍去），
∴a，b，c的值分别为16，8，4或14，7，1．
6．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点．
（1）AD＝　　；
（2）如图1，当GF＝1时，求的值；
（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．

解：（1）∵∠BAC＝90°，且BD＝CD，
∴AD＝BC，
∵BC＝＝＝2，
∴AD＝×2＝，
故答案为：；

（2）如图1，∵GF∥AD，
∴∠CFG＝∠CAD，
∵BD＝CD＝BC＝AD＝，
∴∠CAD＝∠C，
∴∠CFG＝∠C，
∴CG＝FG＝1，
∴BG＝2﹣1，
∵AD∥GE，
∴△BGE∽△BDA，
∴＝＝＝；

（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是一个定值，理由如下：
∵AD＝BC＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD∥EG，
∴∠BAD＝∠E，
∴∠B＝∠E，
∴EG＝BG，
由（2）知，GF＝GC，
∴EG+FG＝BG+CG＝BC＝2，
∴FG+EG是一个定值，为2．


7．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．
（1）当0≤t≤1时，PM＝　tcm　，QN＝　（3﹣t）cm　（用t的代数式表示）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

解：（1）由题意得：AM＝t，
∵PM⊥AB，
∴∠PMA＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠APM＝30°，
∴PM＝AM＝t．
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，
∵MN＝1，
∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，
∵QN⊥AB，
∴QN＝BN＝（3﹣t）；
故答案为： tcm，（3﹣t）cm．
（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：
由（1）得：QN＝（3﹣t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形，
则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），
∴t＝．
∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；
（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，
此时＝tan30°＝．
∵＝cos60°＝，
∴AP＝2AM＝2t．
∴CP＝2﹣2t．
∵＝cos30°＝，
∴BQ＝（3﹣t）．
又∵BC＝2，
∴CQ＝2．
∴．
综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
8．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为　　；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长　7或1　．

解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴cos∠C＝＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；

（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴＝＝，
又∠BCE＝∠ACD＝α，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝＝，
即＝；

（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴AE＝＝＝3，
∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；

②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，
AE＝＝＝3，
∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，
综上所述，BE的长为7或1，
故答案为：7或1．




9．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G．
（1）请写出AE和CF的数量关系：　相等　；
（2）求证：点G是EF的中点；
（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
故答案为：相等；

（2）如右图，过E作EM∥BC交AC于M，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝90°，
∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°，
∴∠AEM＝∠EAM，
∴AE＝EM，
∵AE＝CF，
∴EM＝CF，
∵EM∥BC，
∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF，
∴△EMG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG，
∴G为EF的中点；

（3）由（1）知△DAE≌△DCF，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DEF＝∠BAC，
∵∠AGE＝∠AGE，
∴△GEH∽△GAE，
∴＝，
∴EG2＝GH•AG，
∵AE＝1，则CF＝1，BF＝5，
∴EF＝＝＝，
∴．

10．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．

（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）△BPE∽△CEQ；理由如下：
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
∴＝，
∵△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，
∴BE＝CE，
∴＝，
解得：BE＝CE＝，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝×3＝3，
∴AQ＝CQ﹣AC＝﹣3＝，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2，
在Rt△APQ中，PQ＝＝＝．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，
∵EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS）；

（2）如图2，，
延长NF，EA相交于H，
∴∠AFH＝∠DFN，
由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，
∴∠HAF＝∠D＝90°，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AHF≌△DNF（ASA），
∴AH＝DN，FH＝FN，
∵∠EFN＝90°，
∴EH＝EN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN，
∴EN＝AE+DN；

（3）如图3，
过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴，
MG2＝MN•MD．


12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝　4　．
（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1中，

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12，
∴AC＝＝16，设HQ＝x，
∵HQ∥BC，
∴＝，
∴，
∴AQ＝x，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴×16×12＝9××x×x，
∴x＝4或﹣4（舍弃），
∴HQ＝4，
故答案为4．

（2）如图2中，

由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEMF是菱形．

（3）如图3中，

设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，
∴4m+5m＝20，
∴m＝，
∴AE＝EM＝，
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝，
∴CM＝＝，
∵QH＝4，AQ＝，
∴QC＝，设PQ＝x，
当＝时，△HQP∽△MCP，
∴，
解得：x＝，
当＝时，△HQP∽△PCM，
∴
解得：x＝8或，
经检验：x＝10或是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件长QP的值为或8或．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．
（1）求证：AB•CE＝BD•CD；
（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．

（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，
∴△BAD∽△CDE，
∴＝，即AB•CE＝BD•CD；
（2）解：∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠CDE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴DF∥AB，
∴＝，
∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴＝，即＝
解得，BD＝，
∴＝，
解得，AE＝；
（3）解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC＝BC＝8，
由勾股定理得，AH＝＝＝6，
∴tanB＝＝，
∴tan∠ADF＝＝，
设AF＝3x，则AD＝4x，
由勾股定理得，DF＝＝5x，
∵△BAD∽△CDE，
∴＝，
当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，
∴＝，
解得，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝11，
当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，
∴＝，
解得，CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝；
当AE＝AF＝3x时，DE＝x，
∴＝，
解得，CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝；
当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，
∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，
∴＝，
解得，CD＝20＞16，不合题意，
∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．

14．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tanA＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．
（1）当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）
②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；
（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．

解：（1）①∵EF⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
在Rt△AEF中，tanA＝2，AE＝m，
∴EF＝AEtanA＝2m，
根据勾股定理得，AF＝＝m，
∵AB＝5，
∴BF＝5﹣m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，AD∥BC，
∴∠G＝∠AEF＝90°，
∴△AEF∽△BGF，
∴，
∴，
∴BG＝﹣m，
∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m，
∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2；

②由①知，△AEF∽△BGF，
∴，
∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m），
∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2，
∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m，
S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2，
S△DCE＝4S△BFG时，
∴5﹣m＝4（﹣m）2，
∴m＝（舍）或m＝，
∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝，
∴AE：ED＝：＝3，
即：AE：ED的值为3；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠AEF＝∠CGF＝90°，
∵△AEF与△CFG相似，
∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，
∴∠AFE＝∠CFG，
∵EF⊥BC，
∴BG＝BC＝，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠A，
∵tanA＝2，
∴tan∠CBF＝2，
在Rt△BGF中，FG＝BGtan∠CBF＝，
根据勾股定理得， BF＝＝，
∴AF＝AB+BF＝5+＝，
∵BC∥AD，
∴△BGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴m＝；
②当△AEF∽△CGF时，如图2，
∴∠EAF＝∠GFC，
∵∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠GFC+∠AFE＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠A，
∴tan∠CBF＝tanA＝2，
在R△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，
根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，
∴BF2+4BF2＝（）2，
∴BF＝1，
∴AF＝AB+BF＝6，
在Rt△BGF中，同理：BG＝，
∵AD∥BC，
∴△BGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴m＝．
即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为或．


15．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q
（1）＝　　；
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为　2.8　．

解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）的值不发生变化，＝，理由如下：
∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，
∴∠AOB+∠BPQ＝180°，
∴A、B、P、Q四点共圆，
∴∠PQB＝∠PAB，
∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，
∴△PBQ∽△BCA，
∴＝＝；
（3）设BQ交AP于M，如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，
∴∠AMB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAM＝∠CAB，
∴△ABM∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：AM＝3.6，
∴PA＝2AM＝7.2，
∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；
故答案为：2.8．