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2021年中考数学压轴题专项训练 一次函数（含解析）
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这是一份2021年中考数学压轴题专项训练 一次函数（含解析），共23页。试卷主要包含了模型建立，如图，直线l1等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学压轴题专项训练《一次函数》
1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b
将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；
（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，
联立，
解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），
∴乙车出发后1.5小时追上甲车．
2．如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距km设甲、乙两车与B地之间的距离为，y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图②所示．
（1）A，B两地之间的距离为 20 km；
（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？
解：（1）A，B两地之间的距离为20km．
故答案为：20；
（2）乙车的速度为：20÷＝120（km/h），
甲车的速度为：＝100（km/h），
甲比乙早出发的时间为：20÷100＝0.2（h），
相遇前：（20+100x）﹣120x＝5，解得x＝0.75；
相遇后：120x﹣（20+100x）＝5，解得x＝1.25；
答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．
（1）请直接写出点A，B的坐标：A（ ﹣2 ， 0 ），B（ 0 ， 2 ）；
（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．
解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（﹣2，0），点B（0，2）
故答案为：（﹣2，0），（0，2）
（2）如图，过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，
∴∠FMD＝∠EDF＝90°
∴∠FDM+∠DFM＝90°，∠FDM+∠EDN＝90°，
∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，
∴△DFM≌△EDN（AAS）
∴EN＝DM，FM＝BN，
∵点F的坐标为（a，b），
∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，
∴点E坐标（﹣b+3，3+a），
∵点E是线段AB上的一点，
∴3+a＝﹣b+3+2
∴a+b＝2，
∴点F（a，2﹣a）
设直线BF的解析式为y＝kx+2，
∴2﹣a＝ka+2
∴k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，
∴点G（2，0）
4．某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米．甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地．乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发．在骑行过程中，乙的速度保持不变，最后甲、乙两人同时到达基地．已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的．设甲步行的时间为x（分），图中线段OA表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．图中折线B﹣C﹣D和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；
（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？
（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15≤x≤30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式．
解：（1）由题意得：（米/分），
＝240（米/分）；
（2）由题意可得：C（10，1200），D（15，0），A（30，2400），
设线段CD的解析式为：y＝kx+b，则
，
解得
∴线段CD的解析式为：y＝﹣240x+3600，
易知线段OA的解析式为：y＝80x，根据题意得
240x+3600＝80x，
解得：x＝，
∴甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；
（3）∵E（20，0），A（30，2400），
设线段EA的解析式为：y＝mx+n，
，
解得，
∴线段EA的解析式为：y＝240x﹣4800，
∴当15≤x≤20时，s＝yOA﹣0＝80x，
当20＜x≤30时，s＝yOA﹣yEA＝80x﹣（240x﹣4800）＝﹣160x+4800，
∴．
5．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．
（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；
②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．
解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵CD＝1，
∴BD＝2﹣1＞CD，
∴D到AC的距离小于到AB的距离，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝，
即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；
②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，
∴BD＝BC＝，
同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．
（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，
i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，
∵直线OF：y＝x
∴∠FOE＝30°
由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，
∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；
如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，
此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；
∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．
ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．
∴当 R＝1 时，t的取值范围是t≥3．
iii）当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．
∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，
∴∠OEP＜30°，
∴OM＜1，
当R＝时，如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，
∴EN＝＝＝，
Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，
∴PA＝﹣t，
∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，
∴△EMN∽△EPA，
∴，即＝
解得：t＝﹣，
∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．
综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．
6．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），
S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），
解得：BP＝，
故点P（，6）或（﹣，6）
（3）设点E（m， m）、点P（n，6）；
①当∠EPA＝90°时，如左图，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），
则ME＝PN＝6，MP＝AN，
即|m﹣n|＝6， m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝或16，
故点E（，）或（14，）；
②当∠EAP＝90°时，如右图，
同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，
故点E（2，）或（16，20）；
上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．
7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．
（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使AACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y＝x+4中，
令x＝0，得y＝4，
令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．
把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，
得b＝4
∴直线BC为：y＝﹣2x+4．
在y＝﹣2x+4中，
令y＝0，得x＝2，
∴C点的坐标为（2，0）；
（2）如图点E为所求
点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．
设直线DB1的解析式为y＝kx+b．
把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：
故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．
令y＝0，得E点的坐标为．
（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．
①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4
得到：∠BAC＝45°，
由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；
②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
在△AOF与△BOC中，∠FAO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，
∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，
∴点F的坐标为（0，2），
易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：
x＝，∴交点D的坐标为．
8．（1）模型建立：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标为 C（4，6）或C（6，2） （直接写出结果）
②如图3，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；
故答案为： C（4，6）或C（6，2）；
②如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，
，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP
在△BPN与△DQN中，
，
∵△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM．
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
解：（1）直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，
则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；
tan∠ABO＝＝＝tanα；
（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：
点C是AB的中点，
则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DFO，
∴O、F、M、D四点共圆，
∴∠DMF+∠DOF＝180°，
∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM；
（3）MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND＝α，
而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α，
即△OCF为以ON为底，底角为α的等腰三角形，
则tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝（证明见备注）；
设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m，
cos∠DFO＝cosβ＝，
解得：m＝，
OD2＝DF2﹣OF2＝（3﹣m）2﹣m2＝；
则OD＝，
故点D（0，）．
备注：如下图，
过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，则sinα＝，作FM⊥ON于点M，
设FN＝OF＝5a，则FN＝4a，则ON＝6a，
同理可得：NH＝，
tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝．
10．如图，直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，直线l1与直线l2：y＝kx的交点M的坐标为M（3，a）．
（1）求a和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式x+＜kx的解集；
（3）若点B在x轴上，MB＝MA，直接写出点B的坐标．
解：（1）∵直线l1与直线l2的交点为M（3，a），
∴M（3，a）在直线y＝x+上，也在直线y＝kx上，
∴a＝×3+＝3，
∴M（3，3），
∴3＝3k，
解得k＝1；
（2）不等式x+＜kx的解集为x＞3；
（3）作MN⊥x轴于N，
∵直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，
∴A（0，），
∵M（3，3），
∴AM2＝（3﹣0）2+（3﹣）2＝，
∵MN＝3，MB＝MA，
∴BN＝＝，
∴B（，0）或B（，0）．
11．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F．
（1）求证：OF＝CF；
（2）若OD＝4，OB＝8，写出OE所在直线的解析式．
解：（1）∵四边形OBCD为矩形，
∴DO＝BC，∠OBC＝∠ODC．
由翻折的性质可知∠E＝∠OBC，CE＝BC，
∴OD＝CE，∠E＝∠ODC．
在△ODF和△CEF中，
∴△ODF≌△CEF（AAS），
∴OF＝CF．
（2）∵OF＝CF．
设DF＝x，则OF＝CF＝8﹣x．
在Rt△ODF中，OD＝4，根据勾股定理得，OD2+DF2＝OF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴F（3，4），
设直线OE的解析式为y＝kx，
把F（3，4）代入得4＝3k，
解得k＝，
∴OE所在直线的解析式y＝x．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．
解：（1）∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2），
∴﹣2＝﹣5+m，
∴m＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，∴x＝3，
∴B（3，0），
令x＝0，∴y＝3，
∴C（0，3）；
（2）过C作直线AD对称点Q，
可得Q（0，﹣7），
连结BQ，交AD与点P
可得直线BQ：，
令y′＝﹣2，
∴，
∴．
13．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x＝，
∴D（，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m＝，
∴C（，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为Y＝KX+B（K≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+；
（3）由图可知，二元一次方程组的解为．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 （﹣2，5）或（﹣5，3）或（，） ．
解：（1）∵点C在正比例函数图象上，
∴m＝4，解得：m＝3，
∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）在中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2）
∴S△BOC＝×2×3＝3；
（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BD2，
∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBD1，
∵在△BED1和△AOB中，
∴△BED1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，
即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；
同理可得出：△AFD2≌△AOB，
∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，
∴点D的坐标为（﹣5，3），
∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，
∴∠AD3B＝90°，
∴D3（，），
综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
15．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy中，已知S（﹣3，1），P（1，3），Q（﹣1，﹣3），M（﹣2，4）．
①在点P，点Q中， 点P 是点S关于原点O的“正矩点”；
②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点 S 是点 P 关于点 M 的“正矩点”，写出一种情况即可；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为C（xc，yc）．
①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标xc的值；
②若点C的纵坐标yc满足﹣1＜yc≤2，直接写出相应的k的取值范围．
解：（1）①在点P，点Q中，点S绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，
故答案为点P；
②点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；
故答案为：S，P，M；
（2）①如图1，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，
∠BFC＝∠AOB＝90°，点B（0，3），点A（﹣，0），
∵∠ABO+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABO，BC＝BA，
∴△BCF≌△AOB（AAS），
∴FC＝OB＝3，
故点C的坐标为：（﹣3，3+），
即点C的横坐标xc的值为﹣3；
②点C（﹣3，3+），如图2，
﹣1＜yc≤2，即：﹣1＜3+≤2，
则﹣3≤k．
2021年中考数学压轴题专项训练《一次函数》
1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b
将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；
（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，
联立，
解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），
∴乙车出发后1.5小时追上甲车．
2．如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距km设甲、乙两车与B地之间的距离为，y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图②所示．
（1）A，B两地之间的距离为 20 km；
（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？
解：（1）A，B两地之间的距离为20km．
故答案为：20；
（2）乙车的速度为：20÷＝120（km/h），
甲车的速度为：＝100（km/h），
甲比乙早出发的时间为：20÷100＝0.2（h），
相遇前：（20+100x）﹣120x＝5，解得x＝0.75；
相遇后：120x﹣（20+100x）＝5，解得x＝1.25；
答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．
（1）请直接写出点A，B的坐标：A（ ﹣2 ， 0 ），B（ 0 ， 2 ）；
（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．
解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（﹣2，0），点B（0，2）
故答案为：（﹣2，0），（0，2）
（2）如图，过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，
∴∠FMD＝∠EDF＝90°
∴∠FDM+∠DFM＝90°，∠FDM+∠EDN＝90°，
∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，
∴△DFM≌△EDN（AAS）
∴EN＝DM，FM＝BN，
∵点F的坐标为（a，b），
∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，
∴点E坐标（﹣b+3，3+a），
∵点E是线段AB上的一点，
∴3+a＝﹣b+3+2
∴a+b＝2，
∴点F（a，2﹣a）
设直线BF的解析式为y＝kx+2，
∴2﹣a＝ka+2
∴k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，
∴点G（2，0）
4．某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米．甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地．乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发．在骑行过程中，乙的速度保持不变，最后甲、乙两人同时到达基地．已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的．设甲步行的时间为x（分），图中线段OA表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．图中折线B﹣C﹣D和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；
（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？
（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15≤x≤30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式．
解：（1）由题意得：（米/分），
＝240（米/分）；
（2）由题意可得：C（10，1200），D（15，0），A（30，2400），
设线段CD的解析式为：y＝kx+b，则
，
解得
∴线段CD的解析式为：y＝﹣240x+3600，
易知线段OA的解析式为：y＝80x，根据题意得
240x+3600＝80x，
解得：x＝，
∴甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；
（3）∵E（20，0），A（30，2400），
设线段EA的解析式为：y＝mx+n，
，
解得，
∴线段EA的解析式为：y＝240x﹣4800，
∴当15≤x≤20时，s＝yOA﹣0＝80x，
当20＜x≤30时，s＝yOA﹣yEA＝80x﹣（240x﹣4800）＝﹣160x+4800，
∴．
5．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．
（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；
②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．
解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵CD＝1，
∴BD＝2﹣1＞CD，
∴D到AC的距离小于到AB的距离，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝，
即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；
②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，
∴BD＝BC＝，
同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．
（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，
i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，
∵直线OF：y＝x
∴∠FOE＝30°
由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，
∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；
如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，
此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；
∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．
ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．
∴当 R＝1 时，t的取值范围是t≥3．
iii）当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．
∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，
∴∠OEP＜30°，
∴OM＜1，
当R＝时，如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，
∴EN＝＝＝，
Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，
∴PA＝﹣t，
∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，
∴△EMN∽△EPA，
∴，即＝
解得：t＝﹣，
∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．
综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．
6．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），
S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），
解得：BP＝，
故点P（，6）或（﹣，6）
（3）设点E（m， m）、点P（n，6）；
①当∠EPA＝90°时，如左图，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），
则ME＝PN＝6，MP＝AN，
即|m﹣n|＝6， m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝或16，
故点E（，）或（14，）；
②当∠EAP＝90°时，如右图，
同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，
故点E（2，）或（16，20）；
上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．
7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．
（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使AACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y＝x+4中，
令x＝0，得y＝4，
令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．
把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，
得b＝4
∴直线BC为：y＝﹣2x+4．
在y＝﹣2x+4中，
令y＝0，得x＝2，
∴C点的坐标为（2，0）；
（2）如图点E为所求
点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．
设直线DB1的解析式为y＝kx+b．
把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：
故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．
令y＝0，得E点的坐标为．
（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．
①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4
得到：∠BAC＝45°，
由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；
②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
在△AOF与△BOC中，∠FAO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，
∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，
∴点F的坐标为（0，2），
易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：
x＝，∴交点D的坐标为．
8．（1）模型建立：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标为 C（4，6）或C（6，2） （直接写出结果）
②如图3，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；
故答案为： C（4，6）或C（6，2）；
②如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，
，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP
在△BPN与△DQN中，
，
∵△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM．
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
解：（1）直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，
则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；
tan∠ABO＝＝＝tanα；
（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：
点C是AB的中点，
则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DFO，
∴O、F、M、D四点共圆，
∴∠DMF+∠DOF＝180°，
∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM；
（3）MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND＝α，
而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α，
即△OCF为以ON为底，底角为α的等腰三角形，
则tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝（证明见备注）；
设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m，
cos∠DFO＝cosβ＝，
解得：m＝，
OD2＝DF2﹣OF2＝（3﹣m）2﹣m2＝；
则OD＝，
故点D（0，）．
备注：如下图，
过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，则sinα＝，作FM⊥ON于点M，
设FN＝OF＝5a，则FN＝4a，则ON＝6a，
同理可得：NH＝，
tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝．
10．如图，直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，直线l1与直线l2：y＝kx的交点M的坐标为M（3，a）．
（1）求a和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式x+＜kx的解集；
（3）若点B在x轴上，MB＝MA，直接写出点B的坐标．
解：（1）∵直线l1与直线l2的交点为M（3，a），
∴M（3，a）在直线y＝x+上，也在直线y＝kx上，
∴a＝×3+＝3，
∴M（3，3），
∴3＝3k，
解得k＝1；
（2）不等式x+＜kx的解集为x＞3；
（3）作MN⊥x轴于N，
∵直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，
∴A（0，），
∵M（3，3），
∴AM2＝（3﹣0）2+（3﹣）2＝，
∵MN＝3，MB＝MA，
∴BN＝＝，
∴B（，0）或B（，0）．
11．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F．
（1）求证：OF＝CF；
（2）若OD＝4，OB＝8，写出OE所在直线的解析式．
解：（1）∵四边形OBCD为矩形，
∴DO＝BC，∠OBC＝∠ODC．
由翻折的性质可知∠E＝∠OBC，CE＝BC，
∴OD＝CE，∠E＝∠ODC．
在△ODF和△CEF中，
∴△ODF≌△CEF（AAS），
∴OF＝CF．
（2）∵OF＝CF．
设DF＝x，则OF＝CF＝8﹣x．
在Rt△ODF中，OD＝4，根据勾股定理得，OD2+DF2＝OF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴F（3，4），
设直线OE的解析式为y＝kx，
把F（3，4）代入得4＝3k，
解得k＝，
∴OE所在直线的解析式y＝x．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．
解：（1）∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2），
∴﹣2＝﹣5+m，
∴m＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，∴x＝3，
∴B（3，0），
令x＝0，∴y＝3，
∴C（0，3）；
（2）过C作直线AD对称点Q，
可得Q（0，﹣7），
连结BQ，交AD与点P
可得直线BQ：，
令y′＝﹣2，
∴，
∴．
13．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x＝，
∴D（，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m＝，
∴C（，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为Y＝KX+B（K≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+；
（3）由图可知，二元一次方程组的解为．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 （﹣2，5）或（﹣5，3）或（，） ．
解：（1）∵点C在正比例函数图象上，
∴m＝4，解得：m＝3，
∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）在中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2）
∴S△BOC＝×2×3＝3；
（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BD2，
∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBD1，
∵在△BED1和△AOB中，
∴△BED1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，
即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；
同理可得出：△AFD2≌△AOB，
∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，
∴点D的坐标为（﹣5，3），
∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，
∴∠AD3B＝90°，
∴D3（，），
综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
15．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy中，已知S（﹣3，1），P（1，3），Q（﹣1，﹣3），M（﹣2，4）．
①在点P，点Q中， 点P 是点S关于原点O的“正矩点”；
②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点 S 是点 P 关于点 M 的“正矩点”，写出一种情况即可；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为C（xc，yc）．
①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标xc的值；
②若点C的纵坐标yc满足﹣1＜yc≤2，直接写出相应的k的取值范围．
解：（1）①在点P，点Q中，点S绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，
故答案为点P；
②点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；
故答案为：S，P，M；
（2）①如图1，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，
∠BFC＝∠AOB＝90°，点B（0，3），点A（﹣，0），
∵∠ABO+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABO，BC＝BA，
∴△BCF≌△AOB（AAS），
∴FC＝OB＝3，
故点C的坐标为：（﹣3，3+），
即点C的横坐标xc的值为﹣3；
②点C（﹣3，3+），如图2，
﹣1＜yc≤2，即：﹣1＜3+≤2，
则﹣3≤k．
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