中考数学压轴题专项训练09动态几何含解析

动态几何

1．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，

则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，

∵AD∥BC所以AP∥BQ，

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

知：AP＝BQ即可，

即：t＝6﹣2t，

∴t＝2，

当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，

综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．

2．如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）设，是否存在的值，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∵沿折叠为，

∴，

∴，

又∵，

∴．

∴；

（2）解：在中，，

∴设，，，

∵沿折叠为，

∴，，，，

又∵，

∴，

∴，

；

（3）存在，时，与相似

理由：当时，．

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴；

②当时，，∵，∴，这与相矛盾，

∴不成立．

综上所述，时，与相似．

3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：()经过点和轴上的点，，．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）联结，求；

（3）将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果与相似，求所有符合条件的抛物线的表达式．

【解析】解：（1）过作轴，垂足为，

∵，∴

∵

∴，．

∵，

∴．

在中，，

∴．

∴

∵抛物线：经过点，

∴可得：，

解得：

∴这条抛物线的表达式为；

（2）过作轴，垂足为，

∵=

∴顶点是，得

设直线AM为y=kx+b，

把，代入得，解得

∴直线为

令y=0，解得x=

∴直线与轴的交点为

∴

（3）∵、，

∴在中，，

∴．

∴．由抛物线的轴对称性得：，

∴．

∵，

∴

∴．

∴当与相似时，有：或

即或，

∴或．

∴或

设向上平移后的抛物线为：，

当时，，

∴抛物线为：

当时，，

∴抛物线为：．

综上：抛物线为：或．

4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．

观察猜想

（1）线段与         “等垂线段”（填“是”或“不是”）

猜想论证

（2）绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．

拓展延伸

（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．

【解析】（1）是；

∵，

∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB

∴DE∥BC

∴∠EDC=∠DCB

∵点、、分别为、、的中点

∴PM∥EC，PN∥BD，

∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°

∴线段与是“等垂线段”；

（2）由旋转知

∵，

∴≌（）

∴，

利用三角形的中位线得，，

∴

由中位线定理可得，

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴与为“等垂线段”；

（3）与的积的最大值为49；

由（1）（2）知，

∴最大时，与的积最大

∴点在的延长线上，如图所示：

∴

∴

∴.

5．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为-10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．

（1）当t=5时，点P表示的有理数为        ．

（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为        （用含t的代数式表示）．

（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为                   ．

【解析】（1）由题意得：，

点P从点A运动到点B所需时间为（秒），

点P从点B返回，运动到点A所需时间为（秒），

则当时，，

因此，点P表示的有理数为，

故答案为：；

（2）在点P往左运动的过程中，，

则点P表示的有理数为，

故答案为：；

（3）由题意，分以下两种情况：

①当点P从点A运动到点B，即时，

由（2）可知，点P表示的有理数为，

则，

即或，

解得或，均符合题设；

②当点P从点B返回，运动到点A，即时，

，

点P表示的有理数为，

则，

即或，

解得或，均符合题设；

综上，当点P与原点距离5个单位长度时，的值为或5或或时，

故答案为：或5或或．

6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）AC=　  　cm；

（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；

（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

【解析】（1）由题意根据勾股定理可得：（cm），

故答案为6；

（2）如图，点P恰好在∠ABC的角平分线上，过P作PD⊥AB于点D，

则可设PC=xcm，此时BP=（8-x）cm，DP=PC=xcm，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm，

∴在RT△BDP中，，即 ，解之可得：x=3，

∴BP=8-3=5cm，∴P运动的路程为：AB+BP=10+5=15cm，

∴t=s；

（3）可以对△ACP的腰作出讨论得到三种情况如下：

①如图，AP=AC=6cm，此时t=s；

②如图，PA=PC，此时过P作PD⊥AC于点D，则AD=3，PD=4，∴AP=5，

此时t=s；

③如图，PC=AC=6cm，则BP=8-6=2cm，

则P运动的路程为AB+BP=10+2=12cm，此时t=s，

综上所述，在运动过程中，当t为2.5s或3s或6s时，△ACP为等腰三角形．

7．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，A(a，b)满足＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．

（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；

（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；

（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．

【解析】解：（1）∵ ，

∴

∴

由平移得：且C在y轴负半轴上，

故答案为：；

（2）如图，过点分别作⊥x轴于点M，⊥y轴于点N，连接．

∵AB⊥x轴于点B，且点A，，C三点的坐标分别为：

∴OB=，OC=，

∴

，

而

∴满足的关系式为：

（3） 的值不变，值为2．

理由如下：∵线段OC是由线段AB平移得到，

∴ ，

∴∠AOB=∠OBC，

又∵∠BOG=∠AOB，

∴∠BOG=∠OBC，

根据三角形外角性质，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，

∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC =2（∠FCG+∠OBC） =2∠OEC，

∴ ；

所以：的值不变，值为2．

8．综合实践

初步探究：

如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为                         ；

解决问题：

(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为                        ；

拓展应用：

(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；

【解析】：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，
同理：OE=OC，
∴OD+OE=OC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，
∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，
∴OE-OD=OC．

（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC

∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC，

故四边形CDOE的周长为(+1)OC．

9．是等边三角形，点在上，点，分别在射线，上，且．

（1）如图1，当点是的中点时，则________；

（2）如图2，点在上运动（不与点，重合）．

①判断的大小是否发生改变，并说明理由；

②点关于射线的对称点为点，连接，，．依题意补全图形，判断四边形的形状，并证明你的结论．

【解析】（1）∵点D是等边△ABC的边BC的中点，

∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°，

∵DA＝DE，

∴∠AED＝∠BAD＝30°，

∴∠ADE＝180°−∠BAD−∠AED＝120°，

同理：∠ADF＝120°，

∴∠EDF＝360°−∠ADE−∠ADF＝120°，

故答案为：120；

（2）①不发生改变，理由如下：

∵是等边三角形，

∴．

∵．

∴点，，在以为圆，长为半径的圆上，

∴．

②补全图形如下：四边形为平行四边形，证明如下：

由①知，，

∵，，

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

∵点和点关于射线对称，

∴，．

∴，且．

∴四边形为平行四边形．

10．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：

（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；

（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；

（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．

【解析】（1）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，

，

动点P从点A运动到点D所需时间为（秒），

故答案为：15；

（2）由题意，分以下六种情况：

①当点P在AB，点Q在CD时，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

此方程无解；

②当点P在AB，点Q在CO时，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

解得，

此时点P表示的数为3，不在AB上，不符题设，舍去；

③当点P在BO，点Q在CO时，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

解得，

此时点P表示的数为，不在BO上，不符题设，舍去；

④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

解得，

此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；

⑤当点P在OC，点Q在OB时，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

解得，

此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；

⑥当点P在OC，点Q在BA时，

点P表示的数为，点Q表示的数为，

点P、Q到原点的距离相同，

，

解得，

此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去；

综上，点P表示的数为或；

（3）点Q到达点A所需时间为（秒），此时点P到达的点是，

点P到达点C所需时间为（秒），此时点Q到达的点是，

点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，

，

解得，

此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．

11．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）．

（1）求点落在上时的值．

（2）直接写出点在正方形内部时的取值范围．

（3）当点在折线上运动时，求与之间的函数关系式．

（4）直接写出直线平分面积时的值．

【解析】（1）如图1所示，

由题意可知，当点落在上时，

因为四边形是正方形，所以，

又因为在矩形中，，，

所以，在和中，

因为，，

所以，则，

所以，解得，

所以当点落在上时的值为．

故答案为：．

（2）①如图2，

点刚落在正方形上．

因为点是矩形对角线的中点，

所以在矩形的一条对称轴上，

所以，所以，解得．

②如图3，点和点重合，

此时点运动的距离为，

因为，，所以，

所以，

所以此时．

综上所述，当点在正方形内部时，的取值位于上述两个临界位置之间，即的取值范围为．

故答案为：．

（3）①由（1）可知，当时，正方形和的重叠部分即为正方形，所以此时．

②当时，点在上，

设与交于点，与交于点，

此时正方形和的重叠部分为五边形，

此时．

同（1），可知，，

因为，，，

所以，，

所以，，

所以，，

所以，，

所以，

，

所以，

所以，

整理得．

③当时，点在上，

设与交于点，则．

因为，，所以，所以，

同（1），，所以，

所以，所以，，

所以，

又因为，所以，

所以，所以，

所以，

整理得．

综上所述，当时，；当时，；当时，．

故答案为：

（4）设直线与交于点，

因为直线平分的面积，∴．

①如图7，点在上，过点作于点，

则，所以，

因为，，，

所以，解得．

②如图8，点在上，连接．

因为、分别是、的中点，

所以是的一条中位线，

所以，所以，

又因为，所以，

所以，所以，

因为，，

（由（3）②知），，

所以，解得．

③如图9，在上，

设与交于点，连接，交于．

同②，，且，

所以，所以，

又因为，所以，

所以，又因为（同②），

所以，所以，

因为，

所以，所以，

所以，

又因为，所以，

所以，所以，所以，

所以，

又因为，所以，解得．

综上所述，当直线平分的面积时，的值为或或．

故答案为：或或．

12．在中，，，，点是射线上的动点，连接，将沿着翻折得到，设，     

（1）如图1，当点在上时，求的值．

（2）如图2，连接，，当时，求的面积．

（3）在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的值．

【解析】(1)在中，，，，

∴由勾股定理得：BC=10，

由折叠性质得：P=AP=x， C=AC=6，则PB=8-x，B=4，

在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，

解得：；

（2）当时，

由折叠性质得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90º，

∴=，

∵=90º，=90º，

∴，

∵=90º，=90º，

∴，

∴，

∴=4，

则，且=，

由，∠CAB=90º，可求得，，，

，；

（3）①当时，若在线段上，如图1，过作H⊥AB于H，过C作CD⊥H延长线于D，

则四边形ACDH是矩形，又是等腰三角形，

∴，，

，，

∵=90º，=90º,

∴，又=90º,

∴，

∴，

得，解得，

若在延长线上时，如图2，过作AB的平行线，交AC延长线与D，过P作PH垂直平行线于H，则四边形APHD是矩形，

同上方法，易求得D=4，，

∴PH=AD=，

同理可证得，

∴，

得，解得，

②当时，如图3，由折叠性质得：

CP垂直平分A，

则，∠AQP=90º，

又AC=6,

，

∵∠ AQP=∠CAB=90º，

∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，

∴，

∴，

即，

解得：；

③当时，如图4，则、重合，，

综上所述或或或.