2021年中考数学压轴题专项训练 反比例函数（含解析）

这是一份2021年中考数学压轴题专项训练 反比例函数（含解析），共24页。试卷主要包含了如图，在平面直角坐标系中，点A等内容，欢迎下载使用。

1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），


（1）求一次函数和反比例函数解析式；


（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．





解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，


∴k＝1×3＝3，


∴反比例函数的解析式为y1＝，


∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，


∴﹣3a＝3，


∴a＝﹣1，


∴B（﹣3，﹣1），


∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，


∴，


∴，


∴一次函数的解析式为y2＝x+2；


（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，


∴①当OA＝OP时，


∵A（1，3），


∴OA＝，


∵OP＝，


∵点P在x轴上，


∴P（﹣，0）或（，0），


②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，


∵A（1，3），


∴P（2，0），


即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．








2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．


（1）求m的值；


（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．


①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；


②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．


解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，





（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，


解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），


而B（0，﹣1），


如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；








②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k＝，





当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，


观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．








3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．





（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；


（2）当PQ＝时，求t的值；


（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．


解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．


当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），


∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，


∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，


∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；


故答案为：．





（2）当时，


整理，得5t2﹣16t+12＝0，


解得：t1＝2，．





（3）经过点D的双曲线的k值不变．


连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．


∵OC＝3，BC＝4，


∴．


∵BQ∥OP，


∴△BDQ∽△ODP，


∴，


∴OD＝3．


∵CB∥OA，


∴∠DOF＝∠OBC．


在Rt△OBC中，，，


∴，，


∴点D的坐标为，


∴经过点D的双曲线的k值为．








4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．


（1）求一次函数与反比例函数的解析式；


（2）求△AOB的面积；


（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？





解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，


∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，


将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，


∴点B的坐标为（1，﹣6），


将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，


∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；


（2）设AB与x轴相交于点C，如图，


当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），


∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，


＝×2×2+×2×6，


＝2+6，


＝8；


（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，


∴点P和点Q不在同一象限，


∴P在第二象限，Q在第四象限．





5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．


（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；


（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．





解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），


∴OA＝OB＝1，


∴∠OAB＝∠CAE＝45°


∵AE＝3OA，


∴AE＝3，


∵EC⊥x轴，


∴∠AEC＝90°，


∴∠EAC＝∠ACE＝45°，


∴EC＝AE＝3，


∴C（4，3），


∵反比例函数y＝经过点C（4，3），


∴k＝12，


由，解得或，


∴D（﹣3，﹣4）．





（2）如图，设M（a，a﹣1）．





当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），


∵四边形ECMN是平行四边形，


∴MN＝EC＝3，


∴|a﹣1﹣|＝3，


解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），


∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），


观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．


6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．


（1）求一次函数和反比例函数的解析式；


（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；


（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．





解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．


当x＝0时，y＝kx+2＝2，


∴OA＝2．


∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，


∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，


∴∠OAE＝∠OEA＝45°，


∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．


将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，


∴一次函数的解析式为y＝x+2．


∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，


∴BD∥OA．


∵OE＝OB＝2，


∴BD＝2OA＝4，


∴点D的坐标为（2，4）．


∵四边形ABCD为正方形，


∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．


∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，


∴n＝4×2＝8，


∴反比例函数解析式为y＝．


（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．


∵点D的坐标为（2，4），


∴点D′的坐标为（2，﹣4）．


设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），


将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，


解得：，


∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．


当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，


∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．


（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．


①当DP为对角线时，，


解得：，


∴点M1的坐标为（，2）；


②当CD为对角线时，，


解得：，


∴点M2的坐标为（，6）；


③当CP为对角线时，，


解得：，


∴点M3的坐标为（，﹣2）．


综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．











7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）


（1）求反比例函数关系式及m的值；


（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；


（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集





解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）


∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4


∴n＝﹣6，m＝﹣3，


∴A（1，﹣6）


把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，


∴反比例函数关系式为y＝﹣；


（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），


设M（m，0），m＞0，


∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，


∴|m+2|×（2+6）＝16，


解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），


∴M（2，0）；


（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．


8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．


（1）求直线AD对应的函数关系式；


（2）求k的值；


（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．





解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．


∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），


∴ 解得


∴直线AD的解析式为y＝x+2．


（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，


∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），


∵CD∥y轴，


∴设点D的坐标为（﹣3，a），


∴a＝﹣3+2＝﹣1，


∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），


∵反比例函数y＝的图象经过点D，


∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；





（3）如图：





∵点A和点C关于原点对称，


∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，


∴S阴影＝4×3＝12．


9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．


（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；


（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．





解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，


∴y＝，


OA＝5，


∵OA＝OB，


∴OB＝5，


∴点B的坐标为（0，﹣5），


把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：


∴y＝2x﹣5；


（2）作MD⊥y轴．


∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，


∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．


∵MB＝MC，


∴CD＝BD，


∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2


∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5


解得：x＝


∴2x﹣5＝，


∴点M的坐标为（，）．


10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形OABC．





（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；


（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；


（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．


解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．


∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，


∴k＝3×5＝15，


∴反比例函数的解析式为y＝．


∵S△PAO＝S矩形OABC，


∴×3×yP＝×3×5，


∴yP＝3．


当y＝3时，＝3，解得：x＝5，


∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．


（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．


∵点O的坐标为（0，0），


∴点O′的坐标为（0，6）．


∵点A的坐标为（3，0），


∴AO′＝＝3，


∴PO+PA的最小值为3．


（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，


∴AB不能为对角线，只能为边．


设点P的坐标为（m，3），


分两种情况考虑，如图2所示：


①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，


解得：m1＝﹣1，m2＝7，


∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．


又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，


∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；


②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，


解得：m3＝3﹣，m4＝3+，


同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．


综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．








11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．


（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；


（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；


（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．





（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，


∴y1＝，y2＝．


∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，


∴x1﹣x2＝．


又∵x1＜x2，


∴＝1，


∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．


∴OC＝＝，OD＝＝，


∴OC＝OD．


（2）解：∵tan∠BOC＝，


∴＝．


又∵OC＝，


∴+＝10，


∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．


∵点C在第一象限，


∴点C的坐标为（1，3）．


（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，


∴tan∠AOD＝，


∴＝．


∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，


∴m＝1×3＝3，


∴x2•y2＝3，


∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．


∵点D在第一象限，


∴点D的坐标为（3，1）．


设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），


将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，


解得：，


∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．





12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．


（1）若D的坐标为（4，2）


①则OA的长是 8 ，AB的长是 4 ；


②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；


③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．


（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．





解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），


∴点B的坐标为（8，4），


∴OA＝8，AB＝4．


故答案为：8；4．


②EF∥AC，理由如下：


∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），


∴k＝4×2＝8．


∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，


∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），


∴BF＝6，BE＝3，


∴＝，＝，


∴＝．


∵∠ABC＝∠EBF，


∴△ABC∽△EBF，


∴∠BCA＝∠BFE，


∴EF∥AC．


③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．


∵点E的坐标为（8，1），


∴点E′的坐标为（8，﹣1），


∴DE′＝＝5．


设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），


将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，


解得：，


∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．


当y＝0时，﹣x+5＝0，


解得：x＝，


∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．


（2）∵点D的坐标为（m，n），


∴点B的坐标为（2m，2n）．


∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），


∴k＝mn，


∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m， n），


∴BF＝m，BE＝n，


∴＝，＝，


∴＝．


又∵∠ABC＝∠EBF，


∴△ABC∽△EBF，


∴＝＝．





13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．


（1）求反比例函数和一次函数解析式；


（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．





解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，


∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，


∴反比例函数的表达式为y＝﹣，


∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，


∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），


把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，


得，


解得，


∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；





（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，


所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．





14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．


（1）求反比例函数的解析式；


（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．





解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），


∴a＝×8＝4，


∴点A的坐标为（8，4），


∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），


∴4＝，得k＝32，


∴反比例函数的解析式为y＝；


（2）设BP＝b，则AP＝b+2，


∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，


∴AB＝4，∠ABP＝90°，


∴b2+42＝（b+2）2，


解得，b＝3，


∴OP＝8﹣3＝5，


即线段OP的长是5；


（3）设点D的坐标为（d， d），


∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，


∴，


解得，d＝，


∴d＝，


∴点D的坐标为（，）．


15．阅读理解：


如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．


得出结论：


（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；


应用结论：


（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．


（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．





解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），


∴根据两点间的距离公式得，AB＝；





（2）设点P（0，a），


∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），


∵PA＝，PB＝，


∵PA＝PB，


∴＝，


∴a＝5，


∴P（0，5）；





（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，


∴OA＝，k＝1×2＝2，


∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），


设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），


∴OD＝，


由旋转知，OA＝OD，


∴＝，


∴m＝±1或m＝±2，


∵m＞0，


∴m＝1或m＝2，


∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．


∵A（1，2），


∴AD＝4或．