中考数学压轴题专项训练12二次函数的综合含解析

二次函数的综合

1．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为．

（1）求直线的表达式及抛物线的表达式．

（2）求点的坐标．

（3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出的取值范围．

（4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，直接写出点的坐标．

【解析】解：（1）设直线的解析式为，

把，代入得，解得

所以直线的解析式为；

把代入得，

所以抛物线解析式为；

（2）解方程组得或，

所以

（3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足，即

（4）设，

，

，解得或（舍去），

．

2．已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．

（1）求的长度；

（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；

（3）当为何值时，与相似．

【解析】（1）∵对称轴，

∴，

∴

当时，，解得，，

即，，

∴.

（2）经过点和的直线关系式为，

∴点的坐标为.

在抛物线上的点的坐标为，

∴，

∴

，

当时，的最大值是，

∴点的坐标为，即，

（3）连，

情况一：如图，当时，，

当时，，解得，，

∴点的横坐标为－2，即点的横坐标为－2，

∴

情况二：∵点和，

∴，即.

如图，当时，

，，

即为等腰直角三角形，

过点作，即点为等腰的中线，

∴，

，

∴，即，

解得，（舍去）

综述所述，当或－2时，与相似．

3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数的图像与y轴交于点B(0， 4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．

(1)求二次函数的解析式；

(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0， 4)代入二次函数中得： 

解得：

所以二次函数的解析式为： ；

（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），

=，

∴顶点坐标为（1，）；

(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣

 ∵ S△BOP＝•BO•∣x∣   

∴＝×4•∣x∣

   解得：∣x∣＝所以x＝± 

把x＝代入中得：

即：y＝，

把x＝－代入中得：

即：y＝－ 

∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．

4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．

（1）直接写出A、B、C、D坐标；

（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．

【解析】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，

当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵D为OC的中点，

∴D（0，﹣）；

（2）存在，理由如下：

设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，

将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，

解得k＝1，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

设直线BD的解析式为y＝mx﹣，

将点B（3，0）代入y＝mx﹣，

解得m＝，

∴直线BD的解析式为y＝x﹣，

设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），

∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

当EH＝HG＝GP时，﹣x+＝﹣x2+3x，

解得x1＝，x2＝3（舍去），

∴点P的坐标为（，﹣）；

（3）当直线y＝x+t经过点B时，

将点B（3，0）代入y＝x+t，

得，t＝﹣1，

当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，

即x2﹣x﹣3﹣t＝0，

△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，

解得t＝﹣，

∴由图2可以看出，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣＜t＜﹣1时．

5．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线的对称轴 上找一点，使的值最小，求出点M的坐标；

（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？

【解析】解：（1）把，代入抛物线得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线，点，

要使的值最小，对称轴直线x=-1 与线段AB的交点即为所求点M，

设直线AB的解析式为：，把点A和点B的坐标代入，解得：，

∴直线AB：y=x+3，

∴M（-1，2）；

（3）连接OP，如图所示：

设P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得：

OA=3，OB=3，△PAO的高为点P到y轴的距离，△PBO的高为点P到x轴的距离，

∴

=0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3

=-0.5(t+0.5)2+3.375；

∵，即抛物线的开口向下，

∴当t=-0.5时，S最大，此时，点P(-0.5，3.75)．

6．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．

（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____．

【解析】解：（1）将点和点代入，得：，

解得：，

二次函数的解析式为．

二次函数的对称轴为直线，

，

一次函数的图象经过点、，

，解得，

一次函数的解析式为．

（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，

解之得或，

点D的坐标为，，

（3）由图象可知，当或时，有．

7．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；

（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．

【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可得：

，解得；

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴D（﹣1，4），C（0，3）；

∴AC＝，DC＝；

∴tan∠DAC＝．

（2）如图1所示，过E作EF//x轴交AC于点F，设点E（m，﹣m2﹣2m+3），直线AC的表达式为y＝kx+n，

将A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝kx+n可得：

，解得，

∴直线AC表达式为y＝x+3，

∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），

∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，

∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF，

∵S△ACD＝AC•CD＝3，

∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，

∴（m2+3m）＝6，

解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），

∴E（1，0）．

（3）如图2所示

当点P与点A重合时，
∵∠ADQ=∠DCA=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，
∴∠DAC=∠QDC，
又∵∠DCA=∠DCQ=90°，
∴△ADC∽△DQC，
∴，
∴，
当点P与点C重合时，
∴∠Q'DC=∠ACD=90°，
∴DQ'∥CQ，
∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°，
∴△ADC∽△P'Q'D，
∴，
∴，
∴DQ'=CQ，
∴四边形DQ'QC是平行四边形，
∴QQ'=CD=．

8．已知，点，抛物线经过点，且与直线交于点，与轴交于点（异于原点）．

（1）填空：用含的代数式表示______；

（2）若是直角三角形，求的值；

（3）点是抛物线的顶点，连接与交于点，当点是三等分点时，求的值．

【解析】（1）∵抛物线经过点B（1，1），

∴1＝−＋b，

∴b＝1＋，

故答案为：；

（2）∵，∴抛物线的解析式为：

令，则，解得，．

∵点异于原点，

∴点的坐标为．

∴，

∵，Q（a+1，0）

∴，OQ2=，，

∵是直角三角形，

∴，

即

∴．

（3）如图，

∵＝−（x−）2＋，

∴点M（，），

设直线OM的解析式为y=kx，

把M（，）代入得k==

∴直线OM的解析式为y＝x，

当y＝1时，x＝，

∴点N（，1），

∵与直线AB交于点P，

∴1＝−x2＋（1＋）x，

∴x1＝1，x2＝a，

∴点P（a，1），

∵点N是BP三等分点，

∴BN＝2PN，

∴1−＝2（−a），

解得：a＝1或．

9．如图，在坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线的图象过C点，交y轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在点P使得△BPC的周长最小，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；

（3）直线BC解析式为，若平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?

【解析】（1）解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，

则∠CAD+∠ACD＝90°．

∵∠AOB＝90°

∵∠OBA+∠OAB＝90°，

∵∠BAC＝90°

∴∠OAB+∠CAD＝90°，

∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．

在△AOB与△CDA中，

∵ ，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．

∴OD＝OA+AD＝3．

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线yx2+bx﹣2上，

∴1=×9+3b﹣2，解得：b=

∴抛物线的解析式为：；

（2）把x=0代入，得y=-2，

∴点E坐标为(0，-2)，

∵B(0，2)，

∴点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则BP+PC最小即△BPC的周长最小．

设直线CE解析式为，

把点E（0，-2），C（3，1）代入解析式，

得 ，解得 ，

∴直线EC的解析式为y=x-2，，

令y=0，解得x=2，

∴P点坐标为(2，0)；

（3）如图2，设直线AC解析式为，

把点A（1,0），C（3，1）代入解析式，

得 ，解得 ，

∴直线EC的解析式为，．

    如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F，

在△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：S△CEF=S△ABC，

即 EF•h= S△ABC．

∴

，整理得：（3﹣x）=3．

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）．

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．  

10．把函数的图象绕点旋转180°，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，是图象的对称轴与轴交点坐标为．

（1）若，时，的相关函数为______；

（2）的值为______（用含的代数式表示）；

（3）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式．

【解析】（1）∵，，

∴函数为：的顶点坐标为（1，-4），

∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，4），
∴的相关函数为，即，
故答案为：；

（2）：，顶点坐标为（，），
顶点（，）围绕点P（，0）旋转180°的对称点为（，），
∴的相关函数为：，

∴函数的对称轴为：，
，
故答案为：；

（3）时，
：，

，对称轴为直线，
①当时，
∴时，有最小值，
时，有最大值，
则，

整理得：，无解；
②当时，
时，有最大值，
时，有最小值，
（舍去）；
③当时，

时，有最大值，
时，有最小值，

，

解得：(舍去)或，

故：，

故的解析式为．

11．已知函数，（为常数）．

（1）当时，

①求此函数图象与轴交点坐标．

②当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为________．

（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围．

（3）要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围．

【解析】（1）当时，

①∵，

 ∴把x＝0代入得．

∴此函数图象与y轴交点坐标为（0,3）．

②当x≤时，

配方得

∵a＝－1＜0，对称轴为直线x＝－1，

∴当x≤－1，y随x的增大而增大，符合题意，

当x＞时，，

配方得，

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝1，

∴当x≥1时，y随x的增大而增大，符合题意，

综上所述：当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为x≤或x≥1；

（2）当k≥1时，

把（1,5）代入，得，

解得无实根．

当k＜1时，

把（1,5）代入，得，

解得（不合题意，舍去），．

∴．

∴

当x＝－2时，将x＝－2代入

得：y＝－4，

当－2＜x≤0时，

配方得

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，

∴当－2＜x≤0时，8≤y＜20，

综上所述：当－2≤x≤0时，y的取值范围为或8≤y＜20．

（3）由题意可知，

当k≤0时，函数图像如图所示，

则的最大值2k≥－2即可，

解得k≥－1，

∴－1≤k≤0，

当0＜k＜2时，的最大值2k＜4

则当x＞k时，的最小值＜4即可，

将x＝k，y＝4代入得

解得（舍去），

∴0＜k＜，

当k≥2时，的最大值2k≥4，

如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意，

∴k≥2，

综上所述：≤k＜或k≥2．

12．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．

（1）求抛物线的对称轴方程；

（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．

【解析】（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，点D在抛物线对称轴上，

∴点D纵坐标为c，

∵点M是抛物线顶点，

∴点M的纵坐标为，

则DM＝c﹣（c﹣b2）＝， ；

解得b＝（舍去），或b＝﹣，

抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝=5；

（2）由（1）可知抛物线的表达式为y＝x2﹣x+c，

令y＝x2﹣x+c＝0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB＝10，xAxB＝4c，

则AB＝＝＝，

在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，

由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2， ，

25＝c2+25﹣4c，化简得： ，解得c＝4，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；

（3）如图，连接PQ、PC、QC，作的外接圆K，连接KP、KC，

过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物线的对称轴于点N，

设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），

∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，

∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，

∴∠FKC＝∠NPK，

∴Rt≌Rt（AAS），

∴CF＝NK，PN＝MK，

∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，

∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，

故点K的坐标为（m，m﹣1），点P的坐标为（5，2m﹣1）．

由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，﹣），点B的坐标为（8，0），

由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝x﹣6，

设点Q的坐标为（r，r﹣6），

由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，

整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，关于r的一元二次方程，

∵直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，

∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，

解得m＝5或，

点P坐标（5，t），t＝2m﹣1，当m＝5时，t＝9；

当m＝时，t＝；

故点P的坐标为（5，9）或（5，）．