专题：解三角形同步练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合精品导学案，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

解三角形重难点突破同步练习


（答题时间：40分钟）





一、选择题


1. 在△ABC中，cs＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）


A. 4 B. C. D. 2


2. 已知△ABC中，tan A（sin C－sin B）=cs B－cs C，则△ABC为（ ）


A. 等腰三角形 B. A=60°的三角形


C. 等腰三角形或A=60°的三角形D. 等腰直角三角形


3. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs C＝，bcs A＋acs B＝2，则△ABC的外接圆面积为（ ）


A. 4π B. 8π C. 9π D. 36π





二、填空题


4. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，则= 。


5. 已知△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且b2=ac，则sin B+cs B的取值范围是 。


6. 在△ABC中，C=，BC=2AC=2，点D在边BC上，且sin∠BAD=，则CD= 。





三、解答题


7. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝acs C＋c。


（1）求角A；


（2）若·＝3，求a的最小值。


8. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin（B＋C）＝sin2。


（1）求角A的大小；


（2）若a＝2，b＞c，D为BC的中点，且AD＝，求sin C的值。











解三角形重难点突破同步练习参考答案





1. 答案：A


解析：因为cs＝，所以cs C＝2cs2－1＝2×－1＝－。


由余弦定理的推论，知


AB＝


＝。


2. 答案：C


解析：∵tan A（sin C－sin B）=cs B－cs C，


∴·（sin C－sin B）=cs B－cs C，


∴sin A（sin C－sin B）=cs A（cs B－cs C），


整理得cs Acs B+sin Asin B=cs Acs C+sin Asin C，


∴cs（A－B）=cs（A－C），


∴A－B=A－C或A－B=C－A。


当A－B=A－C时，B=C，则△ABC为等腰三角形；


当A－B=C－A时，B+C=2A，可得A=60°。


综上，△ABC为等腰三角形或A=60°的三角形。


3. 答案：C


解析：由可得sin Bcs A＋sin Acs B＝，所以sin（A＋B）＝，即sin C＝，又cs C＝，所以sin C＝，所以R＝3，所以△ABC的外接圆面积为S＝πR2＝9π。


4. 答案：1


解析：由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，设a=4，b=5，c=6，


则由余弦定理知cs A=，∴。


5. 答案：（1，]


解析：∵b2=ac，


∴ac=b2=a2+c2－2accs B≥2ac－2accs B，可得cs B≥，当且仅当a=c时等号成立。


又∵0

6. 答案：


解析：∵C=，BC=2AC=2，


∴AB=，


∴cs B=，又∵B∈（0，π），∴B=，可得∠BAC=。


∵sin∠BAD=，∠BAD∈，∴cs∠BAD=，


∴sin∠DAC=cs∠BAD=。


在△ABD中，由正弦定理可得，AD=，


在△ADC中，由正弦定理可得，AD=，∴，解得CD=。


7. 解：（1）∵△ABC中，b－acs C＝，


∴由正弦定理知，sin B－sin Acs C＝sin C，


∵A＋B＋C＝π，


∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acs C＋cs Asin C，


∴sin Acs C＋cs Asin C－sin Acs C＝sin C，


∴cs Asin C＝sin C，


∴cs A＝，∴A＝。


（2）由（1）及·＝3得bc＝6，


所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－6≥2bc－6＝6，当且仅当b＝c时取等号，所以a的最小值为。


8. 解：（1）sin（B＋C）＝sin2，


所以sin A＝sin2，所以tan ＝，


因为A∈（0，π），所以＝，所以A＝。


（2）由题意可知cs ∠ADB＝－cs ∠ADC，


所以＝－，


所以b2＋c2＝20。


又因为a2＝c2＋b2－2bccs A，所以bc＝8，


因为b＞c，所以b＝4，c＝2。


由正弦定理可得＝，所以sin C＝。





与三角形面积有关的计算问题同步练习


（答题时间：40分钟）


一、选择题


1. 已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S=a2－（b－c）2，bc=4，则S=（ ）


A. 2 B. 4 C. D. 2


2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=4，则△ABC的面积的最大值为（ ）


A. 4 B. 2 C. 3 D.


3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin C=sin A+sin B，cs C=，且S△ABC=4，则c=（ ）


A. B. 4 C. D. 5





二、填空题


4. 在△ABC中，已知a=3，b=2，cs C=，则△ABC的面积为 。


5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知b=2，c=3，B=2C，则S△ABC= 。


6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsin C+csin B=4asin Bsin C，b2+c2－a2=8，则△ABC的面积为 。


7. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，b=，则△ABC的面积的取值范围是 。





三、解答题


8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bc=1，a2－bc=（b－c）2。


（1）求△ABC的面积；


（2）若cs Bcs C=，求△ABC的周长。





与三角形面积有关的计算问题同步练习参考答案





1. 答案：A


解析：因为S=bcsin A，a2=b2+c2－2bc·cs A，4S=a2－（b－c）2，所以2bcsin A=2bc－2bc·cs A，化简得sin A+cs A=1，即sin=1，


所以sin=，可得A+=


所以A=，所以S=bcsin A=2。


2. 答案：A


解析：在△ABC中，=，∴（2a－c）cs B=bcs C，由正弦定理得


（2sin A－sin C）cs B=sin Bcs C，


∴2sin Acs B=sin Ccs B+sin Bcs C=sin（B+C）=sin A。又sin A≠0，∴cs B=，∵0

3. 答案：A


解析：在△ABC中，2sin C=sin A+sin B，由正弦定理可得2c=a+b，由cs C=，0

得sin C=，又S△ABC=absin C=4，∴ab=10，


∴cs C==，即，


得c=。


4. 答案：4


解析：因为sin C=，所以△ABC的面积S=absin C=4。


5. 答案：


解析：由正弦定理，得，即，





解得cs C=。由余弦定理得cs C=，解得a=1（舍去）或a=3，又sin C=，


所以S△ABC=a·b·sin C=×1×2×=。


6. 答案：


解析：由b2+c2－a2=8 得2bccs A=8，可知A为锐角，且bccs A=4。由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C，因为sin B≠0，sin C≠0，所以可得sin A=，所以A=30°，所以bccs 30°=4，即bc=，所以△ABC的面积S=bcsin A=××=。


7. 解：由正弦定理得=2，∴a=2sin A，c=2sin C，


∴S△ABC=acsin B=ac=sin Asin C=sin Asin=sinAsin Acs A+sin2A=sin 2A+sin 2A－cs 2A+=sin。


∵△ABC为锐角三角形，


∴解得

∴<2A－<，∴

∴

故△ABC的面积的取值范围是。


8. 解：（1）由a2－bc=（b－c）2可得b2+c2－a2=bc，∴cs A=，又∵A∈（0°，180°），


∴sin A=，


∴S△ABC=bcsin A=。


（2）∵cs A=－cs（B+C）=，∴sin Bsin C－cs Bcs C=，


又cs Bcs C=，∴sin Bsin C=。


由正弦定理得，∴a=1，


∴b2+c2－a2=（b+c）2－2bc－1=（b+c）2－3。


又∵b2+c2－a2=1，∴b+c=2，


∴△ABC的周长为a+b+c=1+2=3。