初中数学第五章 相交线与平行线综合与测试优秀单元测试同步训练题

第5章 《相交线与平行线》单元测试3

一．选择题（共10小题）

1．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．平行于同一条直线的两条直线平行 

C．垂线段最短 

D．两点确定一条直线

3．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

4．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　）

A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm

5．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°

6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．96 C．84 D．42

7．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

8．如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

9．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

10．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

二．填空题（共4小题）

11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　   　cm．

12．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是　   　．

13．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　   　度．

14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　   　cm．

三．解答题（共2小题）

15．如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．

16．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．

（Ⅰ）求证：AF＝EC；

（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．

（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；

（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

试题解析

1．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：

理由：∵a＞b，ab＞0，

∴a＞b＞0，或b＜a＜0，

∴＜；

②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；

理由：∵ab＞0，

∴a、b同号，

∵＜，

∴a＞b；

③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；

理由：∵a＞b，＜，

∴a、b同号，

∴ab＞0

∴组成真命题的个数为3个；

故选：D．

2．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．平行于同一条直线的两条直线平行 

C．垂线段最短 

D．两点确定一条直线

解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．

故选：A．

3．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

解：∵AB∥CD，

∴∠EHD＝∠EGB＝50°，

∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．

∵HM平分∠CHG，

∴∠CHM＝∠GHM＝∠CHG＝65°．

∵AB∥CD，

∴∠GMH＝∠CHM＝65°．

故选：D．

4．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　）

A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm

解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，

∴EF＝AD＝2cm，AE＝DF，

∵△ABE的周长为16cm，

∴AB+BE+AE＝16cm，

∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD

＝AB+BE+AE+EF+AD

＝16cm+2cm+2cm

＝20cm．

故选：C．

5．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°

解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，

∴∠ACB＝60°．

∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，

∴∠DEF＝45°．

∵EF∥BC，

∴∠CEF＝∠ACB＝60°，

∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°．

故选：A．

6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．96 C．84 D．42

解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，

∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，

∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．

故选：A．

7．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

解：∵AD∥BC，∠1＝130°，

∴∠BFE＝180°﹣∠1＝50°，

又∵∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，

∴∠EFG＝60°，

∴∠BFG＝50°+60°＝110°，

故选：C．

8．如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

解：∵直线a∥b，

∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，

∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，

∴∠2＝40°．

故选：C．

9．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

证明：延长BE交CD于点F，

则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．

又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．

故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故选：C．

10．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

解：由题意可得：∠1＝∠3＝∠4＝40°，

则∠2＝∠5＝＝70°．

故选：D．

11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　5　cm．

解：∵PB⊥l，PB＝5cm，

∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，

故答案为：5．

12．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是　48°　．

解：∵a∥b，

∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，

故答案为：48°

13．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　20　度．

解：过点C作CF∥AB，

已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，

∴AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC＝180°，

∴∠BCF＝60°，

∴∠DCF＝20°，

∴∠CDE＝∠DCF＝20°．

故答案为：20．

14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　13　cm．

解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，

∴EF＝DC＝4cm，FC＝7cm，∠C＝∠BFE，

∵AB＝AC，BC＝12cm，

∴∠B＝∠C，BF＝5cm，

∴∠B＝∠BFE，

∴BE＝EF＝4cm，

∴△EBF的周长为：4+4+5＝13（cm）．

故答案为：13．

15．如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．

解：∵EF∥GH，

∴∠ABD+∠FAC＝180°，

∴∠ABD＝180°﹣72°＝108°，

∵∠ABD＝∠ACD+∠BDC，

∴∠BDC＝∠ABD﹣∠ACD＝108°﹣58°＝50°．

16．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．

（Ⅰ）求证：AF＝EC；

（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．

（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；

（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

（Ⅰ）证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE，

∴a（x+AF）＝a（EC+b﹣AF），

∴2AF＝EC+（b﹣x）．

又∵EC＝b﹣x，

∴2AF＝2EC．

∴AF＝EC．

（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）

∵EC∥E′B′，

∴＝，

由EC＝b﹣x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC+CB′＝2a，

得，

∴x：b＝．

当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）

在梯形AE′B′D中，

∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，

∴CE＝（AD+E′B′），

即b﹣x＝（b+x），

∴x：b＝．

（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，

证明：连接BF，

∵FD∥BE，FD＝BE，

∴四边形FBED是平行四边形，

∴FB∥DE，FB＝DE，

又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，

∴DE＝EE′，

∴FB∥EE′，FB＝EE′，

∴四边形BE′EF是平行四边形，

∴BE′∥EF．

如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，

设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M＝a，

∵x：b＝，

∴EM＝BC＝b，

若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG＝90°，

又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E＝90°，

∴∠GBE＝∠ME′E，

在Rt△BME′中，tan∠E′BM＝tan∠GBE＝＝，

在Rt△EME′中，tan∠ME′E＝＝，

∴＝．

又∵a＞0，b＞0，

＝，

∴当＝时，BE′与EF垂直．