辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（11）——圆

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2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（11）——圆
一．圆周角定理（共4小题）
1．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（　　）

A．57° B．52° C．38° D．26°
2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°
3．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（　　）

A．20° B．70° C．30° D．90°
4．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是AC的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝　 　．

二．三角形的外接圆与外心（共3小题）
5．（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．25° C．15° D．10°
6．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则AC的长为　 　．

7．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝　 　．

三．直线与圆的位置关系（共2小题）
8．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠FBC=13，DF＝2，求⊙O的半径．

9．（2019•抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是DBC的中点，⊙O的半径为2，求BC的长．

四．切线的性质（共6小题）
10．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
11．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．
（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；
（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB=512，BC＝1，求PD的长．

12．（2020•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF=35，求⊙O的半径．

13．（2019•营口）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：CD＝AD+CE．
（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．

14．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝45，CD＝4，则⊙O的半径是　 　．

15．（2019•大连）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．

五．切线的判定与性质（共11小题）
16．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

17．（2020•沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为　 　．

18．（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA=34，AD＝2，求BO的长．

19．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

20．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH=5，求⊙O的半径．

21．（2019•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．

22．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝23，AC＝4，求扇形OAC的面积．

23．（2019•锦州）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且AN=BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．

24．（2019•葫芦岛）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角
线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=35，AF＝6，MD＝2，求FC的长．

25．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝AE＝23，求阴影部分的面积．

26．（2019•本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC=12，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．

六．正多边形和圆（共3小题）
27．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（　　）

A．（1，-3） B．（1，3） C．（1，﹣2） D．（2，1）
28．（2020•葫芦岛）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　 　．

29．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为　 　．

七．弧长的计算（共4小题）
30．（2020•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：3，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝23，则BG的长是（　　）

A．π3 B．π2 C．2π3 D．3π4
31．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE的长为（　　）

A．4π3 B．π C．2π3 D．π3
32．（2019•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则BC的长为　 　．

33．（2019•铁岭）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则AB的长为　 　．

八．扇形面积的计算（共2小题）
34．（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为　 　．

35．（2019•抚顺）如图，直线l1的解析式是y=33x，直线l2的解析式是y=3x，点A1在l1上，A1的横坐标为32，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn＝　 　．（用含有正整数n的式子表示）

九．圆锥的计算（共2小题）
36．（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　 　．
37．（2019•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为　 　．
一十．圆的综合题（共2小题）
38．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当AFBF=25，CE＝4时，直接写出CG的长．

39．（2019•丹东）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且AG=EG，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：
①AO＝AG．
②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．


2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（11）——圆
参考答案与试题解析
一．圆周角定理（共4小题）
1．【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．

2．【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．

3．【解答】解：连接AC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．

4．【解答】解：连接OB．

∵AB=BC，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC=12∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
二．三角形的外接圆与外心（共3小题）
5．【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A=12∠BOC＝30°，


故选：A．
6．【解答】解：连接OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴AC的长=60⋅π⋅6180=2π，
故答案为2π．
7．【解答】解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴BE=EC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=12×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC=AB2+AC2=42+82=45．
故答案为：45．
三．直线与圆的位置关系（共2小题）
8．【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴tan∠FBC＝tan∠DBF=DFBD=13，
∵DF＝2，
∴BD＝6，
设AB＝AF＝x，
∴AD＝x﹣2，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
解得：x＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．

9．【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OB，
∵点B是DBC的中点，
∴BC=BD，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠COB＝∠BOD＝135°，
∴BC的长=135⋅π×2180=32π．

四．切线的性质（共6小题）
10．【解答】解：如图：连接OB，

∵∠A＝25°，
∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠OBC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
11．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴∠ADC+2∠ACD＝180°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：连接OD交AC于点E，

∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
又∵AD=CD，
∴OD⊥AC，AE＝EC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DP＝EC，
∵tan∠CAB=512，BC＝1，
∴CBAC=1AC=512，
∴AC=125，
∴EC=12AC=65，
∴DP=65．
12．【解答】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵AC=CD，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE=12EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE=35，
∴CEAE=6AE=35，
∴AE＝10，
∴AC=AE2-CE2=102-62=8，
∵sin∠ABC=ACAB=8AB=35，
∴AB=403，
∴OA=12AB=203．
即⊙O的半径为203．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AD⊥OA，
∵AO是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线，
又∵DF是⊙O的切线，
∴AD＝DF，
同理可得CE＝CF，
∵CD＝DF+CF，
∴CD＝AD+CE．
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
∵AD＝4CE，
∴设CE＝t，则AD＝4t，
∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，
∴在Rt△ABE中，AE=(5t)2-(3t)2=4t，
∴OA＝OE＝2t，
∵DA，DF是⊙O的两条切线，
∴∠ODA＝∠ODF，
∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，
∴AF⊥OD，
∴在Rt△OAD中，tan∠ODA=AOAD=2t4t=12，
∵∠OAD＝∠AMD＝90°，
∴∠EAF＝∠ODA，
∵EF=EF，
∴∠EGF＝∠EAF，
∴∠ODA＝∠EGF，
∴tan∠EGF=12．
14．【解答】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝45，CD＝4，
∴BD=BC2-CD2=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ABBC=CBBD，即AB45=458，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．

15．【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC=12BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
∠DCE=∠FDC∠DEC=∠CFDDC=CD，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE•EC，
则EC=DE2AE=92，
∴AC＝2+92=132，
∴⊙O的半径为134．


五．切线的判定与性质（共11小题）
16．【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，
∴AC＝10，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵sin∠ACB=ABAC，
∴AB=sin45°⋅AC=52，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵在Rt△ADF中，AD＝6，
∵sin∠ADF=AFAD，
∴AF=sin45°⋅AD=32，
∴DF=AF=32，
在Rt△ABF中，BF2=AB2-AF2=(52)2-(32)2=32，
∴BF=42，
∴BD=BF+DF=72．

解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．
∴∠DBH＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．
∴BD=72．

17．【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴DC=3OD=3，
故答案为：3．
18．【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA=34，
∴OHAH=34，
∴3xAH=34，
∴AH＝4x，
∴AO=OH2+AH2=(3x)2+(4x)2=5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA=BCAC，
∴BC＝AC•tanA＝8×34=6，
∴OB=OC2+BC2=32+62=35．

19．【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．

20．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH=5，
∴DB＝2DH＝25，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴AD2-(AD-2)2=(25)2-22，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为52．
21．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．

（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AC=AB2-BC2=82-42=43，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=12AC=23，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴DE=12AD=12×23=3，
在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=42+(23)2=27，
在Rt△BED中，BE=BD2-DE2=(27)2-(3)2=5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴DFBD=DEBE，即DF27=35，
∴DF=2215．
22．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG，
∴∠D＝∠G，
∴∠OED＝∠G，
∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，
∵AC＝4，
∴CH=12AC=2，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OH=EF=23，
在Rt△OHC中，
OC=CH2+OH2=22+(23)2=4，
∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S扇形OAC=60π⋅42360=83π．


23．【解答】证明：（1）连接OM，

∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON

∵AN=BN，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，AN=BN，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB=AN2+BN2=42
∴AO＝BO＝ON＝22
∴OC=CN2-ON2=9-8=1
∴AC＝22+1，BC＝22-1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴ACCM=CNBC
∴AC•BC＝CM•CN
∴7＝3•CM
∴CM=73
24．【解答】（1）证明：连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵EC＝EF，
∴∠DCA＝∠EFC，
∵OA＝OF，
∴∠CAD＝∠OFA，
∴∠EFC+∠OFA＝90°，
∴∠EFO＝90°，
∴EF⊥OF，
∵OF是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接MF，
∵AM是直径，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，cos∠CAD=AFAM=35，
∵AF＝6，
∴6AM=35，
∴AM＝10，
∵MD＝2，
∴AD＝8，
在Rt△ADC中，cos∠CAD=ADAC=35，
∴8AC=35，
∴AC=403，
∴FC=403-6=223

25．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，
∴∠AFO＝90°，
∴∠EAO+∠AOF＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE，
∵∠EDA=12∠AOE，
∴∠EDA＝∠AOF，
∵∠EAC＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠AOF，
∴∠EAO+∠EAC＝90°，
∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，
∴∠CAO＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵CE＝AE＝23，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠EAC+∠C＝∠AEO，
∴∠AEO＝2∠EAC，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO，
∴∠EAO＝2∠EAC，
∵∠EAO+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴OA＝AE，∠EOA＝60°，
∴OA＝23，
∴S扇形AOE=60⋅π×(23)2360=2π，
在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝23×32=3，
∴S△AOE=12AE•OF=12×23×3＝33，
∴阴影部分的面积＝2π﹣33．

26．【解答】（1）连接OD，
∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBP+∠BEC＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠CDP+∠ODE＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴DP是⊙O的切线；
（2）∵∠CDP＝∠CBE，
∴tan∠CBE=tan∠CDP=CEBC=12，
∴CE=12×4=2，
∴DE＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠F+∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中，DEDF=12，
∴DF＝4，
∴EF=DE2+DF2=42+22=25，
∴OE=5，
∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，
∴△DPE∽△FPD，
∴PEPD=PDPF=DEDF，
设PE＝x，则PD＝2x，
∴x(x+25)=(2x)2，
解得x=235，
∴OP＝OE+EP=5+253=553．
六．正多边形和圆（共3小题）
27．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴∁i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，3），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，-3），
∴顶点∁i的坐标是（1，-3），
故选：A．
28．【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB=(5-2)×180°5=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE=12×（180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°．
29．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积=60⋅π×22360=2π3，
故答案为：2π3．
七．弧长的计算（共4小题）
30．【解答】解：连接OD、BD，
∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴OD∥FC，
∴△DOE∽△FBE，
∴BFOD=BEOE，
∵OB＝OD，OE：EB＝1：3，
∴tan∠BOF=BFOB=3，
∴∠BOF＝60°，
∴BF＝23，
∴OB＝2，
∴BG的长=60π×2180=23π，
故选：C．

31．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB=3，
∴cos∠BAE=ABAE=32，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴DE的长=60⋅π×2180=2π3，
故选：C．
32．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴BC的长=120π×3180=2π，
故答案为：2π．
33．【解答】解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝70°，
∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝10°，
∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，
则AB的长=160π×9180=8π，
故答案为：8π．

八．扇形面积的计算（共2小题）
34．【解答】解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．
故答案为：π3．
35．【解答】解：过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，
∵点A1在l1上，A1的横坐标为32，点A1（32，32），
∴OD=32，A1D=32，
∴OA1=A1D2+OD2=(32)2+(32)2=3，
∴在Rt△A1OD中，A1D=12OA1，
∴∠A1OD＝30°，
∵直线l2的解析式是y=3x，
∴∠B1OD＝60°，
∴∠A1OB1＝30°，
∴A1B1＝OA1•tan∠A1OB1＝1，
∵A1B1⊥l1交l2于点B1，
∴∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝120°，
∴∠B1A1C1＝60°，
∵四边形A1B1B2C1是菱形，
∴△A1B1C1是等边三角形，
∴S1＝2（S扇形B1A1C1-S△B1A1C1）＝2×（60⋅π×12360-34×12）=π3-32，
∵A1C1∥B1B2，
∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，
∴A2C1=12，A2B2＝A2C1+B2C1=32，∠A2B2O＝60°，
同理，S2＝2（S扇形B2A2C2-S△B2A2C2）＝2×[60⋅π×(32)2360-34×（32）2]＝（π3-32）×（32）2，
S3＝（π3-32）×（32）4，
…
∴Sn＝（π3-32）×（32）2（n﹣1）＝（π3-32）×（32）2n﹣2．
故答案为：（π3-32）×（32）2n﹣2．

九．圆锥的计算（共2小题）
36．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
37．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=216⋅π⋅5180，解得r＝3．
故答案为3．
一十．圆的综合题（共2小题）
38．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．

（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．

②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴ECBE=AFBF=25，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴AECE=EBEA，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝210，
∴AH＝AE＝210，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴GHGE=HCEA=GCGA，
∴yx+4=4210=x210+y，
解得x=283．

39．【解答】解：（1）证明：①如图1，连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵AG=EG，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；

②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接GE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC=12AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE=GE2-CG2=62-32=33，
∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE=12（6+3）×33-60π⋅62360=2732-6π．