中考试题分类（11）——圆(含解析)

这是一份中考试题分类（11）——圆(含解析)，共53页。
①；
②；
③四边形有外接圆；
④是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为
A．B．C．D．
3．如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点．下列结论不一定成立的是
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点、都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
4．如图所示，点、、对应的刻度分别为0、2、4、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为
A．B．6C．D．
5．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
A．B．C．D．
6．如图，边长为的等边的内切圆的半径为
A．1B．C．2D．
7．如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．B．C．D．平分
8．一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是
A．B．C．D．
二．填空题（共14小题）
9．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．
10．如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②，则该圆锥的母线长为 ．
11．如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 ．
12．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为（米，某车在标有处的弯道上从点行驶了米到达点，则线段 米．
13．小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角，测得的长为，则的长为 ．
14．一个蜘蛛网如图所示，若多边形为正九边形，其中心点为点，点、分别在射线、上，则 度．
15．观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；
（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；
根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于．也会有类似的结论，你的结论是 ．
16．据《汉书律历志》记载：“量者，龠yuè、合、升、斗、斛hú也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜huán其外，旁有庣tiā焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）
17．如图，在半径为6的中，圆心角，则阴影部分面积为 ．
18．已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
20．如图，、两点在以为直径的圆上，，，则 ．
21．（2019•株洲）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 度．
22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
三．解答题（共20小题）
23．（2020•邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
24．（2020•益阳）如图，是的半径，过点作的切线，且，，分别交于，．求证：．
25．（2020•娄底）如图，点在以为直径的上，平分交于点，过作的垂线，垂足为．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长；
（3）请用线段、表示的长，并说明理由．
26．（2020•株洲）是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．
（1）如图①，求证：直线是的切线；
（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．
27．（2020•湘西州）如图，是的直径，是的切线，交于点．
（1）若为的中点，证明：是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
28．（2020•张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
29．（2020•郴州）如图，内接于，是的直径．直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留．
30．（2020•长沙）如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．
（1）求的度数；
（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；
（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．
31．（2020•湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于中，．求的半径．
33．（2020•长沙）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
34．（2020•衡阳）如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
35．（2019•永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，劣弧的弧长为，求的半径．
36．（2019•邵阳）如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，当时
①求的度数；
②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
37．（2019•张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
38．（2019•邵阳）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
39．（2019•郴州）如图，已知是的直径，与相切于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交于点．若，的半径为2，求的长．（结果保留
40．（2019•常德）如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
41．（2019•益阳）如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
42．（2019•株洲）四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结、．点是线段上的一点，连结、，且，，的延长线与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，
①求证：为等腰直角三角形；
②求的长度．
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆
一．选择题（共8小题）
1．（2020•永州）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：
①；
②；
③四边形有外接圆；
④是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以①正确；
，，
垂直平分，所以②正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以③正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以④错误．
故选：．
2．（2020•张家界）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
3．（2020•湘西州）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点．下列结论不一定成立的是
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点、都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
【解答】解：（A）、为圆的切线，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意．
（B）由圆的对称性可知：垂直平分，但不一定平分，故选项符合题意．
（C）连接、，
、为圆的切线，
，
点、、在以为直径的圆上，故选项不符合题意．
（D）是等腰三角形，，
为的边上的中线，故选项不符合题意．
故选：．
4．（2020•株洲）如图所示，点、、对应的刻度分别为0、2、4、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为
A．B．6C．D．
【解答】解：由题意，知，，．
由旋转的性质，得．
在△中，．
．
扇形的面积为．
即线段扫过的图形的面积为．
故选：．
5．（2020•常德）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
A．B．C．D．
【解答】解：这个圆锥的母线长，
这个圆锥的侧面积．
故选：．
6．（2019•娄底）如图，边长为的等边的内切圆的半径为
A．1B．C．2D．
【解答】解：设的内心为，连接、，的延长线交于，如图，
为等边三角形，
平分，平分，为等边三角形，
，，
，，
在中，，
，
即内切圆的半径为1．
故选：．
7．（2019•益阳）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．B．C．D．平分
【解答】解：，是的切线，
，所以成立；
，所以成立；
，所以成立；
，是的切线，
，且，
只有当，时，平分，所以不一定成立．
故选：．
8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
二．填空题（共14小题）
9．（2020•永州）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．
【解答】解：圆锥的侧面积平方分米．
故答案为．
10．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②，则该圆锥的母线长为 13 ．
【解答】解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长，
，
在中，，
所以该圆锥的母线长为13．
故答案为：13．
11．（2020•娄底）如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 ．
【解答】解：两个圆锥的底面圆相同，
可设底面圆的周长为，
上面圆锥的侧面积为：，
下面圆锥的侧面积为：，
，，
，
故答案为：．
12．（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为（米，某车在标有处的弯道上从点行驶了米到达点，则线段 300 米．
【解答】解：设线段对应的圆心角度数为，
，
，
又，
是等边三角形，
（米，
故答案为：300．
13．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角，测得的长为，则的长为 12 ．
【解答】解：
法一：的长为，
，
，
则的长为：；
法二：与所对应的圆心角度数的比值为，
与的弧长之比为，
的弧长为，
故答案为：12．
14．（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形为正九边形，其中心点为点，点、分别在射线、上，则 80 度．
【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：
，
．
故答案为：80．
15．（2020•湘西州）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；
（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；
根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于．也会有类似的结论，你的结论是 ， ．
【解答】解：（1）如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；
（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；
根据以上规律，在正边形中，
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，
且，与相交于．
也有类似的结论是，．
故答案为：，．
16．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠yuè、合、升、斗、斛hú也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜huán其外，旁有庣tiā焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）
【解答】解：如图，
四边形为正方形，
，，
为直径，，
由题意得，
，
，
正方形周长为尺．
故答案为：．
17．（2020•湘潭）如图，在半径为6的中，圆心角，则阴影部分面积为 ．
【解答】解：阴影部分面积为，
故答案为：．
18．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
，
该圆锥的侧面展开图的面积为．
故答案为：．
19．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米．
【解答】解：弦米，半径弦，
，
，
，
弧田面积（弦矢矢，
故答案为：10．
20．（2019•娄底）如图，、两点在以为直径的圆上，，，则 1 ．
【解答】解：为直径，
，
，
．
故答案为1．
21．（2019•株洲）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 20 度．
【解答】解：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20．
22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
【解答】解：如图，圆半径为6，求长．
连接，，作于点，
，
，，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共20小题）
23．（2020•邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【解答】（1）证明：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知是的切线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．
24．（2020•益阳）如图，是的半径，过点作的切线，且，，分别交于，．求证：．
【解答】证明：是的半径，过点作的切线，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，即：．
25．（2020•娄底）如图，点在以为直径的上，平分交于点，过作的垂线，垂足为．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长；
（3）请用线段、表示的长，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）解：是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：结论，
理由：过作于，
平分，，
，
在与中，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
26．（2020•株洲）是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．
（1）如图①，求证：直线是的切线；
（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．
【解答】（1）证明：连接，如图①，
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：如图②，是的直径，的半径为1，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
27．（2020•湘西州）如图，是的直径，是的切线，交于点．
（1）若为的中点，证明：是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
【解答】（1）证明：连接，，
是的直径，且在上，
，
，
为的中点，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的半径的长是4．
28．（2020•张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，即，
又，
，
，
，即，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，
又，
，即，
，，
，
．
29．（2020•郴州）如图，内接于，是的直径．直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径．直线与相切于点，
，
，，
，，
，
即，
，
直线是的切线；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积．
30．（2020•长沙）如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．
（1）求的度数；
（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；
（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．
【解答】解：（1）如图1中，过点作于．
，，
，，
，
，
．
（2）如图2中，连接，取的中点，连接，
，，，
，，
，
，
，，，四点共圆，
是直径，
的中点是的外接圆的圆心，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，
点的运动路径的长．
（3）当点靠近点时，
如图3中，当时，连接交于，过点作于，过点作于．
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
当时，同法可得，
同理，当点靠近点时，可知．
综上所述，满足条件的的值为．
31．（2020•湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
；
（2）直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
由知：，
又，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
与相切．
32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于中，．求的半径．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2），，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
四边形是垂等四边形；
（3）如图，过点作，
四边形是垂等四边形，
，
又垂等四边形的面积是24，
，
解得，，
又，
，
设半径为，根据垂径定理可得：
在中，，，
，
的半径为4．
33．（2020•长沙）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
【解答】解：（1）如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线；
（2）过点作于点，
在中，，，
，
，
，
，
根据垂径定理，得
，
，
，
的半径为2．
34．（2020•衡阳）如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【解答】解：（1）与相切，
理由：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
35．（2019•永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，劣弧的弧长为，求的半径．
【解答】解：（1），，
设：，，
则中，根据三角形内角和为，
，
，
是的切线；
（2）过点作，延长交于点，
则，四边形为矩形，
设：，则，
则，而，
则，，
为等边三角形，即，
，
解得：，
故圆的半径为3．
36．（2019•邵阳）如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，当时
①求的度数；
②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：如图1，切于点，是的直径，
（2）如图2，连接，
①，
是等边三角形
②存在．如图2，过点作交于，连接，，，
由①得：，
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
37．（2019•张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
【解答】解：（1）如图，连接，，，
为的直径，
，
在中，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
为半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
38．（2019•邵阳）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
【解答】解：在等腰中，，
，
是的角平分线，
，，
，
，
由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
39．（2019•郴州）如图，已知是的直径，与相切于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交于点．若，的半径为2，求的长．（结果保留
【解答】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
的长：．
40．（2019•常德）如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
是切线，
，
在和中
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，，
是切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
，
解得或（舍去），
，
，
、是的切线，
，
设，
在中，，
，
解得，
，
故的长为6．
41．（2019•益阳）如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
是中的中点，
，
为的直径，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形为的内接四边形，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
（3），，
，
，
设，则，由此得，
解得：或（不合题意，舍去），
，
为的中位线，
，
．
42．（2019•株洲）四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结、．点是线段上的一点，连结、，且，，的延长线与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，
①求证：为等腰直角三角形；
②求的长度．
【解答】证明：（1），
，且
四边形是平行四边形
（2）①是直径
，且
，
，且
，且
为等腰直角三角形；
②四边形是的圆内接四边形，
，且
，且，
，，
，
，且为等腰直角三角形