辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（4）——方程的解法与应用

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2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（4）——方程的解法与应用
一．一元一次方程的应用（共1小题）
1．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
二．二元一次方程组的解（共2小题）
2．（2019•朝阳）关于x，y的二元一次方程组mx+y=nx-ny=2m的解是x=0y=2，则m+n的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
3．（2020•朝阳）已知关于x、y的方程2x+y=2a+1x+2y=5-5a的解满足x+y＝﹣3，则a的值为　 　．
三．解二元一次方程组（共3小题）
4．（2020•沈阳）二元一次方程组x+y=52x-y=1的解是　 　．
5．（2019•铁岭）若x，y满足方程组3x+y=17x-y=3，则x+y＝　 　．
6．（2019•沈阳）二元一次方程组3x-2y=3x+2y=5的解是　 　．
四．由实际问题抽象出二元一次方程组（共3小题）
7．（2020•锦州）某校计划购买篮球和排球共100个，其中篮球每个110元，排球每个80元．若购买篮球和排球共花费9200元，该校购买篮球和排球各多少个？设购买篮球x个，购买排球y个，根据题意列出方程组正确的是（　　）
A．x+y=9200x80+y110=100
B．x+y=9200x110+y80=100
C．x+y=10080x+110y=9200
D．x+y=100110x+80y=9200
8．（2020•葫芦岛）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A．x=y-22x+3y=400
B．x=y-22x+3(x+y)=400-50
C．x=y+22x+3y=400-50
D．x=y+22x+3(x+y)=400-50
9．（2019•大连）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为　 　．
五．二元一次方程组的应用（共2小题）
10．（2020•阜新）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
11．（2020•大连）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
六．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
12．（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
七．根的判别式（共14小题）
13．（2020•沈阳）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
14．（2019•营口）若关于x的方程kx2﹣x-34=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0 B．k≥-13且k≠0 C．k≥-13 D．k＞-13
15．（2019•朝阳）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
16．（2019•丹东）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
17．（2020•锦州）若关于x的一元二次方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
18．（2020•鞍山）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　 　．
19．（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　．
20．（2020•丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　．
21．（2020•盘锦）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
22．（2020•葫芦岛）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
23．（2019•铁岭）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
24．（2019•抚顺）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
25．（2019•鞍山）关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
26．（2019•葫芦岛）若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　．
八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
27．（2020•大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　 　．
九．由实际问题抽象出分式方程（共7小题）
28．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．3000x-3000(1+25%)x=30
B．3000(1+25%)x-3000x=30
C．3000(1-25%)x-3000x=30
D．3000x-3000(1+25%)x=30
29．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（　　）
A．50×80x=72x+5×40 B．40×80x=72x+5×50
C．40×72x-5=80x×50 D．50×72x-5=80x×40
30．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（　　）
A．240x=300x-6 B．240x=300x+6
C．240x-6=300x D．240x+6=300x
31．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．3000x=4200x-80 B．3000x+80=4200x
C．4200x=3000x-80 D．3000x=4200x+80
32．（2019•辽阳）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　）
A．60×(1+25%)x-60x=60 B．60x-60×(1+25%)x=60
C．60(1+25%)x-60x=60 D．60x-60(1+25%)x=60
33．（2019•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．360x=480140-x B．360140-x=480x
C．360x+480x=140 D．360x-140=480x
34．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为　 　．
一十．分式方程的应用（共9小题）
35．（2019•盘锦）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是　 　km/h．
36．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？
37．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
38．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
39．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？
40．（2019•阜新）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
41．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
42．（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
43．（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（4）——方程的解法与应用
参考答案与试题解析
一．一元一次方程的应用（共1小题）
1．【解答】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，
解得：x＝200．
故选：C．
二．二元一次方程组的解（共2小题）
2．【解答】解：把x=0y=2代入得：n=2-2n=2m，
解得：m=-2n=2，
则m+n＝0，
故选：D．
3．【解答】解：2x+y=2a+1①x+2y=5-5a②，
①+②，得
3x+3y＝6﹣3a，
∴x+y＝2﹣a，
∵x+y＝﹣3，
∴2﹣a＝﹣3，
∴a＝5．
故答案为：5．
三．解二元一次方程组（共3小题）
4．【解答】解：x+y=5①2x-y=1②，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为x=2y=3．
故答案为：x=2y=3．
5．【解答】解：3x+y=17①x-y=3②，
①+②得：4x＝20，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝2，
则x+y＝2+5＝7，
故答案为：7
6．【解答】解：3x-2y=3①x+2y=5②，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为x=2y=1.5．
故答案为x=2y=1.5．
四．由实际问题抽象出二元一次方程组（共3小题）
7．【解答】解：由题意得：x+y=100110x+80y=9200．
故选：D．
8．【解答】解：由题意可得，
x=y+22x+3(x+y)=400-50，
故选：D．
9．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2，
故答案为5x+y=3x+5y=2．
五．二元一次方程组的应用（共2小题）
10．【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
根据题意列方程组，得
10x+5y=35010(1-30%)x+5(1-20%)y=260．
解得，x=20y=30．
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；

（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，
根据题意，得 10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，
解得：m≤1009=1119．
∵m为正整数，
∴m＝11．
所以，最多能购买消毒液11瓶．
11．【解答】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，
依题意，得：6x+15y=3608x+10y=440，
解得：x=50y=4．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
六．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
12．【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
七．根的判别式（共14小题）
13．【解答】解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
14．【解答】解：当k≠0时，△＝1+4k×34=1+3k≥0，
∴k≥-13，
∴k≥-13且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为﹣x-34=0，满足题意，
故选：C．
15．【解答】解：∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
16．【解答】解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
17．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝k2﹣4＝0，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
18．【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k＝0，
解得k=94．
故答案为94．
19．【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
20．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m≥-134且m≠﹣1．
故答案为：m≥-134且m≠﹣1．
21．【解答】解：根据题意得△＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故答案为m＜1．
22．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2+4k＞0，
解得k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
23．【解答】解：由题意可知：△＝64﹣16a＞0，
∴a＜4，
∵a≠0，
∴a＜4且a≠0，
故答案为：a＜4且a≠0
24．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
25．【解答】解：根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，
解得k=134
故答案为134．
26．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
27．【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
九．由实际问题抽象出分式方程（共7小题）
28．【解答】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺x1+25%m管道，
根据题意，得3000(1+25%)x-3000x=30，
故选：B．
29．【解答】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，40×80x=72x+5×50．
故选：B．
30．【解答】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：
240x=300x+6．
故选：B．
31．【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：3000x=4200x+80．
故选：D．
32．【解答】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为（1+25%）x公里，
依题意得：60x-60(1+25%)x=60．
故选：D．
33．【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：360x=480140-x，
故选：A．
34．【解答】解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A种树苗的棵数是600x，用450元购买B种树苗的棵数是450x-10．
由题意，得600x=450x-10．
故答案是：600x=450x-10．
一十．分式方程的应用（共9小题）
35．【解答】解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：15x-151.5x=1560，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
36．【解答】解：设计划每天生产x顶帐篷，则实际每天生产帐篷（1+25%）x顶，
依题意得：10000x-10=10000(1+25%)x．
解得x＝200．
经检验x＝200是所列方程的解，且符合题意．
答：计划每天生产200顶帐篷．
37．【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得600x+20=480x．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．

（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
38．【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，
则3000x-3000(1+25%)x=2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米．
39．【解答】解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是（x﹣150）人，依题意有
1800x×1.5=1800x-150，
解得x＝450，
经检验，x＝450是原方程的解．
故八年级捐书人数是450人．
40．【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：80x+0.5=30x，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
41．【解答】解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，
依题意，得：810x+20=600x（1﹣10%），
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．
42．【解答】解：（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，
根据题意得40004x+2.5=800x+4000-8008x，
解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解．
所以2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．
43．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：
800x=680x-6，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；

（2）设购买乙种树苗y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥3313，
∵y是正整数，
∴y最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．