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辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（8）——二次函数
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这是一份辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（8）——二次函数，共21页。试卷主要包含了，对称轴为直线x＝1，的图象如图所示，现给出下列结论等内容，欢迎下载使用。
2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数
一．二次函数的图象（共1小题）
1．（2019•葫芦岛）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
2．（2020•葫芦岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：
①abc＞0；
②若点M（-12，y1），点N（72，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③-35＜a＜-25；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2019•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（ ）
A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝0 D．4ac＞b2
6．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
三．抛物线与x轴的交点（共4小题）
8．（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
9．（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（72，0） B．（3，0） C．（52，0） D．（2，0）
10．（2019•大连）如图，抛物线y=-14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（ ）
A．5 B．25 C．3 D．23
11．（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
四．二次函数的应用（共17小题）
12．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
13．（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
14．（2020•锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
15．（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
16．（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元）
…
15
16
17
18
…
每天销售量y（件）
…
150
140
130
120
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
17．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
18．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
19．（2019•丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
20．（2019•盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…
（1）求y1与x之间的函数关系式．
（2）求y2与x之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．（2019•营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为y＝2t+100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：
时间第t天
1
2
3
…
80
销售单价p/（元/kg）
49.5
49
48.5
…
10
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
23．（2019•抚顺）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
24．（2019•朝阳）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（2019•鞍山）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
26．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
27．（2019•锦州）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
28．（2019•辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
五．二次函数综合题（共22小题）
29．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-12x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF=43时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的12，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
31．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2020•朝阳）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
33．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的14时，请直接写出线段AM的长．
34．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
35．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+94x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，72），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
36．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝23时，请直接写出点G的坐标为 ．
37．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=-12x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（-45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
38．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
39．（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
40．（2019•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．
（1）用含a的代数式表示点C的坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值．
41．（2019•抚顺）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．
42．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=-12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．
43．（2019•铁岭）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
44．（2019•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
45．（2019•阜新）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．
47．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2019•葫芦岛）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
49．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝22，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数
参考答案与试题解析
一．二次函数的图象（共1小题）
1．【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，-b2a＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；
D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；
故选：D．
二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
2．【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即-b2a=1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③因为b＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得
4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，
所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④2个．
故选：B．
3．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为：x=-b2a，
∴-b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∵点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间，且都在抛物线上，
∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，
由二次函数图象可知，a＜0，
∴b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵点N（72，y2）关于对称轴x＝2的对称点为（12，y2），12＞-12，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故②正确；
∵b=-4aa-b+c=02＜c＜3，
解得：-35＜a＜-25，
故③正确；
∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2，
∴点A与点B关于直线x＝2对称，点D在直线x＝2上，
∴AB＝6，DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，
如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于12AB＝3，即D（2，3），
则a-b+c=0b=-4a3=4a+2b+c，
解得：a=-13b=43c=53，
∴二次函数解析式为：y=-13x2+43x+53，
当x＝0时，y=53，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾，
∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；
∴正确的有2个，
故选：B．
4．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
-b2a＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4ac-b24a≤-3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴4a⋅(-8a)-(-2a)24a≤-3，
解得：a≥13，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；
故选：A．
5．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即-b2a=1，
∴2a+b＝0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴-b2a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（-b2a，4ac-b24a）
由图象可知：4ac-b24a＜-2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：-b2a＞1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
7．【解答】解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选：D．
三．抛物线与x轴的交点（共4小题）
8．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+5，x2＝1-5，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
9．【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
10．【解答】解：当y＝0时，-14x2+12x+2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y=-14x2+12x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，-14x2+12x+2＝2，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
-2k+b=02k+b=2，解得：k=12b=1，
∴直线AD的解析式为y=12x+1．
当x＝0时，y=12x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，-14x2+12x+2＝1，
解得：x1＝1-5，x2＝1+5，
∴点P的坐标为（1-5，1），点Q的坐标为（1+5，1），
∴PQ＝1+5-（1-5）＝25．
故选：B．
11．【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤54，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
四．二次函数的应用（共17小题）
12．【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
100k+b=100300k+b=80，
解得：k=-110b=110，
∴y与x的函数关系式为：y=-110x+110，
故答案为：y=-110x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（-110x+110﹣71）x=-110x2+39x=-110（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：-110（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
13．【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得40k+b=8060k+b=60，解得：k=-1b=120，
所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
故答案为：y＝﹣x+120；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
14．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（25，110）、（30，100）代入，得：25k+b=11030k+b=100，
解得：k=-2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，
即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，
解得：x＝30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）设超市日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+160），
＝﹣2x2+200x﹣3200，
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
15．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
12k+b=50014k+b=400，得k=-50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
16．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由表可知：当x＝15时，y＝150，当x＝16时，y＝140，
则150=15k+b140=16k+b，解得：k=-10b=300，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣10x+300；
（2）由题意可得：
w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+410x﹣3300；
（3）∵对称轴x=410-2×(-10)=20.5，a＝﹣10＜0，x是整数，
∴x＝20或21时，w有最大值，
当x＝20或21时，代入，可得：w＝900，
∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．
17．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=-20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
18．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×20-x0.5，
∴y＝﹣40x+880（x＞16）；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
19．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×60-x10
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
20．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入y1得，3k+b=124k+b=14，
解得：k=2b=6，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a=14，
∴y2=14（x﹣3）2+9=14x2-32x+454；
（3）由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6-14x2+32x-454=-14x2+72x-214，
∵-14＜0，
∴w有最大值，
∴当x=-b2a=-722×(-14)=7时，w最大=-14×72+72×7-214=7．
所以7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元．
21．【解答】解：（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为：p＝kt+b，
将（1，49.5），（2，49）代入得，k+b=49.52k+b=49，
解得：k=-12b=50，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为：p=-12t+50；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，w＝（2t+100）（50﹣0.5t）﹣6（2t+100）
＝﹣t2+38t+4400＝﹣（t﹣19）2+4761，
∵a＝﹣1＜0
∴w有最大值，
当t＝19时，w最大，此时，w最大＝4761，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．
22．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，
故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；
（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，解得：x1＝10，x2＝24（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大，
当x＝12时，w最大＝960，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
23．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，35k+b=35040k+b=300，
解得：k=-10b=700，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；
（2）设利润为w元，
∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
24．【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得14k+b=64030k+b=320，
解得k=-20b=920，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
综上所述，y=640(10＜x≤14)-20x+920(14＜x≤30)；
（2）（14﹣10）×640＝2560，
∵2560＜3100，
∴x＞14，
∴（x﹣10）（﹣20x+920）＝3100，
解得：x1＝41（不合题意舍去），x2＝15，
答：销售单价x应定为15元；
（3）当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
25．【解答】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得40k+b=14060k+b=120，，
解得：k=-1b=180，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得90m+n=3060m+n=120，
解得：m=-3，n=300，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y=-x+180(40≤x≤60)-3x+300(60＜x≤90)；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W=-x2+210x-5400(40≤x≤60)-3x2+390x-9000(60＜x≤90)；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x=-210-2=105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x=-390-6=65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675元．
26．【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
160=50k+b100=80k+b
解得k=-2b=260
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
27．【解答】解：（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x （60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
（3）设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
28．【解答】解：
（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100
∴140=30k+b100=50k+b，解得k=-2b=200
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．
（2）设该公司日获利为W元，由题意得
W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵a＝﹣2＜0；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴x＝65；
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大；
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值；
W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
五．二次函数综合题（共22小题）
29．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得9-3b+c=01+b+c=0，
解得b=2c=-3，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得b'=-3-3k+b'=0，
解得k=-1b'=-3，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+32）2+94，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜-32＜0，
∴当m=-32时，MN有最大值94．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC=-2m，
∴﹣m2﹣3m=-2m，
解得m＝﹣3+2或0（舍弃）
∴MN＝32-2，
∴CQ＝MN＝32-2，
∴OQ＝32+1，
∴Q（0，﹣32-1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m=-2m，
解得m＝﹣3-2或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝32+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝32-1，
∴Q（0，32-1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣32-1）或（0，﹣1）或（0，32-1）．
30．【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴B（4，0），A（0，﹣4），
把B（4，0），C（0，4）代入y=-12x2+bx+c得到c=4-8+4b+c=0，
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4．
（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，
由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，-12t2+t+4），
∴DM=-12t2+8，
在Rt△MEF中，tan∠EMF=EFFM=4FM=43，
∴MF＝3，
∵DF＝EF＝4，
∴DM＝7，
∴-12t2+8＝7，
∴t=2或-2（舍弃）．
当点F在点M上方时，可得DM＝1，即-12t2+8＝1，
∴t=14或-14（舍弃），
综上所述，t的值为2或14．
（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，-12t2+t+4），N（12t，-18t2+12t+4），T（12t，-14t2+12t+2），F（t，t）
∵NT∥FM，
∴∠PNT＝∠PFM，
∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，
∴△NPT≌△FPM（ASA），
∴NT＝MF，
∴-18t2+12t+4﹣（-14t2+12t+2）=-12t2+t+4﹣t，
解得t=455或-455（舍弃），
∴t的值为455．
31．【解答】解：（1）∵抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y=-13（x+3）（x﹣4）=-13x2+13x+4；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），
∴设BC的解析式为：y＝kx+n，
则4k+n=0n=4，解得k=-1n=4，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4=34x+94，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m，34m+94），F（m，-13m2+13m+4），
∵S△EFG=59S△OEG，
∴12FG×(xE-xF)=59×12ON（xE﹣xG），
[（-13m2+13m+4）﹣（34m+94）]（1﹣m）=59×94(1-m)，
解得：m1=34，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，-13m2+13m+4），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（-13m2+13m+4）=13m2-43m，
∵EF＝FH，
∴13m2-43m=1-m，
解得：m1=1+132（舍），m2=1-132，
∴H（1-132，7+132），
∴P（1，7+132），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得-13m2+43m=m﹣1，
解得：m1=1+132，m2=1-132（舍），
同理得P（1，7-132）；
综上，点P的坐标为：(1，7+132)或(1，7-132)．
32．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴-b2×(-12)=-1，
∴b＝﹣1，
将（0，4）代入y=-12x2-x+c中，
∴c＝4，
∴y=-12x2-x+4．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于点E．
∵∠ABP＝∠BCO，∠PEB＝∠BOC＝90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴PEBE=OBOC=12（此处也可以由等角的正切值相等得到），
设P(m，-12m2-m+4)，则PE＝|-12m2﹣m+4|，BE＝2﹣m，
①当点P在x轴上方时：-12m2-m+42-m=12，
解得m1＝﹣3，m2＝2（不符题意，舍），
②当点P在x轴下方时：12m2+m-42-m=12，
解得m1＝﹣5，m2＝2（不符题意，舍），
∴P(-3，52)或P(-5，-72)．
（3）作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N．
∵y=-12x2-x+4=-12（x+4）（x﹣2），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设yBP＝kx+b1，
将P(-3，52)，(2，0)代入得解得k=-12，b1=1，
∴yBP=-12x+1，
设M(a，-12a2-a+4)，则R(a，-12a+1)，
∴MR=(-12a2-a+4)-(-12a+1)=-12a2-12a+3，
∵∠MNR＝∠RFB＝90°，∠NRM＝∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴NRMN=RFFB，
∵tan∠ABP=12=RFFB=NRMN，
在Rt△MNR中NR：MN：MR＝1：2：5，
∴MNMR=25=255，
∴MN=-55a2-55a+655=-55(a+12)2+554，
当a=-12时，MN最大为554．
（4）作Q点关于AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2，连接Q1Q2与AC于G1，与CB交于点H1，连接QQ1交AC于J，连接QQ2交CB于K，此时△QG1H1的周长最小，这个最小值＝Q1Q2．
∵QJ＝JQ1，QK＝KQ2，
∴Q1Q2＝2JK，
∴当JK最小时，Q1Q2最小，如图2中：
∵∠CJQ＝∠CKQ＝90°，
∴C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦，
∵∠JCK是定值，
∴直径CQ最小时，弦JK最小，
∴当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图3中：
∵在Rt△COA中，∠COA＝90°，CO＝4，AO＝4，
∴AC=AO2+CO2=42+42=42，
∵Rt△COB，∠COB＝90°，CB=CO2+BO2=42+22=25，
∵OJ⊥AC，OK⊥CB，
∴12CB⋅OK=12OC•OB，
∴OK=455，
∴CK=CO2-OK2=42-(455)=855，
∵∠JCO＝∠OCA，∠CJO＝∠COA，
∴△CJO∽△COA，
∴CJCO=COCA，
∴CO2＝CJ•CA，同理可得：CO2＝CK•CB，
∴CJ•CA＝CK•CB，
∴CJCB=CKCA，
∵∠JCK＝∠BCA，
∴△CJK∽△CBA，
∴JKBA=CKCA，
∴JK6=85542，
∴JK=6105，
∴△QGH周长的最小值＝Q1Q2＝2JK=6105×2=12105．
33．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），
则-4=4a-2b+20=4a+2b+2，解得：a=-1b=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝﹣x2+x+2中，
令y＝0，解得：x＝2或﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE=22+12=5=BD，
在△BDE中，12×BE×OD=12×BD×EF，
即2×2=5×EF，解得：EF=455，
∴DF=DE2-EF2=355，
∴tan∠BDE=EFDF=455÷355=43，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE=5，BE＝2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，﹣c2+c+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c+1，PG＝﹣c2+c+2，
∴tan∠PBC=PGBG=-c2+c+2c+1=43，
解得：c=23，
∴﹣c2+c+2=209，
∴点P的坐标为（23，209）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2﹣c﹣2，BG＝c+1，
tan∠PBC=PGBG=c2-c-2c+1=43，
解得：c=103，
∴-c2+c+2=-529，
∴点P的坐标为（103，-529），
综上：点P的坐标为（23，209）或（103，-529）；
（3）设EF与AD交于点N，
∵A（﹣2，﹣4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx+n，
则-4=-2m+n2=n，解得：m=3n=2，
∴直线AD表达式为y＝3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（﹣2，﹣4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m1x+n1，
则-4=-2m1+n10=2m1+n1，解得：m1=1n1=-2，
∴直线AC表达式为y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点E坐标为（0，﹣2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME＝S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE=14S△AMC=12S△AME=12S△FME，
即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，
∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE=12AC=12×42+42=22，
∵M（s，3s+2），
∴(s-2)2+(3s+2)2=22，
解得：s=-45或0（舍），
∴M（-45，-25），
∴AM=(-45+2)2+(-25+4)2=6105，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE=22，
综上：AM的长度为6105或22．
34．【解答】解：（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F1：y=3x，
可得：F2：y=-3x，
∵x＝t，可得：P（t，3t），Q（t，-3t），
∴PQ=3t--3t=6t=6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t=bb，分别代入F1，F2，
可得：P（bb，ab+b+c），Q（bb，ab-b+c），
∴PQ＝|ab+b+c-(ab-b+c)|=2b，
∴S△OPQ=12×2b×bb=1；
②∵函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图象关于y轴对称，
∴函数F1的图象经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图象的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a=-c5，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图象在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图象y随x的增大而增大，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a=-c5，
∴h=85c2+85c；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为4a×(-5a)-(-4a)24a=-9a，F2的图象y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a=-c5，
∴h=15c3+65c2+95c，
当c＞2时，
F1的图象y随x的增大而减小，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2+4ac﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]，
又∵a=-c5，
∴h＝2c2+c；
综上：h关于x的解析式为：h=85c2+85c(0＜c＜1)15c3+65c2+95c(1≤c≤2)2c2+c(c＞2)．
35．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+94x+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴a-94+c=0c=3，解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴DHCO=CHBO，
设点D的横坐标为t，则D(t，-34t2+94t+3)，
∵C（0，3），
∴DH=-34t2+94t，
∵点B是y=-34x2+94x+3与x轴的交点，
∴-34x2+94x+3=0，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴-34t2+94t3=t4，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴点D的纵坐标为：-34t2+94t+3=92，
则点D坐标为(2，92)；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则4k+b=0b=3，解得：k=-34b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-34x+3，
设N（m，-34m+3），
分两种情况：
①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，
∵D（2，92），F（0，72），
∴M（m+2，-34m+4），
代入抛物线的解析式得：-34(m+2)2+94(m+2)+3=-34m+4，
解得：m=±63，
∴N（63，3-64）或（-63，3+64）；
②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，
同理得：M（m﹣2，-34m+2），
代入抛物线的解析式得：-34(m-2)2+94(m-2)+3=-34m+2，
解得：m＝4±663，
∴N（4+663，-664）或（4-663，664）；
综上，点N的坐标分别为：（63，3-64）或（-63，3+64）或（4+663，-664）或（4-663，664）．
36．【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴18+6b+c=0c=-3，
解得：b=-52c=-3，
∴抛物线解析式为：y=12x2-52x-3；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH=12OD=32，DH=3OH=332，
∴BH＝OB﹣OH=92，
∵tan∠HBD=HDHB=33292=33，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2=12×OB×DH=12×6×332=932，且S1=23S2，
∴S1=23×932=33，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1=34MN2＝33，
∴MN＝23，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR=3，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR=3MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，-3）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
由题意BE＝BF＝6，FK∥OB，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH=3a，
在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（23+a）2+（3a）2，
解得a=3或﹣23（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝23，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时E与K重合，BG⊥KF，
∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，﹣23）．
37．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y=-12x2+bx+c，
得到c=4-2-2b+c=0，
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4．
（2）令y＝0，则有-12x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y=-12x+m，得到m＝2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2，
由y=-12x2+x+4y=-12x+2，解得x=4y=0或x=-1y=52，
∴D（﹣1，52）．
（3）设P（a，-12a2+a+4），
则N（a，52），F（a，-12a+2），
∴PN=-12a2+a+4-52=-12a2+a+32，NF=52-（-12a+2）=12a+12，
∵N是线段PF的三等分点，
∴PN＝2NF或NF＝2PN，
∴-12a2+a+32=a+1或12a+12=-a2+2a+3，
解得a＝±1或﹣1或52，
∵a＞﹣1，
∴a＝1或52，
∴P（1，92）或（52，278）．
（4）如图2中，
∵A（﹣2，0），D（﹣1，52），
∴直线AD的解析式为y=52x+5，
∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，
∴QQ′∥AD，
∵Q（-45，0），
∴直线QQ′的解析式为y=52x+2，设直线QQ′交抛物线于E，
由y=-12x2+x+4y=52x+2，解得x=1y=92或x=-4y=-8，
∴E（1，92），
当点A′与D重合时，直线GM的解析式为y=-25x+1320，可得M（138，0），此时t=2940，
当点Q′与E重合时，直线GM经过点（110，94），
∵GM⊥AD，
∴GM的解析式为y=-25x+229100，
令y＝0，可得x=22940，
∴M（22940，0），此时t=22940+25=309200，
观察图象可知，满足条件的t的值为2940≤t≤309200．
38．【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=310；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×310=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1③，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m-43）2+（139-n）2⑤，
联立④⑤并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
39．【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣23x+c中，
得到c=036a-123+c=0，
解得a=33c=0，
∴抛物线的解析式为y=33x2﹣23x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y=33x2﹣23x=33（x﹣3）2﹣33，
∴顶点B（3，﹣33），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝33，
∴tan∠MOB=BMOM=3，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan30°=3，
∴N（3，-3），
∴直线ON的解析式为y=-33x，
由y=-33xy=33x2-23x，解得x=0y=0或x=5y=-533，
∴D（5，-533）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（32，-332），E（3，-3），利用平移的性质可得H（32，32）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°
∴EF＝BF，可得F（2，﹣23），利用平移的性质可得H（72，-332）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，-3），G（32，-32），利用平移的性质，可得H（52，-332）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（32，32）或（52，-332）或（72，-332）．
40．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即c＝﹣3a，
则点C（0，﹣3a）；
（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，
∵∠PCD+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，
∴∠QDB＝∠DCP，
设：D（1，n），点C（0，﹣3a），
∠CPD＝∠BQD＝90°，
∴△CPD∽△DQB，
∴CPDQ=PDBQ=CDBD，
其中：CP＝n+3a，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3a，BD＝3，
将以上数值代入比例式并解得：a＝±55，
∵a＜0，故a=-55，
故抛物线的表达式为：y=-55x2+255x+355；
（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，
过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，
设：OC＝m＝﹣3a，
S1＝S△OBD=12×OB×DM=32DM，
S2＝S△OAC=12×1×m，而S1S2=23，
则DM=2m9，HN=12DM=m9=19OC，
∴BN=19BO=13，则ON＝3-13=83，
则DO⊥BC，HN⊥OB，
则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，
则HN2＝ON×BN=89=（m9）2，
解得：m＝±62（舍去负值），
CO＝|﹣3a|＝62，
解得：a＝﹣22（不合题意值已舍去），
故：a＝﹣22．
当点C在x轴下方时，同理可得：a＝22（舍去）；
故a＝﹣22，
综上，a＝±22．
41．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a-b-3=09a+3b-3=0，
解得：a=1b=-2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，
∵MN平分∠OMD，
∴∠OMN＝∠DMN，
又∵DM∥ON，
∴∠DMN＝∠MNO，
∴∠MNO＝∠OMN，
∴OM＝ON=2．
在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．
∴HM=OM2-OH2=(2)2-1=1，
∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．
①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，
依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．
解得：x1=3+212，x2=3-212，
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，
∴Q点纵坐标y=x1=3+212．
∴Q1(3+212，3+212)，
②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，
同理可求：Q2(1+132，-1+132)，
综上所述：点Q的坐标为：Q1(3+212，3+212)，Q2(1+132，-1+132)，
（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4），
∴AC=(-1-0)2+(0+3)2=10，
AD=(-1-1)2+(0+4)2=25，
CD=(0-1)2+(-3+4)2=2，
∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，
∴E坐标为（1，﹣2）；
∴CE=(0-1)2+(-2+3)2=2，
设P点坐标为（x，y），
则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2，
则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，
∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况，
Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD（SSS）．
∴(x-0)2+(y+3)2=10(x-1)2+(y+2)2=20，
解得：x1=-3y1=-4，x2=-1y2=-6，
即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）．
Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ADC（SSS）．
∴(x-0)2+(y+3)2=20(x-1)2+(y+2)2=10，
解得：x3=2y3=1，x4=4y4=-1，
即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．
故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）．
42．【解答】解：（1）直线y=-12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
则c＝2，抛物线表达式为：y=-12x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b=32，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+32x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x=32，
点N的横坐标为：32+72=5，
故点N的坐标为（5，﹣3）；
（3）∵tan∠ACO=AOCO=24=12=tan∠FAC=12，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r=32，
即点R的坐标为：（32，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：2=n32m+n=0，
解得：m=-43n=2，
故直线AR的表达式为：y=-43x+2…②，
联立①②并解得：x=173，故点F（173，-509）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，-509）；
（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα=AOCO=12，则sinα=15，cosα=25；
①当0≤t≤355时（左侧图），
设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，
则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，
则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，
则DT=LTcosα=HH'cosα=t25=52t，DS=DTtanα，
S＝S△DST=12×DT×DS=54t2；
②当355＜t≤354时（右侧图），
同理可得：S＝S梯形DGS′T′=12×DG×（GS′+DT′）=12×3+（5t2+5t2-32）=352t-94；
③当354＜t≤5时，
同理可得：S=3510t+94；
综上，S=54t2(0≤t≤355)352t-94(355＜t＜354)3510t+94(354≤t≤5)．
43．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，
即：﹣12a＝6，解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，
令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），
函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；
（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，
设点N（n，2n+4），
∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4=-12（n+2）2+2（n+2）+6，
解得：n＝﹣2±23，
故点M的坐标为（23，43）或（﹣23，﹣43）；
②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），
则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，
当∠BMD为直角时，
由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，
解得：n=2±215；
当∠MBD为直角时，
同理可得：n＝﹣4，
当∠MDB为直角时，
同理可得：n=83，
故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（143，283）或（12+2215，24+4215）或（12-2215，24-4215）．
44．【解答】解：（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO=AOCO=14，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FBE=14或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则a4-a=14或a4-a=4，
解得：a=165或45；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝±2，
解得：a＝1或12或3+174或3-174（舍去），
故：点P的坐标为（1，4）或（2，4）或（3+172，4）．
45．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a=-23，
故抛物线的表达式为：y=-23x2-43x+2，
（2）连接OP，设点P（x，-23x2-43x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC=12×AO×yP+12×OC×|xP|-12×CO×OD
=12×3×（-23x2-43x+2）+12×2×（﹣x）-12×2×1=-x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x=-32时，S的最大值为174；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，-23x2-43x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1=-23x2-43x+2，解得：x=-7±734（舍去负值），
则点N1（-7+734，-3+734）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（-1-734，-3+734）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（-1+734，-3-734）、（-7-734，-3-734）．
综上，点N的坐标为：（-7+734，-3+734）或（-1-734，-3+734）或（-1+734，-3-734）或（-7-734，-3-734）．
46．【解答】解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：9a+3b+4=4a-b+4=0，
解得a=-1b=3，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，
∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，
∴PQDQ=12，
∵PE∥x轴，
∴△PQE∽△DQB，
∴PEDB=PQDQ=12，
∴PE4=12，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x﹣2）2+3（x﹣2）+4＝x+1，
解得x1＝3+2，x2＝3-2，
当x＝3+2时，x﹣2＝3+2-2＝1+2，x+1＝3+2+1＝4+2，
∴点P（1+2，4+2）；
当x＝3-2时，x﹣2＝3-2-2＝1-2，x+1＝3-2+1＝4-2，
∴P（1-2，4-2），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+2，4+2）或（1-2，4-2）；
（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4），
∵A（3，4），
∴AC∥x轴，
∴∠OCA＝90°，
∴GH⊥MN，
∴∠GHM＝90°，
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，
∴点C、G、H、M共圆，
如图2，连接CH，
则∠GCH＝∠GMH＝60°，
∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，
∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，
∵∠GCH＝60°，
∴∠HCM＝30°，
又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°，
设OP＝a，则CQ＝a，
∴QH=33a，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴BP＝1+a，
在Rt△BPH中，HP=BPtan30°=3（a+1），BH=BPsin30°=2（1+a），
∵QH+HP＝AD＝4，
∴33a+3（a+1）＝4，
解得a=43-34，
∴BH最小＝2（1+a）=43+12．
47．【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴-18-3b+c=0c=6，
解得b=-4c=6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
∵EF=12BF，
∴BFBE=BGBH=FGEH=23，
∵BH＝1﹣t，
∴BG=23BH=23-23t，
∴点F的横坐标为13+23t，
∴F（13+23t，203+43t），
∴﹣2t2﹣4t+6=32（203+43t），
∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，
∴BE=EH2+BH2=62+32=35，
∴sin∠EBA=EHBE=635=255；
同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA=EHBE=41717，
∴sin∠EBA的值为255或41717；
（3）∵点N在对称轴上，
∴xN=-3+12=-1，
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵E（﹣2，6），xN＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），
∴xM＝1+1＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，
∴M（2，﹣10）；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵xN＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），
∴xM＝﹣2﹣2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵B（1，0），E（﹣2，6），xN＝﹣1，
∴1+（﹣2）＝﹣1+xM，
∴xM＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴M（0，6）；
综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．
48．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴-16+4b+c=00+0+c=4 解得：b=3c=4
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB=2t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PEPB=22
∴BE＝PE=22PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵点M在抛物线上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝yM﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴MPNC=MQNQ=12
∴-t2+4t4-t=12
解得：t1=12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为12
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴-a+m=0a(4-t)+m=-t2+5t 解得：a=tm=t
∴直线AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4-tt+1
∴DG＝xD=4-tt+1
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD=2DG=2(4-t)t+1
∴4﹣t=2(4-t)t+1
解得：t=2-1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t=2-1．
49．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：-9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
点P（1，4﹣t），则点D（t+22，4﹣t），设点Q（t+22，4-t24），
S△ACQ=12×DQ×BC=-14t2+t，
∵-14＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在点P右方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，
解得：y＝m﹣3=17，
故点M（4，17）；
当点M在点P左方时，
同理可得：点M（﹣2，3+14）；
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，
解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，
故点M（2，2）；
综上，点M（4，17）或（﹣2，3+14）或M（2，2）．
50．【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：-3=4a-2b+29a+3b+2=2，解得：a=-12b=32，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+32x+2，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；
（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，
将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y=-14x+1，
设点P（x，-12x2+32x+2），则点H（x，-14x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB=12×4×1+12×PH×BO＝2+2（-12x2+32x+2+14x﹣1）＝7，
解得：x＝2或32，
故点P（2，3）或（32，258）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过点A'作直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，
∵MN＝22，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，
联立①③并解得：x=52，即点M（52，32），
点M沿ED向下平移22个单位得：N（12，-12）．
2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数
一．二次函数的图象（共1小题）
1．（2019•葫芦岛）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
2．（2020•葫芦岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：
①abc＞0；
②若点M（-12，y1），点N（72，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③-35＜a＜-25；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2019•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（ ）
A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝0 D．4ac＞b2
6．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
三．抛物线与x轴的交点（共4小题）
8．（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
9．（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（72，0） B．（3，0） C．（52，0） D．（2，0）
10．（2019•大连）如图，抛物线y=-14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（ ）
A．5 B．25 C．3 D．23
11．（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
四．二次函数的应用（共17小题）
12．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
13．（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
14．（2020•锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
15．（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
16．（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元）
…
15
16
17
18
…
每天销售量y（件）
…
150
140
130
120
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
17．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
18．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
19．（2019•丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
20．（2019•盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…
（1）求y1与x之间的函数关系式．
（2）求y2与x之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．（2019•营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为y＝2t+100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：
时间第t天
1
2
3
…
80
销售单价p/（元/kg）
49.5
49
48.5
…
10
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
23．（2019•抚顺）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
24．（2019•朝阳）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（2019•鞍山）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
26．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
27．（2019•锦州）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
28．（2019•辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
五．二次函数综合题（共22小题）
29．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-12x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF=43时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的12，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
31．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2020•朝阳）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
33．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的14时，请直接写出线段AM的长．
34．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
35．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+94x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，72），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
36．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝23时，请直接写出点G的坐标为 ．
37．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=-12x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（-45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
38．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
39．（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
40．（2019•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．
（1）用含a的代数式表示点C的坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值．
41．（2019•抚顺）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．
42．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=-12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．
43．（2019•铁岭）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
44．（2019•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
45．（2019•阜新）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．
47．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2019•葫芦岛）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
49．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝22，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数
参考答案与试题解析
一．二次函数的图象（共1小题）
1．【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，-b2a＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；
D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；
故选：D．
二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
2．【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即-b2a=1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③因为b＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得
4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，
所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④2个．
故选：B．
3．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为：x=-b2a，
∴-b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∵点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间，且都在抛物线上，
∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，
由二次函数图象可知，a＜0，
∴b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵点N（72，y2）关于对称轴x＝2的对称点为（12，y2），12＞-12，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故②正确；
∵b=-4aa-b+c=02＜c＜3，
解得：-35＜a＜-25，
故③正确；
∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2，
∴点A与点B关于直线x＝2对称，点D在直线x＝2上，
∴AB＝6，DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，
如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于12AB＝3，即D（2，3），
则a-b+c=0b=-4a3=4a+2b+c，
解得：a=-13b=43c=53，
∴二次函数解析式为：y=-13x2+43x+53，
当x＝0时，y=53，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾，
∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；
∴正确的有2个，
故选：B．
4．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
-b2a＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4ac-b24a≤-3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴4a⋅(-8a)-(-2a)24a≤-3，
解得：a≥13，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；
故选：A．
5．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即-b2a=1，
∴2a+b＝0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴-b2a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（-b2a，4ac-b24a）
由图象可知：4ac-b24a＜-2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：-b2a＞1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
7．【解答】解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选：D．
三．抛物线与x轴的交点（共4小题）
8．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+5，x2＝1-5，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
9．【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
10．【解答】解：当y＝0时，-14x2+12x+2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y=-14x2+12x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，-14x2+12x+2＝2，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
-2k+b=02k+b=2，解得：k=12b=1，
∴直线AD的解析式为y=12x+1．
当x＝0时，y=12x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，-14x2+12x+2＝1，
解得：x1＝1-5，x2＝1+5，
∴点P的坐标为（1-5，1），点Q的坐标为（1+5，1），
∴PQ＝1+5-（1-5）＝25．
故选：B．
11．【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤54，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
四．二次函数的应用（共17小题）
12．【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
100k+b=100300k+b=80，
解得：k=-110b=110，
∴y与x的函数关系式为：y=-110x+110，
故答案为：y=-110x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（-110x+110﹣71）x=-110x2+39x=-110（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：-110（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
13．【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得40k+b=8060k+b=60，解得：k=-1b=120，
所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
故答案为：y＝﹣x+120；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
14．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（25，110）、（30，100）代入，得：25k+b=11030k+b=100，
解得：k=-2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，
即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，
解得：x＝30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）设超市日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+160），
＝﹣2x2+200x﹣3200，
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
15．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
12k+b=50014k+b=400，得k=-50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
16．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由表可知：当x＝15时，y＝150，当x＝16时，y＝140，
则150=15k+b140=16k+b，解得：k=-10b=300，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣10x+300；
（2）由题意可得：
w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+410x﹣3300；
（3）∵对称轴x=410-2×(-10)=20.5，a＝﹣10＜0，x是整数，
∴x＝20或21时，w有最大值，
当x＝20或21时，代入，可得：w＝900，
∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．
17．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=-20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
18．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×20-x0.5，
∴y＝﹣40x+880（x＞16）；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
19．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×60-x10
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
20．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入y1得，3k+b=124k+b=14，
解得：k=2b=6，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a=14，
∴y2=14（x﹣3）2+9=14x2-32x+454；
（3）由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6-14x2+32x-454=-14x2+72x-214，
∵-14＜0，
∴w有最大值，
∴当x=-b2a=-722×(-14)=7时，w最大=-14×72+72×7-214=7．
所以7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元．
21．【解答】解：（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为：p＝kt+b，
将（1，49.5），（2，49）代入得，k+b=49.52k+b=49，
解得：k=-12b=50，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为：p=-12t+50；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，w＝（2t+100）（50﹣0.5t）﹣6（2t+100）
＝﹣t2+38t+4400＝﹣（t﹣19）2+4761，
∵a＝﹣1＜0
∴w有最大值，
当t＝19时，w最大，此时，w最大＝4761，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．
22．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，
故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；
（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，解得：x1＝10，x2＝24（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大，
当x＝12时，w最大＝960，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
23．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，35k+b=35040k+b=300，
解得：k=-10b=700，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；
（2）设利润为w元，
∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
24．【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得14k+b=64030k+b=320，
解得k=-20b=920，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
综上所述，y=640(10＜x≤14)-20x+920(14＜x≤30)；
（2）（14﹣10）×640＝2560，
∵2560＜3100，
∴x＞14，
∴（x﹣10）（﹣20x+920）＝3100，
解得：x1＝41（不合题意舍去），x2＝15，
答：销售单价x应定为15元；
（3）当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
25．【解答】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得40k+b=14060k+b=120，，
解得：k=-1b=180，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得90m+n=3060m+n=120，
解得：m=-3，n=300，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y=-x+180(40≤x≤60)-3x+300(60＜x≤90)；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W=-x2+210x-5400(40≤x≤60)-3x2+390x-9000(60＜x≤90)；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x=-210-2=105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x=-390-6=65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675元．
26．【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
160=50k+b100=80k+b
解得k=-2b=260
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
27．【解答】解：（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x （60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
（3）设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
28．【解答】解：
（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100
∴140=30k+b100=50k+b，解得k=-2b=200
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．
（2）设该公司日获利为W元，由题意得
W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵a＝﹣2＜0；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴x＝65；
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大；
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值；
W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
五．二次函数综合题（共22小题）
29．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得9-3b+c=01+b+c=0，
解得b=2c=-3，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得b'=-3-3k+b'=0，
解得k=-1b'=-3，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+32）2+94，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜-32＜0，
∴当m=-32时，MN有最大值94．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC=-2m，
∴﹣m2﹣3m=-2m，
解得m＝﹣3+2或0（舍弃）
∴MN＝32-2，
∴CQ＝MN＝32-2，
∴OQ＝32+1，
∴Q（0，﹣32-1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m=-2m，
解得m＝﹣3-2或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝32+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝32-1，
∴Q（0，32-1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣32-1）或（0，﹣1）或（0，32-1）．
30．【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴B（4，0），A（0，﹣4），
把B（4，0），C（0，4）代入y=-12x2+bx+c得到c=4-8+4b+c=0，
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4．
（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，
由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，-12t2+t+4），
∴DM=-12t2+8，
在Rt△MEF中，tan∠EMF=EFFM=4FM=43，
∴MF＝3，
∵DF＝EF＝4，
∴DM＝7，
∴-12t2+8＝7，
∴t=2或-2（舍弃）．
当点F在点M上方时，可得DM＝1，即-12t2+8＝1，
∴t=14或-14（舍弃），
综上所述，t的值为2或14．
（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，-12t2+t+4），N（12t，-18t2+12t+4），T（12t，-14t2+12t+2），F（t，t）
∵NT∥FM，
∴∠PNT＝∠PFM，
∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，
∴△NPT≌△FPM（ASA），
∴NT＝MF，
∴-18t2+12t+4﹣（-14t2+12t+2）=-12t2+t+4﹣t，
解得t=455或-455（舍弃），
∴t的值为455．
31．【解答】解：（1）∵抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y=-13（x+3）（x﹣4）=-13x2+13x+4；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），
∴设BC的解析式为：y＝kx+n，
则4k+n=0n=4，解得k=-1n=4，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4=34x+94，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m，34m+94），F（m，-13m2+13m+4），
∵S△EFG=59S△OEG，
∴12FG×(xE-xF)=59×12ON（xE﹣xG），
[（-13m2+13m+4）﹣（34m+94）]（1﹣m）=59×94(1-m)，
解得：m1=34，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，-13m2+13m+4），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（-13m2+13m+4）=13m2-43m，
∵EF＝FH，
∴13m2-43m=1-m，
解得：m1=1+132（舍），m2=1-132，
∴H（1-132，7+132），
∴P（1，7+132），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得-13m2+43m=m﹣1，
解得：m1=1+132，m2=1-132（舍），
同理得P（1，7-132）；
综上，点P的坐标为：(1，7+132)或(1，7-132)．
32．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴-b2×(-12)=-1，
∴b＝﹣1，
将（0，4）代入y=-12x2-x+c中，
∴c＝4，
∴y=-12x2-x+4．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于点E．
∵∠ABP＝∠BCO，∠PEB＝∠BOC＝90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴PEBE=OBOC=12（此处也可以由等角的正切值相等得到），
设P(m，-12m2-m+4)，则PE＝|-12m2﹣m+4|，BE＝2﹣m，
①当点P在x轴上方时：-12m2-m+42-m=12，
解得m1＝﹣3，m2＝2（不符题意，舍），
②当点P在x轴下方时：12m2+m-42-m=12，
解得m1＝﹣5，m2＝2（不符题意，舍），
∴P(-3，52)或P(-5，-72)．
（3）作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N．
∵y=-12x2-x+4=-12（x+4）（x﹣2），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设yBP＝kx+b1，
将P(-3，52)，(2，0)代入得解得k=-12，b1=1，
∴yBP=-12x+1，
设M(a，-12a2-a+4)，则R(a，-12a+1)，
∴MR=(-12a2-a+4)-(-12a+1)=-12a2-12a+3，
∵∠MNR＝∠RFB＝90°，∠NRM＝∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴NRMN=RFFB，
∵tan∠ABP=12=RFFB=NRMN，
在Rt△MNR中NR：MN：MR＝1：2：5，
∴MNMR=25=255，
∴MN=-55a2-55a+655=-55(a+12)2+554，
当a=-12时，MN最大为554．
（4）作Q点关于AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2，连接Q1Q2与AC于G1，与CB交于点H1，连接QQ1交AC于J，连接QQ2交CB于K，此时△QG1H1的周长最小，这个最小值＝Q1Q2．
∵QJ＝JQ1，QK＝KQ2，
∴Q1Q2＝2JK，
∴当JK最小时，Q1Q2最小，如图2中：
∵∠CJQ＝∠CKQ＝90°，
∴C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦，
∵∠JCK是定值，
∴直径CQ最小时，弦JK最小，
∴当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图3中：
∵在Rt△COA中，∠COA＝90°，CO＝4，AO＝4，
∴AC=AO2+CO2=42+42=42，
∵Rt△COB，∠COB＝90°，CB=CO2+BO2=42+22=25，
∵OJ⊥AC，OK⊥CB，
∴12CB⋅OK=12OC•OB，
∴OK=455，
∴CK=CO2-OK2=42-(455)=855，
∵∠JCO＝∠OCA，∠CJO＝∠COA，
∴△CJO∽△COA，
∴CJCO=COCA，
∴CO2＝CJ•CA，同理可得：CO2＝CK•CB，
∴CJ•CA＝CK•CB，
∴CJCB=CKCA，
∵∠JCK＝∠BCA，
∴△CJK∽△CBA，
∴JKBA=CKCA，
∴JK6=85542，
∴JK=6105，
∴△QGH周长的最小值＝Q1Q2＝2JK=6105×2=12105．
33．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），
则-4=4a-2b+20=4a+2b+2，解得：a=-1b=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝﹣x2+x+2中，
令y＝0，解得：x＝2或﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE=22+12=5=BD，
在△BDE中，12×BE×OD=12×BD×EF，
即2×2=5×EF，解得：EF=455，
∴DF=DE2-EF2=355，
∴tan∠BDE=EFDF=455÷355=43，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE=5，BE＝2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，﹣c2+c+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c+1，PG＝﹣c2+c+2，
∴tan∠PBC=PGBG=-c2+c+2c+1=43，
解得：c=23，
∴﹣c2+c+2=209，
∴点P的坐标为（23，209）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2﹣c﹣2，BG＝c+1，
tan∠PBC=PGBG=c2-c-2c+1=43，
解得：c=103，
∴-c2+c+2=-529，
∴点P的坐标为（103，-529），
综上：点P的坐标为（23，209）或（103，-529）；
（3）设EF与AD交于点N，
∵A（﹣2，﹣4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx+n，
则-4=-2m+n2=n，解得：m=3n=2，
∴直线AD表达式为y＝3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（﹣2，﹣4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m1x+n1，
则-4=-2m1+n10=2m1+n1，解得：m1=1n1=-2，
∴直线AC表达式为y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点E坐标为（0，﹣2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME＝S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE=14S△AMC=12S△AME=12S△FME，
即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，
∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE=12AC=12×42+42=22，
∵M（s，3s+2），
∴(s-2)2+(3s+2)2=22，
解得：s=-45或0（舍），
∴M（-45，-25），
∴AM=(-45+2)2+(-25+4)2=6105，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE=22，
综上：AM的长度为6105或22．
34．【解答】解：（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F1：y=3x，
可得：F2：y=-3x，
∵x＝t，可得：P（t，3t），Q（t，-3t），
∴PQ=3t--3t=6t=6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t=bb，分别代入F1，F2，
可得：P（bb，ab+b+c），Q（bb，ab-b+c），
∴PQ＝|ab+b+c-(ab-b+c)|=2b，
∴S△OPQ=12×2b×bb=1；
②∵函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图象关于y轴对称，
∴函数F1的图象经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图象的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a=-c5，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图象在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图象y随x的增大而增大，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a=-c5，
∴h=85c2+85c；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为4a×(-5a)-(-4a)24a=-9a，F2的图象y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a=-c5，
∴h=15c3+65c2+95c，
当c＞2时，
F1的图象y随x的增大而减小，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2+4ac﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]，
又∵a=-c5，
∴h＝2c2+c；
综上：h关于x的解析式为：h=85c2+85c(0＜c＜1)15c3+65c2+95c(1≤c≤2)2c2+c(c＞2)．
35．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+94x+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴a-94+c=0c=3，解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴DHCO=CHBO，
设点D的横坐标为t，则D(t，-34t2+94t+3)，
∵C（0，3），
∴DH=-34t2+94t，
∵点B是y=-34x2+94x+3与x轴的交点，
∴-34x2+94x+3=0，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴-34t2+94t3=t4，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴点D的纵坐标为：-34t2+94t+3=92，
则点D坐标为(2，92)；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则4k+b=0b=3，解得：k=-34b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-34x+3，
设N（m，-34m+3），
分两种情况：
①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，
∵D（2，92），F（0，72），
∴M（m+2，-34m+4），
代入抛物线的解析式得：-34(m+2)2+94(m+2)+3=-34m+4，
解得：m=±63，
∴N（63，3-64）或（-63，3+64）；
②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，
同理得：M（m﹣2，-34m+2），
代入抛物线的解析式得：-34(m-2)2+94(m-2)+3=-34m+2，
解得：m＝4±663，
∴N（4+663，-664）或（4-663，664）；
综上，点N的坐标分别为：（63，3-64）或（-63，3+64）或（4+663，-664）或（4-663，664）．
36．【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴18+6b+c=0c=-3，
解得：b=-52c=-3，
∴抛物线解析式为：y=12x2-52x-3；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH=12OD=32，DH=3OH=332，
∴BH＝OB﹣OH=92，
∵tan∠HBD=HDHB=33292=33，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2=12×OB×DH=12×6×332=932，且S1=23S2，
∴S1=23×932=33，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1=34MN2＝33，
∴MN＝23，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR=3，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR=3MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，-3）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
由题意BE＝BF＝6，FK∥OB，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH=3a，
在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（23+a）2+（3a）2，
解得a=3或﹣23（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝23，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时E与K重合，BG⊥KF，
∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，﹣23）．
37．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y=-12x2+bx+c，
得到c=4-2-2b+c=0，
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4．
（2）令y＝0，则有-12x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y=-12x+m，得到m＝2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2，
由y=-12x2+x+4y=-12x+2，解得x=4y=0或x=-1y=52，
∴D（﹣1，52）．
（3）设P（a，-12a2+a+4），
则N（a，52），F（a，-12a+2），
∴PN=-12a2+a+4-52=-12a2+a+32，NF=52-（-12a+2）=12a+12，
∵N是线段PF的三等分点，
∴PN＝2NF或NF＝2PN，
∴-12a2+a+32=a+1或12a+12=-a2+2a+3，
解得a＝±1或﹣1或52，
∵a＞﹣1，
∴a＝1或52，
∴P（1，92）或（52，278）．
（4）如图2中，
∵A（﹣2，0），D（﹣1，52），
∴直线AD的解析式为y=52x+5，
∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，
∴QQ′∥AD，
∵Q（-45，0），
∴直线QQ′的解析式为y=52x+2，设直线QQ′交抛物线于E，
由y=-12x2+x+4y=52x+2，解得x=1y=92或x=-4y=-8，
∴E（1，92），
当点A′与D重合时，直线GM的解析式为y=-25x+1320，可得M（138，0），此时t=2940，
当点Q′与E重合时，直线GM经过点（110，94），
∵GM⊥AD，
∴GM的解析式为y=-25x+229100，
令y＝0，可得x=22940，
∴M（22940，0），此时t=22940+25=309200，
观察图象可知，满足条件的t的值为2940≤t≤309200．
38．【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=310；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×310=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1③，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m-43）2+（139-n）2⑤，
联立④⑤并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
39．【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣23x+c中，
得到c=036a-123+c=0，
解得a=33c=0，
∴抛物线的解析式为y=33x2﹣23x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y=33x2﹣23x=33（x﹣3）2﹣33，
∴顶点B（3，﹣33），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝33，
∴tan∠MOB=BMOM=3，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan30°=3，
∴N（3，-3），
∴直线ON的解析式为y=-33x，
由y=-33xy=33x2-23x，解得x=0y=0或x=5y=-533，
∴D（5，-533）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（32，-332），E（3，-3），利用平移的性质可得H（32，32）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°
∴EF＝BF，可得F（2，﹣23），利用平移的性质可得H（72，-332）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，-3），G（32，-32），利用平移的性质，可得H（52，-332）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（32，32）或（52，-332）或（72，-332）．
40．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即c＝﹣3a，
则点C（0，﹣3a）；
（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，
∵∠PCD+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，
∴∠QDB＝∠DCP，
设：D（1，n），点C（0，﹣3a），
∠CPD＝∠BQD＝90°，
∴△CPD∽△DQB，
∴CPDQ=PDBQ=CDBD，
其中：CP＝n+3a，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3a，BD＝3，
将以上数值代入比例式并解得：a＝±55，
∵a＜0，故a=-55，
故抛物线的表达式为：y=-55x2+255x+355；
（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，
过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，
设：OC＝m＝﹣3a，
S1＝S△OBD=12×OB×DM=32DM，
S2＝S△OAC=12×1×m，而S1S2=23，
则DM=2m9，HN=12DM=m9=19OC，
∴BN=19BO=13，则ON＝3-13=83，
则DO⊥BC，HN⊥OB，
则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，
则HN2＝ON×BN=89=（m9）2，
解得：m＝±62（舍去负值），
CO＝|﹣3a|＝62，
解得：a＝﹣22（不合题意值已舍去），
故：a＝﹣22．
当点C在x轴下方时，同理可得：a＝22（舍去）；
故a＝﹣22，
综上，a＝±22．
41．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a-b-3=09a+3b-3=0，
解得：a=1b=-2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，
∵MN平分∠OMD，
∴∠OMN＝∠DMN，
又∵DM∥ON，
∴∠DMN＝∠MNO，
∴∠MNO＝∠OMN，
∴OM＝ON=2．
在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．
∴HM=OM2-OH2=(2)2-1=1，
∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．
①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，
依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．
解得：x1=3+212，x2=3-212，
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，
∴Q点纵坐标y=x1=3+212．
∴Q1(3+212，3+212)，
②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，
同理可求：Q2(1+132，-1+132)，
综上所述：点Q的坐标为：Q1(3+212，3+212)，Q2(1+132，-1+132)，
（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4），
∴AC=(-1-0)2+(0+3)2=10，
AD=(-1-1)2+(0+4)2=25，
CD=(0-1)2+(-3+4)2=2，
∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，
∴E坐标为（1，﹣2）；
∴CE=(0-1)2+(-2+3)2=2，
设P点坐标为（x，y），
则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2，
则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，
∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况，
Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD（SSS）．
∴(x-0)2+(y+3)2=10(x-1)2+(y+2)2=20，
解得：x1=-3y1=-4，x2=-1y2=-6，
即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）．
Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ADC（SSS）．
∴(x-0)2+(y+3)2=20(x-1)2+(y+2)2=10，
解得：x3=2y3=1，x4=4y4=-1，
即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．
故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）．
42．【解答】解：（1）直线y=-12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
则c＝2，抛物线表达式为：y=-12x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b=32，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+32x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x=32，
点N的横坐标为：32+72=5，
故点N的坐标为（5，﹣3）；
（3）∵tan∠ACO=AOCO=24=12=tan∠FAC=12，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r=32，
即点R的坐标为：（32，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：2=n32m+n=0，
解得：m=-43n=2，
故直线AR的表达式为：y=-43x+2…②，
联立①②并解得：x=173，故点F（173，-509）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，-509）；
（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα=AOCO=12，则sinα=15，cosα=25；
①当0≤t≤355时（左侧图），
设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，
则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，
则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，
则DT=LTcosα=HH'cosα=t25=52t，DS=DTtanα，
S＝S△DST=12×DT×DS=54t2；
②当355＜t≤354时（右侧图），
同理可得：S＝S梯形DGS′T′=12×DG×（GS′+DT′）=12×3+（5t2+5t2-32）=352t-94；
③当354＜t≤5时，
同理可得：S=3510t+94；
综上，S=54t2(0≤t≤355)352t-94(355＜t＜354)3510t+94(354≤t≤5)．
43．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，
即：﹣12a＝6，解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，
令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），
函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；
（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，
设点N（n，2n+4），
∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4=-12（n+2）2+2（n+2）+6，
解得：n＝﹣2±23，
故点M的坐标为（23，43）或（﹣23，﹣43）；
②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），
则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，
当∠BMD为直角时，
由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，
解得：n=2±215；
当∠MBD为直角时，
同理可得：n＝﹣4，
当∠MDB为直角时，
同理可得：n=83，
故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（143，283）或（12+2215，24+4215）或（12-2215，24-4215）．
44．【解答】解：（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO=AOCO=14，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FBE=14或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则a4-a=14或a4-a=4，
解得：a=165或45；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝±2，
解得：a＝1或12或3+174或3-174（舍去），
故：点P的坐标为（1，4）或（2，4）或（3+172，4）．
45．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a=-23，
故抛物线的表达式为：y=-23x2-43x+2，
（2）连接OP，设点P（x，-23x2-43x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC=12×AO×yP+12×OC×|xP|-12×CO×OD
=12×3×（-23x2-43x+2）+12×2×（﹣x）-12×2×1=-x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x=-32时，S的最大值为174；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，-23x2-43x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1=-23x2-43x+2，解得：x=-7±734（舍去负值），
则点N1（-7+734，-3+734）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（-1-734，-3+734）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（-1+734，-3-734）、（-7-734，-3-734）．
综上，点N的坐标为：（-7+734，-3+734）或（-1-734，-3+734）或（-1+734，-3-734）或（-7-734，-3-734）．
46．【解答】解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：9a+3b+4=4a-b+4=0，
解得a=-1b=3，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，
∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，
∴PQDQ=12，
∵PE∥x轴，
∴△PQE∽△DQB，
∴PEDB=PQDQ=12，
∴PE4=12，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x﹣2）2+3（x﹣2）+4＝x+1，
解得x1＝3+2，x2＝3-2，
当x＝3+2时，x﹣2＝3+2-2＝1+2，x+1＝3+2+1＝4+2，
∴点P（1+2，4+2）；
当x＝3-2时，x﹣2＝3-2-2＝1-2，x+1＝3-2+1＝4-2，
∴P（1-2，4-2），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+2，4+2）或（1-2，4-2）；
（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4），
∵A（3，4），
∴AC∥x轴，
∴∠OCA＝90°，
∴GH⊥MN，
∴∠GHM＝90°，
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，
∴点C、G、H、M共圆，
如图2，连接CH，
则∠GCH＝∠GMH＝60°，
∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，
∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，
∵∠GCH＝60°，
∴∠HCM＝30°，
又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°，
设OP＝a，则CQ＝a，
∴QH=33a，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴BP＝1+a，
在Rt△BPH中，HP=BPtan30°=3（a+1），BH=BPsin30°=2（1+a），
∵QH+HP＝AD＝4，
∴33a+3（a+1）＝4，
解得a=43-34，
∴BH最小＝2（1+a）=43+12．
47．【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴-18-3b+c=0c=6，
解得b=-4c=6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
∵EF=12BF，
∴BFBE=BGBH=FGEH=23，
∵BH＝1﹣t，
∴BG=23BH=23-23t，
∴点F的横坐标为13+23t，
∴F（13+23t，203+43t），
∴﹣2t2﹣4t+6=32（203+43t），
∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，
∴BE=EH2+BH2=62+32=35，
∴sin∠EBA=EHBE=635=255；
同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA=EHBE=41717，
∴sin∠EBA的值为255或41717；
（3）∵点N在对称轴上，
∴xN=-3+12=-1，
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵E（﹣2，6），xN＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），
∴xM＝1+1＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，
∴M（2，﹣10）；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵xN＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），
∴xM＝﹣2﹣2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵B（1，0），E（﹣2，6），xN＝﹣1，
∴1+（﹣2）＝﹣1+xM，
∴xM＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴M（0，6）；
综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．
48．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴-16+4b+c=00+0+c=4 解得：b=3c=4
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB=2t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PEPB=22
∴BE＝PE=22PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵点M在抛物线上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝yM﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴MPNC=MQNQ=12
∴-t2+4t4-t=12
解得：t1=12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为12
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴-a+m=0a(4-t)+m=-t2+5t 解得：a=tm=t
∴直线AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4-tt+1
∴DG＝xD=4-tt+1
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD=2DG=2(4-t)t+1
∴4﹣t=2(4-t)t+1
解得：t=2-1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t=2-1．
49．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：-9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
点P（1，4﹣t），则点D（t+22，4﹣t），设点Q（t+22，4-t24），
S△ACQ=12×DQ×BC=-14t2+t，
∵-14＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在点P右方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，
解得：y＝m﹣3=17，
故点M（4，17）；
当点M在点P左方时，
同理可得：点M（﹣2，3+14）；
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，
解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，
故点M（2，2）；
综上，点M（4，17）或（﹣2，3+14）或M（2，2）．
50．【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：-3=4a-2b+29a+3b+2=2，解得：a=-12b=32，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+32x+2，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；
（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，
将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y=-14x+1，
设点P（x，-12x2+32x+2），则点H（x，-14x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB=12×4×1+12×PH×BO＝2+2（-12x2+32x+2+14x﹣1）＝7，
解得：x＝2或32，
故点P（2，3）或（32，258）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过点A'作直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，
∵MN＝22，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，
联立①③并解得：x=52，即点M（52，32），
点M沿ED向下平移22个单位得：N（12，-12）．
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