


- 中考试题分类(6)——坐标系与一次函数(含解析) 试卷 0 次下载
- 中考试题分类(7)——反比例函数 试卷 0 次下载
- 中考试题分类(9)——图形初步认识与三角形(含解析) 试卷 0 次下载
- 中考试题分类(10)——四边形(含解析) 试卷 0 次下载
- 中考试题分类(12)——图形的变换(含解析) 试卷 0 次下载
中考试题分类(8)——二次函数(含解析)
展开①abc>0,
②b﹣2a<0,
③a﹣b+c>0,
④a+b>n(an+b),(n≠1),
⑤2c<3b.
正确的是( )
A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤
2.“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:P=at2+bt+c(a≠0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟
3.对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2),关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),则下列关系式一定正确的是( )
A.0<x1x3<1B.x1x3>1C.0<x2x4<1D.x2x4>1
4.二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a﹣b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则( )
A.y1=﹣y2B.y1>y2
C.y1<y2D.y1、y2的大小无法确定
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①b2﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a﹣2b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中正确的是( )
①abc<0
②b2﹣4ac<0
③2a>b
④(a+c)2<b2
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.下列函数中,y总随x的增大而减小的是( )
A.y=4xB.y=﹣4xC.y=x﹣4D.y=x2
8.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<14D.c<1
二.填空题(共3小题)
9.某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是 元.
10.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2019的坐标为 .
若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a 0(填“=”或“>”或“<”).
三.解答题(共29小题)
12.如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标是(4,2),点P为一个动点,过点P作x轴的垂线PH,垂足为H,点P在运动过程中始终满足PF=PH.
【提示:平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则MN2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2】
(1)判断点P在运动过程中是否经过点C(0,5);
(2)设动点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数表达式;填写下表,并在给定坐标系中画出该函数的图象;
(3)点C关于x轴的对称点为C',点P在直线C'F的下方时,求线段PF长度的取值范围.
13.在平面直角坐标系xOy中,等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴上,且AB=4,抛物线经过A,B,C三点,如图1所示.
(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图2所示.
①求△CMN面积的最小值.
②已知Q(1,−32)是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线l对称,若存在,求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式;若不存在,请说明理由.
14.如图,抛物线经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当﹣3<m<0时,试确定m的值,使得△PAC的面积最大;
(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2﹣DC2=6,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
15.如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过B,C两点.
(1)求抛物线和直线BC的表达式;
(2)点P是抛物线上的一个动点.
①如图1,若点P在第一象限内,连接PA,交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1,△ADC的面积为S2,求S1S2的最大值;
②如图2,抛物线的对称轴l与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点,是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
16.已知直线y=kx﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的一个交点为A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.
(1)当直线y=kx﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的另一个交点为该抛物线的顶点E时,求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标;
(2)在(1)的条件下,设该抛物线与y轴的交点为C,若点Q在抛物线上,且点Q的横坐标为b,当S△EQM=12S△ACE时,求m的值
(3)点D在抛物线上,且点D的横坐标为b+12,当2AM+2DM的最小值为2724时,求b的值.
17.我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“H函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定,完成下列各题.
(1)在下列关于x的函数中,是“H函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H函数”的打“×”.
①y=2x( );
②y=mx(m≠0)( );
③y=3x﹣1( ).
(2)若点A(1,m)与点B(n,﹣4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”,且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧,求a,b,c的值或取值范围.
(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:①a+b+c=0,②(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
18.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线y=ax2−154x+c(a≠0)过B,C两点,动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值;
(4)过点D与x轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点Q,将线段BA沿过点B的直线翻折,点A的对称点为A',求A'Q+QN+DN的最小值.
19.如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x−25)2+6415与x轴交于点A(−65,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线F1的表达式;
(2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC.
①求点D的坐标;
②判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
20.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(记为抛物线Γ)与y轴交于点C,与x轴分别交于点A、B,点A、B的横坐标分别记为x1,x2,且0<x1<x2.
(1)若a=c,b=﹣3,且过点(1,﹣1),求该二次函数的表达式;
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=4.求证:当b<−52时,二次函数y1=ax2+(b+1)x+c的图象与x轴没有交点.
(3)若AB2=c2−2c+6c,点P的坐标为(−x0,﹣1),过点P作直线l垂直于y轴,且抛物线的Γ的顶点在直线l上,连接OP、AP、BP,PA的延长线与抛物线Γ交于点D,若∠OPB=∠DAB,求x0的最小值.
21.如图所示,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.
(1)求点C及顶点M的坐标.
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标.
(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由.
(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22.如图,抛物线y=ax2﹣6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣x+5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定△APC的形状,并说明理由;
(3)在直线BC上是否存在点M,使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
23.如图,抛物线y=﹣x2+bx+5与x轴交于A,B两点.
(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.
①求抛物线的解析式;
②对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
当b≥4,0≤x≤2时,函数值y的最大值满足3≤y≤15,求b的取值范围.
24.在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
25.如图,已知抛物线y=ax2过点A(﹣3,94).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线l过点A,M(32,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA•MB;
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.
26.如图一,抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1≥y2,求P点横坐标x1的取值范围;
(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求△FMN周长的最小值.
27.(湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?
(2)小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
28.如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
29.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.
30.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
31.如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为6105?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
32.如图,二次函数y=−13x2+bx+c的图象过原点,与x轴的另一个交点为(8,0)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m,交二次函数图象于A、B两点,过A、B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P、Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
33.在平面直角坐标系xOy中,顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求抛物线对应的二次函数表达式;
(2)探究:如图1,连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由;
(3)应用:如图2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n=﹣1,连接PA、PC,在线段PC上确定一点N,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标.
提示:若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22).
34.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设k=AFAD,当k为何值时,CF=12AD?
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
35.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.
36.如图1,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:y=13x2+73x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;
(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
37.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
(1)若a=1,b=﹣2,c=﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标;
②定义:对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0),满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”.
(2)设b=12c3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若PCPA=55a2+1,求二次函数的表达式.
38.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:△MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
39.如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.
①若S△PMN=2,求k的值;
②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;
③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.
40.如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E.
①如图1,求证:CE=DE;
②如图2,连接AC,BE,BO,当a=33,∠CAE=∠OBE时,求1OD−1OE的值.
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(8)——二次函数
一.选择题(共8小题)
1.(2020•湘西州)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,其图象如图所示,现有下列结论:
①abc>0,
②b﹣2a<0,
③a﹣b+c>0,
④a+b>n(an+b),(n≠1),
⑤2c<3b.
正确的是( )
A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤
【答案】D
【解答】解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故①错误;
②由于a<0,所以﹣2a>0.
又b>0,
所以b﹣2a>0,
故②错误;
③当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故③错误;
④当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=n时,y=an2+bn+c,
所以a+b+c>an2+bn+c,
故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b),故④正确;
⑤当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线x=−b2a=1,即a=−b2,代入得9(−b2)+3b+c<0,得2c<3b,故⑤正确;
故④⑤正确.
故选:D.
2.(2020•长沙)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:P=at2+bt+c(a≠0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟
【答案】C
【解答】解:将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系P=at2+bt+c中,
9a+3b+c=0.816a+4b+c=0.925a+5b+c=0.6,
解得a=−0.2b=1.5c=−1.9,
所以函数关系式为:P=﹣0.2t2+1.5t﹣1.9,
由题意可知:加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标:
t=−b2a=−1.52×(−0.2)=3.75,
则当t=3.75分钟时,可以得到最佳时间.
故选:C.
3.(2020•岳阳)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2),关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),则下列关系式一定正确的是( )
A.0<x1x3<1B.x1x3>1C.0<x2x4<1D.x2x4>1
【答案】A
【解答】解:由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),就是关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)与直线y=﹣2的交点的横坐标,
画出函数的图象草图如下:
∵抛物线的对称轴为直线x=−−102×(−1)=−5,
∴x3<x1<﹣5,
由图象可知:0<x1x3<1一定成立,
故选:A.
4.(2020•株洲)二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a﹣b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则( )
A.y1=﹣y2B.y1>y2
C.y1<y2D.y1、y2的大小无法确定
【答案】B
【解答】解:∵a﹣b2>0,b2≥0,
∴a>0.
又∵ab<0,
∴b<0,
∵x1<x2,x1+x2=0,
∴x2=﹣x1,x1<0.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数y=ax2+bx+c的图象上,
∴y1=ax12+bx1+c,y2=ax22+bx2+c=ax12−bx1+c.
∴y1﹣y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选:B.
5.(2020•常德)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①b2﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a﹣2b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
【答案】B
【解答】解:由图象知,抛物线与x轴有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,
∴b2﹣4ac>0,故①正确,
由图象知,抛物线的对称轴直线为x=2,
∴−b2a=2,
∴4a+b=0,
由图象知,抛物线开口方向向下,
∴a<0,
∵4a+b=0,
∴b>0,而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c>0,
∴abc<0,故②③正确,
由图象知,当x=﹣2时,y<0,
∴4a﹣2b+c<0,故④错误,
即正确的结论有3个,
故选:B.
6.(2019•娄底)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中正确的是( )
①abc<0
②b2﹣4ac<0
③2a>b
④(a+c)2<b2
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解答】解:由函数图象可知a<0,对称轴﹣1<x<0,图象与y轴的交点c>0,函数与x轴有两个不同的交点,
∴b﹣2a>0,b<0;
△=b2﹣4ac>0;
abc>0;
当x=1时,y<0,即a+b+c<0;
当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)<0,即(a+c)2<b2;
∴只有④是正确的;
故选:A.
7.(2019•益阳)下列函数中,y总随x的增大而减小的是( )
A.y=4xB.y=﹣4xC.y=x﹣4D.y=x2
【答案】B
【解答】解:y=4x中y随x的增大而增大,故选项A不符题意,
y=﹣4x中y随x的增大而减小,故选项B符合题意,
y=x﹣4中y随x的增大而增大,故选项C不符题意,
y=x2中,当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小,故选项D不符合题意,
故选:B.
8.(2019•岳阳)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<14D.c<1
【答案】B
【解答】解:由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等实数根,
且x1<1<x2,
整理,得:x2+x+c=0,
由x2+x+c=0有两个不相等的实数根,且x1<1<x2,知△>0,
令y=x2+x+c,画出该二次函数的草图如下:
则1−4c>01+1+c<0,
解得c<﹣2,
故选:B.
二.填空题(共3小题)
9.(2020•益阳)某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是 1800 元.
【答案】1800.
【解答】解:设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kx,
30k=60,得k=2,
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t,
当0<t≤20时,设单件的利润w与t之间的函数关系式为w=at,
20a=30,得a=1.5,
即当0<t≤20时,单件的利润w与t之间的函数关系式为w=1.5t,
当20<t≤30时,单件的利润w与t之间的函数关系式为w=30,
设日销售利润为W元,
当0<t≤20时,W=1.5t×2t=3t2,
故当t=20时,W取得最大值,此时W=1200,
当20<t≤30时,W=30×2t=60t,
故当t=30时,W取得最大值,此时W=1800,
综上所述,最大日销售利润为1800元,
故答案为:1800.
10.(2019•衡阳)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2019的坐标为 (﹣1010,10102) .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵A点坐标为(1,1),
∴直线OA为y=x,A1(﹣1,1),
∵A1A2∥OA,
∴直线A1A2为y=x+2,
解y=x+2y=x2得x=−1y=1或x=2y=4,
∴A2(2,4),
∴A3(﹣2,4),
∵A3A4∥OA,
∴直线A3A4为y=x+6,
解y=x+6y=x2得x=−2y=4或x=3y=9,
∴A4(3,9),
∴A5(﹣3,9)
…,
∴A2019(﹣1010,10102),
故答案为(﹣1010,10102).
11.(2019•株洲)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a < 0(填“=”或“>”或“<”).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,
∴a<0.
故答案是:<.
三.解答题(共29小题)
12.(2020•益阳)如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标是(4,2),点P为一个动点,过点P作x轴的垂线PH,垂足为H,点P在运动过程中始终满足PF=PH.
【提示:平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则MN2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2】
(1)判断点P在运动过程中是否经过点C(0,5);
(2)设动点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数表达式;填写下表,并在给定坐标系中画出该函数的图象;
(3)点C关于x轴的对称点为C',点P在直线C'F的下方时,求线段PF长度的取值范围.
【答案】(1)点P在运动过程中经过点C(0,5).
(2)y=14x2﹣2x+5,5,3,2,1,2,5.
(3)1≤PF<65+7658.
【解答】解:(1)当P与C(0,5)重合,
∴PH=5,PF=(5−2)2+42=5,
∴PH=PF,
∴点P运动过程中经过点C.
(2)由题意:y2=(x﹣4)2+(y﹣2)2,
整理得,y=14x2﹣2x+5,
∴函数解析式为y=14x2﹣2x+5,
当x=0时,y=5,
当x=2时,y=2,
当x=4时,y=1,
当x=6时,y=2,
当x=8时,y=5,
函数图象如图所示:
故答案为5,2,1,2,5.
(3)由题意C′(0,﹣5),F(4,2),
∴直线FC′的解析式为y=74x﹣5,设抛物线交直线FC′于G,K.
由y=74x−5y=14x2−2x+5,解得x=15+652y=65+7658或x=15−652y=65−7658,
∴G(15−652,65−7658),K(15+652,65+7658),
观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF<65+7658.
13.(2020•永州)在平面直角坐标系xOy中,等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴上,且AB=4,抛物线经过A,B,C三点,如图1所示.
(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图2所示.
①求△CMN面积的最小值.
②已知Q(1,−32)是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线l对称,若存在,求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=12x2−2;
(2)①∴△CMN面积的最小值为4;
②点P(3,−12),直线l的解析式为y=(1−3)x或点P(−3,−12),直线l的解析式为y=(1+3)x.
【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
在等腰Rt△ABC中,OC垂直平分AB,且AB=4,
∴OA=OB=OC=2,
∴A(﹣2,0),B(2,0),C(0,﹣2),
∴4a+2b+c=04a−2b+c=0c=−2,
解得,a=12b=0c=−2,
∴抛物线的解析式为y=12x2−2;
(2)①设直线l的解析式为y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2),
由y=12x2−2y=kx,可得12x2−kx−2=0,
∴x1+x2=2k,x1•x2=﹣4,
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4k2+16,
∴|x1−x2|=2k2+4,
∴S△CMN=12OC⋅|x1−x2|=2k2+4,
∴当k=0时2k2+4取最小值为4.
∴△CMN面积的最小值为4.
②假设抛物线上存在点P(m,12m2−2),使得点P与点Q关于直线l对称,
∴OP=OQ,即12+(32)2=m2+(12m2−2)2,
解得,m1=3,m2=−3,m3=1,m4=﹣1,
∵m3=1,m4=﹣1不合题意,舍去,
当m1=3时,点P(3,−12),
线段PQ的中点为(1+32,−1),
∴1+32k=−1,
∴k=1−3,
∴直线l的表达式为:y=(1−3)x,
当m2=−3时,点P(−3,−12),
线段PQ的中点为(1−32,﹣1),
∴1−32k=−1,
∴k=1+3,
∴直线l的解析式为y=(1+3)x.
综上,点P(3,−12),直线l的解析式为y=(1−3)x或点P(−3,−12),直线l的解析式为y=(1+3)x.
14.(2020•娄底)如图,抛物线经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当﹣3<m<0时,试确定m的值,使得△PAC的面积最大;
(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2﹣DC2=6,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)由题意可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,3)代入,可得a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(﹣3,0),C(0,3)代入得到0=−3k+b3=b,
解得k=1b=3,
∴直线AC的解析式为y=x+3.
当﹣3<m<0时,点P(m,n)在直线AC的上方,过点P作x轴的垂线交AC于Q.则P(m,﹣m2﹣2m+3),Q(m,m+3),
∴PQ=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)
=﹣m2﹣3m,
=﹣(m+32)2+94,
∵﹣3<m<0,
∴当m=−32时,PQ的值最大,
此时S△PAC=12•PQ•AO=32PQ最大,
∴m=−32.
(3)由A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),可得AB=4,OB=1,OC=3,
∵BC2=10,∠CAO=45°,
∴BA2﹣BC2=6,
连接BC,过点B作AC的垂线交抛物线于D,交AC于H,连接AD.
则∠AHB=90°,∠DBA=∠CAO=45°,
∴DA2﹣DC2=HA2﹣HC2=AB2﹣BC2=6,
∵∠CAO=∠DBA,
∴点H在AB的垂直平分线上,
即点H在抛物线的对称轴x=﹣1上,
∴点D与点C关于抛物线的对称轴x=﹣1对称,
∵C(0,3),
∴点D的坐标为(﹣2,3).
15.(2020•郴州)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过B,C两点.
(1)求抛物线和直线BC的表达式;
(2)点P是抛物线上的一个动点.
①如图1,若点P在第一象限内,连接PA,交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1,△ADC的面积为S2,求S1S2的最大值;
②如图2,抛物线的对称轴l与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点,是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,y=﹣x+3.
(2)①最大值为916.
②点P的坐标为(2,3),点Q的坐标为(1,2)或(1,﹣2),P(0,3)时,Q(1,4).
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:a−b+3=09a+3b+3=0,
解得a=−1b=2
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,
∴点C坐标为(0,3),
把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得:3k+n=0n=3,
解得k=−1n=3
∴直线BC的表达式为y=﹣x+3.
(2)①∵PA交直线BC于点D,
∴设点D的坐标为(m,﹣m+3),
设直线AD的表达式为y=k1x+b1,
∴−k1+b1=0mk1+b1=−m+3,
解得,k1=−m+3m+1b1=−m+3m+1
∴直线AD的表达式,y=−m+3m+1x+−m+3m+1,
∴−m+3m+1x+−m+3m+1=−x2+2x+3,
整理得,(x−4mm+1)(x+1)=0
解得x=4mm+1或﹣1(不合题意,舍去),
∴点D的横坐标为m,点P的横坐标为4mm+1,
分别过点D、P作x轴的垂线,垂足分别为M、N,如图1中:
∴DM∥PN,OM=m,ON=4mm+1,OA=1,
∴S1S2=S△PDCS△ADC=PDDA=MNAM=4mm+1−mm+1=−m2+3m(m+1)2,
设S1S2=t,则t=−m2+3m(m+1)2
整理得,(t+1)m2+(2t﹣3)m+t=0,
∵△≥0,
∴(2t﹣3)2﹣4t(t+1)≥0,
解得t≤916
∴S1S2有最大值,最大值为916.
②存在,理由如下:过点F作FG⊥OB于G,如图2中,
∵y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1,
∴OE=1,
∵B(3,0),C(0,3)
∴OC=OB=3,
又∵∠COB=90°,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∵∠EFB=90°,BE=OB﹣OE=2,
∴△EFB是等腰直角三角形,
∴FG=GB=EG=1,
∴点F的坐标为(2,1),
当EF为边时,
∵四边形EFPQ为平行四边形,
∴QE=PF,QE∥PF∥y轴,
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2,
当x=2时,y=﹣22+2×2+3=3,
∴点P的坐标为(2,3),
∴QE=PF=3﹣1=2,
点Q的坐标为(1,2),
根据对称性当P(0,3)时,Q(1,4)时,四边形EFQP也是平行四边形.
当EF为对角线时,如图3中,
∵四边形PEQF为平行四边形,
∴QE=PF,QE∥PF∥y轴,
同理求得:点P的坐标为(2,3),
∴QE=PF=3﹣1=2,
点Q的坐标为(1,﹣2);
综上,点P的坐标为(2,3)时,点Q的坐标为(1,2)或(1,﹣2),P(0,3)时,Q(1,4).
16.(2020•湘西州)已知直线y=kx﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的一个交点为A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.
(1)当直线y=kx﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的另一个交点为该抛物线的顶点E时,求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标;
(2)在(1)的条件下,设该抛物线与y轴的交点为C,若点Q在抛物线上,且点Q的横坐标为b,当S△EQM=12S△ACE时,求m的值;
(3)点D在抛物线上,且点D的横坐标为b+12,当2AM+2DM的最小值为2724时,求b的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的一个交点为A(﹣1,0),
∴﹣k﹣2=0,1+b+c=0,
∴k=﹣2,c=﹣b﹣1,
∴直线y=kx﹣2的解析式为y=﹣2x﹣2,
∵抛物线y=x2﹣bx+c的顶点坐标为E(b2,4c−b24),
∴E(b2,−4b−4−b24),
∵直线y=﹣2x﹣2与抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)的另一个交点为该抛物线的顶点E,
∴−4b−4−b24=−2×b2−2,
解得,b=2,或b=﹣2(舍),
当b=2时,c=﹣3,
∴E(1,﹣4),
故k=﹣2,b=2,c=﹣3,E(1,﹣4);
(2)由(1)知,直线的解析式为y=﹣2x﹣2,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∴C(0,﹣3),Q(2,﹣3),
如图1,设直线y=﹣2x﹣2与y轴交点为N,则N(0,﹣2),
∴CN=1,
∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=12×1×1+12×1×1=1,
∴S△EQM=12,
设直线EQ与x轴的交点为D,显然点M不能与点D重合,
设直线EQ的解析式为y=dx+n(d≠0),
则2d+n=−3d+n=−4,
解得,d=1n=−5,
∴直线EQ的解析式为y=x﹣5,
∴D(5,0),
∴S△EQM=S△EDM﹣S△QDM=12DM×|−4|−12DM×|−3|=12DM=12|5−m|=12,
解得,m=4,或m=6;
(3)∵点D(b+12,yD)在抛物线y=x2﹣bx﹣b﹣1上,
∴yD=(b+12)2−b(b+12)−b−1=−b2−34,
可知点D(b+12,−b2−34)在第四象限,且在直线x=b的右侧,
∵2AM+2DM=2(22AM+DM),
∴可取点N(0,1),则∠OAN=45°,
如图2,过D作直线AN的垂线,垂足为G,DG与x轴相交于点M,
∵∠GAM=90°﹣∠OAN=45°,得22AM=GM,
则此时点M满足题意,
过D作DH⊥x轴于点H,则点H(b+12,0),
在Rt△MDH中,可知∠DMH=∠MDH=45°,
∴DH=MH,DM=2MH,
∵点M(m,0),
∴0﹣(−b2−34)=(b+12)﹣m,
解得,m=b2−14,
∵2AM+2DM=2724,
∴2[(b2−14)−(−1)]+22[(b+12)−(b2−14)]=2724,
解得,b=3,
此时,m=32−14=54>0,符合题意,
∴b=3.
17.(2020•长沙)我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“H函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定,完成下列各题.
(1)在下列关于x的函数中,是“H函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H函数”的打“×”.
①y=2x( √ );
②y=mx(m≠0)( √ );
③y=3x﹣1( × ).
(2)若点A(1,m)与点B(n,﹣4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”,且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧,求a,b,c的值或取值范围.
(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:①a+b+c=0,②(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)①y=2x是“H函数”.②y=mx(m≠0)是“H函数”.③y=3x﹣1不是“H函数”.
故答案为:√,√,×.
(2)∵A,B是“H点”,
∴A,B关于原点对称,
∴m=4,n=﹣1,
∴A(1,4),B(﹣1,﹣4),
代入y=ax2+bx+c(a≠0)
得a+b+c=4a−b+c=−4,
∴b=4a+c=0,
∵该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧,
∴−b2a>2,
∴−42a>2,
∴﹣1<a<0,
∵a+c=0,
∴0<c<1,
综上所述,﹣1<a<0,b=4,0<c<1.
(3)∵y=ax2+2bx+3c是“H函数”,
∴设H(p,q)和(﹣p,﹣q),
代入得到ap2+2bp+3c=qap2−2bp+3c=−q,
解得ap2+3c=0,2bp=q,
∵p2>0,
∴a,c异号,
∴ac<0,
∵a+b+c=0,
∴b=﹣a﹣c,
∵(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,
∴(2c﹣a﹣c﹣a)(2c﹣a﹣c+3a)<0,
∴(c﹣2a)(c+2a)<0,
∴c2<4a2,
∴c2a2<4,
∴﹣2<ca<2,
设t=ca,则﹣2<t<0,
设函数与x轴交于(x1,0),(x2,0),
∴x1,x2是方程ax2+2bx+3c=0的两根,
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2
=(−2ba)2−4⋅3ca
=4(a+c)2a2−12ca
=4[1+2ca+(ca)2−3ca]
=21+2t+t2−3t
=2(t−12)2+34,
∵﹣2<t<0,
∴2<|x1﹣x2|<27.
18.(2020•邵阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线y=ax2−154x+c(a≠0)过B,C两点,动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值;
(4)过点D与x轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点Q,将线段BA沿过点B的直线翻折,点A的对称点为A',求A'Q+QN+DN的最小值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)将C(8,0),B(0,6)代入y=ax2−154x+c,得64a−154×8+c=0c=6,
解得a=38c=6,
∴抛物线的解析式为:y=38x2−154x+6;
(2)如答图1,作DE⊥x轴于点E,
∵C(8,0),B(0,6),
∴OC=8,OB=6.
∴BC=10.
∵∠BOC=∠BCD=∠DEC,
∴△BOC~△CED.
∴BCCD=BOCE=OCDE.
∴CE=3,DE=4.
∴OE=OC+CE=11.
∴D(11,4).
(3)若点M在DA上运动时,DM=5t,ON=4t,
当△BON~△CDM,则BOCD=ONDM,即65=4t5t不成立,舍去;
当△BON~△MDC,则BOMD=ONDC,即65t=4t5,解得:t=62;
若点M在BC上运动时,CM=25﹣5t.
当△BON~△MCD,则BOMC=ONCD,即625−5t=ON5,
∴ON=65−t.
当3<t≤4时,ON=16﹣4t.
∴65−t=16−4t,
解得t1=9+72(舍去),t2=9−72.
当4<t≤5时,ON=4t﹣16
∴65−t=4t−16,无解;
当△BON~△DCM,则BODC=ONCM,即65=ON25−5t,
∴ON=30﹣6t;
当3<t≤4时,ON=16﹣4t,
∴30﹣6t=16﹣4t,
解得t=7(舍去);
当4<t≤5时,ON=4t﹣16,
∴30﹣6t=4t﹣16,
解得t=235.
综上所示:当t=62时,△BON~△MDC;t=9−72时,△BON~△MCD;t=235时,△BON~△DCM;
(4)如答图2,作点D关于x轴的对称点F,连接QF交x轴于点N,
∵点D(11,4),
∴点F(11,﹣4).
由y=38x2−154x+6得对称轴为x=5,
∴点Q(5,4).
∴QF=(5−11)2+(4+4)2=10,BQ=(0−5)2+(6−4)2=29.
∴A'Q+QN+DN=BQ−BA'+QF=29−5+10=29+5.
故A'Q+QN+DN的最小值为29+5.
19.(2020•岳阳)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x−25)2+6415与x轴交于点A(−65,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线F1的表达式;
(2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC.
①求点D的坐标;
②判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)把点A(−65,0)代入抛物线F1:y=a(x−25)2+6415中得:
0=a(−65−25)2+6415,
解得:a=−53,
∴抛物线F1:y=−53(x−25)2+6415;
(2)①由平移得:抛物线F2:y=−53(x−25+1)2+6415−3,
∴y=−53(x+35)2+1915,
∴53(x+35)2+1915=−53(x−25)2+6415,
−103x=103,
解得:x=﹣1,
∴D(﹣1,1);
②当x=0时,y=−53×425+6415=4,
∴C(0,4),
当y=0时,−53(x−25)2+6415=0,
解得:x=−65或2,
∴B(2,0),
∵D(﹣1,1),
∴BD2=(2+1)2+(1﹣0)2=10,
CD2=(0+1)2+(4﹣1)2=10,
BC2=22+42=20,
∴BD2+CD2=BC2且BD=CD,
∴△BDC是等腰直角三角形;
(3)存在,
设P(m,−53(m+35)2+1915),
∵B(2,0),D(﹣1,1),
∴BD2=(2+1)2+12=10,PB2=(m−2)2+[−53(m+35)2+1915]2,PD2=(m+1)2+[−53(m+35)2+1915−1]2,
分三种情况:
①当∠DBP=90°时,BD2+PB2=PD2,
即10+(m﹣2)2+[−53(m+35)2+1915]2=(m+1)2+[−53(m+35)2+1915−1]2,
解得:m=﹣4或1,
当m=﹣4时,BD=10,PB=36+324=610,即△BDP不是等腰直角三角形,不符合题意,
当m=1时,BD=10,PB=1+9=10,
∴BD=PB,即△BDP是等腰直角三角形,符合题意,
∴P(1,﹣3);
②当∠BDP=90°时,BD2+PD2=PB2,
即10+[−53(m+35)2+1915−1]2=(m﹣2)2+[−53(m+35)2+1915]2,
解得:m=﹣1(舍)或﹣2,
当m=﹣2时,BD=10,PD=1+9=10,
∴BD=PD,即此时△BDP为等腰直角三角形,
∴P(﹣2,﹣2);
③当∠BPD=90°时,且BP=DP,有BD2=PD2+PB2,如图3,
当△BDP为等腰直角三角形时,点P1和P2不在抛物线上,此种情况不存在这样的点P;
综上,点P的坐标是(1,﹣3)或(﹣2,﹣2).
20.(2020•株洲)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(记为抛物线Γ)与y轴交于点C,与x轴分别交于点A、B,点A、B的横坐标分别记为x1,x2,且0<x1<x2.
(1)若a=c,b=﹣3,且过点(1,﹣1),求该二次函数的表达式;
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=4.求证:当b<−52时,二次函数y1=ax2+(b+1)x+c的图象与x轴没有交点.
(3)若AB2=c2−2c+6c,点P的坐标为(−x0,﹣1),过点P作直线l垂直于y轴,且抛物线的Γ的顶点在直线l上,连接OP、AP、BP,PA的延长线与抛物线Γ交于点D,若∠OPB=∠DAB,求x0的最小值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)由题意得:y=ax2﹣3x+a,
∵函数过点(1,﹣1),
∴a﹣3+a=﹣1,
∴a=c=1,
∴y=x2﹣3x+1;
(2)由题意,一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=4.
∴△=b2﹣4ac=4,
∴4ac=b2﹣4,
在函数y1=ax2+(b+1)x+c中,△1=(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5,
∵b<−52,
∴2b+5<0,
即函数图象与x轴没有交点;
(3)因为函数顶点在直线l上,则有4ac−b24a=−1,
即b2﹣4ac=4a①,
∵AB2=c2−2c+6c,
∴(x2−x1)2=c2−2c+6c,
即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c,
∴b2−4aca2=c2−2c+6c,
由①得:4a=c2−2c+6c②,
∵∠OAP=∠DAB,∠OPB=∠DAB,
∴∠OAP=∠OPB,
∵∠OAP=∠OBP+∠APB,∠OPB=∠OPA+∠APB,
∴∠OBP=∠OPA,
则△OAP∽△OPB.
∴OAOP=OPOB,
∴OA•OB=OP2,
∴x1x2=(−x0)2+(−1)2.
∴ca=x0+1,
∴x0=ca−1.
由②得:x0=c2−2c+64−1,
∴x0=14(c−1)2+14,
∴当c=1时,(x0)min=14.
21.(2020•怀化)如图所示,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.
(1)求点C及顶点M的坐标.
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标.
(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由.
(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)令y=x2﹣2x﹣3中x=0,此时y=﹣3,
故C点坐标为(0,﹣3),
又∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,﹣4);
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点,连接BN,CN,如图1所示:
令y=x2﹣2x﹣3=0,
解得:x=3或x=﹣1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
设直线BC的解析式为:y=ax+b,
将C(0,﹣3),B(3,0)代入直线BC的解析式得:−3=b0=3a+b,
解得:a=1b=−3,
∴直线BC的解析式为:y=x﹣3,
设N点坐标为(n,n2﹣2n﹣3),故Q点坐标为(n,n﹣3),其中0<n<3,
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ−xC)+12⋅QN⋅(xB−xQ)=12⋅QN⋅(xQ−xC+xB−xQ)=12⋅QN⋅(xB−xC),(其中xQ,xC,xB分别表示Q,C,B三点的横坐标),且QN=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n,xB﹣xC=3,
故S△BCN=12⋅(−n2+3n)⋅3=−32n2+92n=−32(n−32)2+278,其中0<n<3,
当n=32时,S△BCN有最大值为278,
此时点N的坐标为(32,−154),
(3)设D点坐标为(1,t),G点坐标为(m,m2﹣2m﹣3),且B(3,0),C(0,﹣3)
分情况讨论:
①当DG为对角线时,则另一对角线是BC,由中点坐标公式可知:
线段DG的中点坐标为(xD+xG2,yD+yG2),即(1+m2,t+m2−2m−32),
线段BC的中点坐标为(xB+xC2,yB+yC2),即(3+02,0−32),
此时DG的中点与BC的中点为同一个点,
∴1+m2=32t+m2−2m−32=−32,解得m=2t=0,
经检验,此时四边形DCGB为平行四边形,此时G坐标为(2,﹣3);
②当DB为对角线时,则另一对角线是GC,由中点坐标公式可知:
线段DB的中点坐标为(xD+xB2,yD+yB2),即(1+32,t+02),
线段GC的中点坐标为(xG+xC2,yG+yC2),即(m+02,m2−2m−3−32),
此时DB的中点与GC的中点为同一个点,
∴1+32=m+02t+02=m2−2m−3−32,解得m=4t=2,
经检验,此时四边形DCBG为平行四边形,此时G坐标为(4,5);
③当DC为对角线时,则另一对角线是GB,由中点坐标公式可知:
线段DC的中点坐标为(xD+xC2,yD+yC2),即(1+02,t−32),
线段GB的中点坐标为(xG+xB2,yG+yB2),即(m+32,m2−2m−3+02),
此时DB的中点与GC的中点为同一个点,
∴1+02=m+32t−32=m2−2m−3+02,解得m=−2t=8,
经检验,此时四边形DGCB为平行四边形,此时G坐标为(﹣2,5);
综上所述,G点坐标存在,为(2,﹣3)或(4,5)或(﹣2,5);
(4)连接AC,OP,如图2所示:
设MC的解析式为:y=kx+m,
将C(0,﹣3),M(1,﹣4)代入MC的解析式得:−3=m−4=k+m,
解得:k=−1m=−3
∴MC的解析式为:y=﹣x﹣3,令y=0,则x=﹣3,
∴E点坐标为(﹣3,0),
∴OE=OB=3,且OC⊥BE,
∴CE=CB,
∴∠CBE=∠E,
设P(x,﹣x﹣3),
又∵P点在线段EM上,
∴﹣3<x<1,
则EP=(x+3)2+(−x−3)2=2(x+3),BC=32+32=32,
由题意知:△PEO相似于△ABC,
分情况讨论:
①△PEO∽△CBA,
∴EOBA=EPBC,
∴34=2(x+3)32,
解得x=−34,满足﹣3<x<1,此时P的坐标为(−34,−94);
②△PEO∽△ABC,
∴EOBC=EPBA,
∴332=2(x+3)4,
解得x=﹣1,满足﹣3<x<1,此时P的坐标为(﹣1,﹣2).
综上所述,P点的坐标为(−34,−94)或(﹣1,﹣2).
22.(2020•张家界)如图,抛物线y=ax2﹣6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣x+5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定△APC的形状,并说明理由;
(3)在直线BC上是否存在点M,使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+5经过点B,C,
∴当x=0时,可得y=5,即C的坐标为(0,5).
当y=0时,可得x=5,即B的坐标为(5,0).
∴5=a⋅02−6×0+c0=52a−6×5+c.
解得a=1c=5.
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;
(2)△APC为直角三角形,理由如下:
∵解方程x2﹣6x+5=0,则x1=1,x2=5.
∴A(1,0),B(5,0).
∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴l为x=3,
∴△APB为等腰三角形.
∵C的坐标为(0,5),B的坐标为(5,0),
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠ABP=45°,
∴∠ABP=45°.
∴∠APB=180°﹣45°﹣45°=90°.
∴∠APC=180°﹣90°=90°.
∴△APC为直角三角形;
(3)如图:作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,AC于E,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1.
∴∠AM1B=2∠ACB.
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2.
∴N(3,2).
设AC的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
∵C(0,5),A(1,0),
∴5=k⋅0+b0=k+b.
解得b=5,k=﹣5.
∴AC的函数解析式为y=﹣5x+5,
设EM1的函数解析式为y=15x+n,
∵点E的坐标为(12,52).
∴52=15×12+n,
解得:n=125.
∴EM1的函数解析式为y=15x+125.
∵y=−x+5y=15x+125.
解得x=136y=176.
∴M1的坐标为(136,176);
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,
设M2(a,﹣a+5),
则有:3=136+a2,解得a=236.
∴﹣a+5=76.
∴M2的坐标为(236,76).
综上,存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点,且坐标为M1(136,176),M2(236,76).
23.(2020•湘潭)如图,抛物线y=﹣x2+bx+5与x轴交于A,B两点.
(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.
①求抛物线的解析式;
②对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)当b≥4,0≤x≤2时,函数值y的最大值满足3≤y≤15,求b的取值范围.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)①抛物线y=﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2,
∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴,
则b2=2,解得:b=4,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5;
②存在,
如图,若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点B'在对称轴上,连接OB′、PB,
则OB'=OB,PB'=PB,
对于y=﹣x2+4x+5,令y=0,则﹣x2+4x+5=0,
解得:x1=﹣1,x2=5,
∴A(﹣1,0),B(5,0),
∴OB'=OB=5,
∴CB'=OB'2−OC2=25−4=21,
∴B'(2,21),
设点P(2,m),
由PB'=PB可得:21−m=m2+(5−2)2,解得:m=2217,
∴P(2,2217);
同理,当点P在x轴下方时,P(2,−2217).
综上所述,点P(2,2217)或P(2,−2217);
(2)∵抛物线y=﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2,
∴当b≥4时,x=b2≥2,
∵抛物线开口向下,在对称轴左边,y随x的增大而增大,
∴当0≤x≤2时,取x=2,y有最大值,
即y=﹣4+2b+5=2b+1,
∴3≤2b+1≤15,解得:1≤b≤7,
又∵b≥4,
∴4≤b≤7.
24.(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)由二次函数y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,
∴1−p+q=04+2p+q=0,解得p=−1q=−2,
∴此二次函数的表达式为y=x2﹣x﹣2;
(2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1+22=12,
∴在﹣2≤x≤1范围内,当x=﹣2,函数有最大值为:y=4+2﹣2=4;当x=12时函数有最小值:y=14−12−2=−94,
∴y的最大值与最小值的差为:4﹣(−94)=254;
(3)y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b,
∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4﹣m,
∵a<3<b,
∴a=﹣1,b=4﹣m>3,
故解得m<1,即m的取值范围是m<1.
25.(2020•常德)如图,已知抛物线y=ax2过点A(﹣3,94).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线l过点A,M(32,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA•MB;
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)把点A(﹣3,94)代入y=ax2,
得到94=9a,
∴a=14,
∴抛物线的解析式为y=14x2.
(2)设直线l的解析式为y=kx+b,则有94=−3k+b0=32k+b,
解得k=−12b=34,
∴直线l的解析式为y=−12x+34,
令x=0,得到y=34,
∴C(0,34),
由y=14x2y=−12x+34,解得x=1y=14或x=−3y=94,
∴B(1,14),
如图1中,过点A作AA1⊥x轴于A1,过B作BB1⊥x轴于B1,则BB1∥OC∥AA1,
∴BMMC=MB1MO=32−132=13,MCMA=MOMA1=3232−(−3)=13,
∴BMMC=MCMA,
即MC2=MA•MB.
(3)如图2中,设P(t,14t2)
∵OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,
∴PD∥OC,PD=OC,
∴D(t,−12t+34),
∴|14t2﹣(−12t+34)|=34,
整理得:t2+2t﹣6=0或t2+2t=0,
解得t=﹣1−7或﹣1+7或﹣2或0(舍弃),
∴P(﹣1−7,2+72)或(﹣1+7,2−72)或(﹣2,1).
26.(2019•湘潭)如图一,抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1≥y2,求P点横坐标x1的取值范围;
(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求△FMN周长的最小值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,3)三点
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3 解得:a=−33,b=233,c=3;
∴抛物线的解析式为:y=−33x2+233x+3.
(2)抛物线的对称轴为x=1,抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q′(﹣2,y2)
P(x1,y1)在该抛物线上,y1≥y2,根据抛物线的增减性得:
∴﹣2≤x1≤4
答:P点横坐标x1的取值范围:﹣2≤x1≤4.
(3)∵C(0,3),B,(3,0),D(1,0)
∴OC=3,OB=3,OD,=1
∵F是BC的中点,
∴F(32,32)
当点F关于直线CE的对称点为F′,关于直线CD的对称点为F″,直线F′F″与CD、CE交点为M、N,此时△FMN的周长最小,周长为F′F″的长,由对称可得到:F′(32,332),F″(0,0)即点O,
F′F″=F′O=(32)2+(332)2=3,
即:△FMN的周长最小值为3,
27.(2019•湘潭)湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?
(2)小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,
则有(120−72)x+(80−40)y=1280120x+80y=2800,解得x=10y=20
故该店平均每天销售A礼盒10盒,B种礼盒为20盒.
(2)设A种湘莲礼盒降价m元/盒,利润为W元,依题意
总利润W=(120﹣m﹣72)(10+m3)+800
化简得W=−13m2+6m+1280=−13(m﹣9)2+1307
∵a=−13<0
∴当m=9时,取得最大值为1307,
故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元.
28.(2019•永州)如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵抛物线对称轴是直线x=﹣1且经过点A(﹣3,0)
由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点(1,0)
设抛物线的解析式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)
即:y=a(x﹣1)(x+3)
把B(0,3)代入得:3=﹣3a
∴a=﹣1
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴−3k+b=0b=3,
∴直线AB为y=x+3,
作PQ⊥x轴于Q,交直线AB于M,
设P(x,﹣x2﹣2x+3),则M(x,x+3),
∴PM=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x,
∴S=12(﹣x2﹣3x)×3=−32(x+32)2+278.
当x=−32时,S最大=278,y=﹣(−32)2﹣2×(−32)+3=154,
∴△PAB的面积的最大值为278,此时点P的坐标为(−32,154)
29.(2019•娄底)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3),将点D坐标代入上式并解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①;
(2)设直线PD与y轴交于点G,设点P(m,m2﹣2m﹣3),
将点P、D的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:
直线PD的表达式为:y=mx﹣3﹣2m,则OG=3+2m,
S△POD=12×OG(xD﹣xP)=12(3+2m)(2﹣m)=﹣m2+12m+3,
∵﹣1<0,故S△POD有最大值,当m=14时,其最大值为4916;
(3)∵OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°,
∵∠ABC=∠OBE,故△OBE与△ABC相似时,分为两种情况:
①当∠ACB=∠BOQ时,
AB=4,BC=32,AC=10,
过点A作AH⊥BC于点H,
S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC,解得:AH=22,
则sin∠ACB=AHAC=25,则tan∠ACB=2,
则直线OQ的表达式为:y=﹣2x…②,
联立①②并解得:x=3或−3,
故点Q(3,﹣23)或(−3,23),
②∠BAC=∠BOQ时,
tan∠BAC=OCOA=31=3=tan∠BOQ,
则点Q(n,﹣3n),
则直线OQ的表达式为:y=﹣3x…③,
联立①③并解得:x=−1±132,
故点Q(−1+132,3−3132)或(−1−132,3+3132);
综上,当△OBE与△ABC相似时,Q的坐标为:(3,﹣23)或(−3,23)或(−1+132,3−3132)或(−1−132,3+3132).
30.(2019•张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),
即:3a=3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,
则顶点D(2,﹣1);
(2)∵OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,
AM=MB=ABsin45°=2=AD=BD,
则四边形ADBM为菱形,而∠AMB=90°,
∴四边形ADBM为正方形;
(3)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点H,
设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),
则S△PBC=12PH×OB=32(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=32(﹣x2+3x),
∵−32<0,故S△PBC有最大值,此时x=32,
故点P(32,−34);
(4)存在,理由:
如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,作QH⊥CH,垂足为H,
则HQ=12CQ,
AQ+12QC最小值=AQ+HQ=AH,
直线HC所在表达式中的k值为3,直线HC的表达式为:y=3x+3…①
则直线AH所在表达式中的k值为−33,
则直线AH的表达式为:y=−33x+s,将点A的坐标代入上式并解得:
则直线AH的表达式为:y=−33x+33⋯②,
联立①②并解得:x=1−334,
故点H(1−334,3+34),而点A(1,0),
则AH=3+32,
即:AQ+12QC的最小值为3+32.
31.(2019•湘西州)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为6105?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵点A在线段OE上,E(8,0),OA=2
∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3
∴AD=3OA=6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D(2,﹣6)
∵抛物线y=ax2+bx经过点D、E
∴4a+2b=−664a+8b=0 解得:a=12b=−4
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣4x
(2)如图1,作点M关于x轴的对称点点M',作点N关于y轴的对称点点N',连接FM'、GN'、M'N'
∵y=12x2﹣4x=12(x﹣4)2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x=4
∵点C、D在抛物线上,且CD∥x轴,D(2,﹣6)
∴yC=yD=﹣6,即点C、D关于直线x=4对称
∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6)
∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90°
∴∠BAM=45°
∴BM=AB=4
∴M(6,﹣4)
∵点M、M'关于x轴对称,点F在x轴上
∴M'(6,4),FM=FM'
∵N为CD中点
∴N(4,﹣6)
∵点N、N'关于y轴对称,点G在y轴上
∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN,
∴C四边形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时,N'G+GF+FM'=M'N'最小
∴C四边形MNGF=MN+M'N'=(6−4)2+(−4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122
∴四边形MNGF周长最小值为122.
(3)存在点P,使△ODP中OD边上的高为6105.
过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q,
∵D(2,﹣6)
∴OD=22+62=210,直线OD解析式为y=﹣3x,
设点P坐标为(t,12t2﹣4t)(0<t<8),则点Q(t,﹣3t),
①如图2,当0<t<2时,点P在点D左侧,
∴PQ=yQ﹣yP=﹣3t﹣(12t2﹣4t)=−12t2+t,
∴S△ODP=S△OPQ+S△DPQ=12PQ•xP+12PQ•(xD﹣xP)=12PQ(xP+xD﹣xP)=12PQ•xD=PQ=−12t2+t
∵△ODP中OD边上的高h=6105,
∴S△ODP=12OD•h,
∴−12t2+t=12×210×6105,
方程无解
②如图3,当2<t<8时,点P在点D右侧
∴PE=yP﹣yE=12t2﹣4t﹣(﹣3t)=12t2﹣t
∴S△ODP=S△OPQ﹣S△DPQ=12PQ•xP−12PQ•(xP﹣xD)=12PQ(xP﹣xP+xD)=12PQ•xD=12t2﹣t
∴12t2﹣t=12×210×6105
解得:t1=﹣4(舍去),t2=6
∴P(6,﹣6)
综上所述,点P坐标为(6,﹣6)满足使△ODP中OD边上的高为6105.
(4)设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上,L在线段CD上,如图4
∴K(m,0),L(2+m,﹣6)
连接AC,交KL于点H
∵S△ACD=S四边形ADLK=12S矩形ABCD
∴S△AHK=S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴S△AHKS△CHL=(AHCH)2=1
∴AH=CH,即点H为AC中点
∴H(4,﹣3)也是KL中点
∴m+2+m2=4
∴m=3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度.
32.(2019•邵阳)如图,二次函数y=−13x2+bx+c的图象过原点,与x轴的另一个交点为(8,0)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m,交二次函数图象于A、B两点,过A、B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P、Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)将(0,0),(8,0)代入y=−13x2+bx+c,得:
c=0−643+8b+c=0,解得:b=83c=0,
∴该二次函数的解析式为y=−13x2+83x.
(2)当y=m时,−13x2+83x=m,
解得:x1=4−16−3m,x2=4+16−3m,
∴点A的坐标为(4−16−3m,m),点B的坐标为(4+16−3m,m),
∴点D的坐标为(4−16−3m,0),点C的坐标为(4+16−3m,0).
∵矩形ABCD为正方形,
∴4+16−3m−(4−16−3m)=m,
解得:m1=﹣16(舍去),m2=4.
∴当矩形ABCD为正方形时,m的值为4.
(3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形.
由(2)可知:点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(6,4),点C的坐标为(6,0),点D的坐标为(2,0).
设直线AC的解析式为y=kx+a(k≠0),
将A(2,4),C(6,0)代入y=kx+a,得:
2k+a=46k+a=0,解得:k=−1a=6,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+6.
当x=2+t时,y=−13x2+83x=−13t2+43t+4,y=﹣x+6=﹣t+4,
∴点E的坐标为(2+t,−13t2+43t+4),点F的坐标为(2+t,﹣t+4).
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形,且AQ∥EF,
∴AQ=EF,分三种情况考虑:
①当0<t≤4时,如图1所示,AQ=t,EF=−13t2+43t+4﹣(﹣t+4)=−13t2+73t,
∴t=−13t2+73t,
解得:t1=0(舍去),t2=4;
②当4<t≤7时,如图2所示,AQ=8﹣t,EF=−13t2+43t+4﹣(﹣t+4)=−13t2+73t,
∴8﹣t=−13t2+73t,
解得:t3=4(舍去),t4=6;
③当7<t≤8时,如图3所示,AQ=8﹣t,EF=﹣t+4﹣(−13t2+43t+4)=13t2−73t,
∴8﹣t=13t2−73t,
解得:t5=2﹣27(舍去),t6=2+27.
综上所述:当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时,t的值为4,6或2+27.
33.(2019•益阳)在平面直角坐标系xOy中,顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求抛物线对应的二次函数表达式;
(2)探究:如图1,连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由;
(3)应用:如图2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n=﹣1,连接PA、PC,在线段PC上确定一点N,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标.
提示:若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,
将点B坐标的坐标代入上式得:0=a(3﹣1)2+4,
解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分,理由:
如图1,∵DE∥AO,S△ODA=S△OEA,
S△ODA+S△AOM=S△OEA+S△AOM,即:S四边形OMAD=S△OEM,
∴S△OME=S△OBM,
∴S四边形OMAD=S△OBM;
(3)设点P(m,n),n=﹣m2+2m+3,而m+n=﹣1,
解得:m=﹣1或4,故点P(4,﹣5);
如图2,故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q,
由(2)知:点N是PQ的中点,
将点C(﹣1,0)、P(4,﹣5)的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线PC的表达式为:y=﹣x﹣1…①,
同理直线AC的表达式为:y=2x+2,
直线DQ∥CA,且直线DQ经过点D(0,3),
同理可得直线DQ的表达式为:y=2x+3…②,
联立①②并解得:x=−43,即点Q(−43,13),
∵点N是PQ的中点,
由中点公式得:点N(43,−73).
34.(2019•郴州)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设k=AFAD,当k为何值时,CF=12AD?
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣3,0),B(1,0),
∴9a−3b+3=0a+b+3=0,解得:a=−1b=−2,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为(﹣1,4);
(2)①∵在Rt△AOC中,OA=3,OC=3,
∴AC2=OA2+OC2=18,
∵D(﹣1,4),C(0,3),A(﹣3,0),
∴CD2=12+12=2
∴AD2=22+42=20
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°.
∵CF=12AD,
∴F为AD的中点,
∴AFAD=12,
∴k=12.
②在Rt△ACD中,tan∠CAD=DCAC=232=13,
在Rt△OBC中,tan∠OCB=OBOC=13,
∴∠CAD=∠OCB,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠FAO=∠ACB,
若以A,F,O为顶点的三角形与△ABC相似,则可分两种情况考虑:
当∠AOF=∠ABC时,△AOF∽△CBA,
∴OF∥BC,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴k+b=0b=3,解得:k=−3b=3,
∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3,
∴直线OF的解析式为y=﹣3x,
设直线AD的解析式为y=mx+n,
∴−k+b=4−3k+b=0,解得:k=2b=6,
∴直线AD的解析式为y=2x+6,
∴y=2x+6y=−3x,解得:x=−65y=185,
∴F(−65,185).
当∠AOF=∠CAB=45°时,△AOF∽△CAB,
∵∠CAB=45°,
∴OF⊥AC,
∴直线OF的解析式为y=﹣x,
∴y=−xy=2x+6,解得:x=−2y=2,
∴F(﹣2,2).
综合以上可得F点的坐标为(−65,185)或(﹣2,2).
35.(2019•常德)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)二次函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,
将点B的坐标代入上式得:0=4a+4,解得:a=﹣1,
故函数表达式为:y=﹣x2+2x+3…①;
(2)设点M的坐标为(x,﹣x2+2x+3),则点N(2﹣x,﹣x2+2x+3),
则MN=x﹣2+x=2x﹣2,GM=﹣x2+2x+3,
矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x﹣2)+2(﹣x2+2x+3)=﹣2x2+8x+2,
∵﹣2<0,故当x=−b2a=2,C有最大值,最大值为10,
此时x=2,点N(0,3)与点D重合;
(3)△PNC的面积是矩形MNHG面积的916,
则S△PNC=916×MN×GM=916×2×3=278,
连接DC,在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n,
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G,即PH=GH,
过点P作PK⊥CD于点K,
将C(3,0)、D(0,3)坐标代入一次函数表达式并解得:
直线CD的表达式为:y=﹣x+3,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=45°=∠PHK,CD=32,
设点P(x,﹣x2+2x+3),则点H(x,﹣x+3),
S△PNC=278=12×PK×CD=12×PH×sin45°×32,
解得:PH=94=HG,
则PH=﹣x2+2x+3+x﹣3=94,
解得:x=32,
故点P(32,154),
直线n的表达式为:y=﹣x+3−94=−x+34⋯②,
联立①②并解得:x=3±322,
即点P′、P″的横坐标分别为3+322或3−322;
故点P横坐标为:32或3+322或3−322.
36.(2019•岳阳)如图1,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:y=13x2+73x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;
(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)当x=﹣4时,y=13×(﹣4)2+73×(﹣4)=﹣4
∴点A坐标为(﹣4,﹣4)
当y=﹣2时,13x2+73x=﹣2
解得:x1=﹣1,x2=﹣6
∵点A在点B的左侧
∴点B坐标为(﹣1,﹣2)
(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'G⊥x轴于点G
∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'
∴OB=OB',∠BOB'=90°
∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90°
∴∠B'OG=∠OBE
在△B'OG与△OBE中
∠OGB'=∠BEO∠B'OG=∠OBEB'O=OB
∴△B'OG≌△OBE(AAS)
∴OG=BE=2,B'G=OE=1
∵点B'在第四象限
∴B'(2,﹣1)
同理可求得:A'(4,﹣4)
∴OA=OA'=42+42=42
∵抛物线F2:y=ax2+bx+4经过点A'、B'
∴16a+4b+4=−44a+2b+4=−1 解得:a=14b=−3
∴抛物线F2解析式为:y=14x2﹣3x+4
∴对称轴为直线:x=−−32×14=6
∵点M在直线x=6上,设M(6,m)
∴OM2=62+m2,A'M2=(6﹣4)2+(m+4)2=m2+8m+20
∵点A'在以OM为直径的圆上
∴∠OA'M=90°
∴OA'2+A'M2=OM2
∴(42)2+m2+8m+20=36+m2
解得:m=﹣2
∴A'M=m2+8m+20=4−16+20=22
∴S△OA'M=12OA'•A'M=12×42×22=8
(3)在坐标轴上存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
∵B'(2,﹣1)
∴直线OB'解析式为y=−12x
y=−12xy=14x2−3x+4 解得:x1=2y1=−1(即为点B')x2=8y2=−4
∴C(8,﹣4)
∵A'(4,﹣4)
∴A'C∥x轴,A'C=4
∴∠OA'C=135°
∴∠A'OC<45°,∠A'CO<45°
∵A(﹣4,﹣4),即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时,∠AOD=45°,此时△AOD不可能与△OA'C相似
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时,∠AOD=∠OA'C=135°(如图2、图3)
①若△AOD∽△OA'C,则ODA'C=OAOA'=1
∴OD=A'C=4
∴D(4,0)或(0,4)
②若△DOA∽△OA'C,则DOOA'=OAA'C=424=2
∴OD=2OA'=8
∴D(8,0)或(0,8)
综上所述,点D坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时,以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
37.(2019•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
(1)若a=1,b=﹣2,c=﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标;
②定义:对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0),满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”.
(2)设b=12c3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若PCPA=55a2+1,求二次函数的表达式.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)①∵a=1,b=﹣2,c=﹣1
∴y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣2)
②证明:当y=x时,x2﹣2x﹣1=x
整理得:x2﹣3x﹣1=0
∴△=(﹣3)2﹣4×1×(﹣1)=13>0
∴方程x2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实数根
即二次函数y=x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”.
(2)把b=12c3代入二次函数得:y=ax2+12c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<0,x2>0)
即x1、x2为方程ax2+12c3x+c=0的两个不相等实数根
∴x1+x2=−12c3a=−c32a,x1x2=ca
∵当x=0时,y=ax2+12c3x+c=c
∴C(0,c)
∵E(1,0)
∴CE=1+c2,AE=1﹣x1,BE=x2﹣1
∵DF⊥y轴,OC=OD
∴DF∥x轴
∴CEEF=OCOD=1
∴EF=CE=1+c2,CF=21+c2
∵∠AFC=∠ABC,∠AEF=∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴AECE=EFBE,即AE•BE=CE•EF
∴(1﹣x1)(x2﹣1)=1+c2
展开得:1+c2=x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2=−c32a−1−ca
c3+2ac2+2c+4a=0
c2(c+2a)+2(c+2a)=0
(c2+2)(c+2a)=0
∵c2+2>0
∴c+2a=0,即c=﹣2a
∴x1+x2=−−8a32a=4a2,x1x2=−2aa=−2,CF=21+c2=21+4a2
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=16a4+8
∴AB=x2﹣x1=16a4+8=24a4+2
∵∠AFC=∠ABC,∠P=∠P
∴△PFC∽△PBA
∴CFAB=PCPA=55a2+1
∴21+4a224a4+2=55a2+1
解得:a1=1,a2=﹣1(舍去)
∴c=﹣2a=﹣2,b=12c3=﹣4
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣2
38.(2019•衡阳)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:△MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1))∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0),
把A、B两点坐标代入上式,1−b+c=09+3b+c=0,
解得:b=−2c=−3,
故抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)∵A(﹣1,0),点B(3,0),
∴AB=OA+OB=1+3=4,
∵正方形ABCD中,∠ABC=90°,PC⊥BE,
∴∠OPE+∠CPB=90°,
∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠OPE=∠PCB,
又∵∠EOP=∠PBC=90°,
∴△POE∽△CBP,
∴BCPB=OPOE,
设OP=x,则PB=3﹣x,
∴43−x=xOE,
∴OE=14(−x2+3x)=−14(x−32)2+916,
∵0<x<3,
∴x=32时,线段OE长有最大值,最大值为916.
即OP=32时,点P在线段OB上运动至P(32,0)时,线段OE有最大值.最大值是916.
(3)存在.
如图,过点M作MH∥y轴交BN于点H,
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∴x=0,y=﹣3,
∴N点坐标为(0,﹣3),
设直线BN的解析式为y=kx+b,
∴3k+b=0b=−3,
∴k=1b=−3,
∴直线BN的解析式为y=x﹣3,
设M(a,a2﹣2a﹣3),则H(a,a﹣3),
∴MH=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a,
∴S△MNB=S△BMH+S△MNH=12MH⋅OB=12×(−a2+3a)×3=−32(a−32)2+278,
∵−32<0,
∴a=32时,△MBN的面积有最大值,最大值是278,此时M点的坐标为(32,−154).
39.(2019•怀化)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.
①若S△PMN=2,求k的值;
②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;
③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)OB=1,tan∠ABO=3,则OA=3,OC=3,
即点A,B,C的坐标分别为(0,3),(﹣1,0),(3,0),
则二次函数表达式为:y=a(x﹣3)(x+1)=a(x2﹣2x﹣3),
即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
故函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,
点P(1,4);
(2)将二次函数与直线l的表达式联立并整理得:
x2﹣(2﹣k)x﹣k=0,
设点M,N的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=2﹣k,x1x2=﹣k,
则:y1+y2=k(x1+x2)﹣2k+6=6﹣k2,
同理:y1y2=9﹣4k2,
①y=kx﹣k+3,当x=1时,y=3,即点Q(1,3),
S△PMN=2=12PQ×(x2﹣x1),则x2﹣x1=4,
|x2﹣x1|=(x1+x2)2−4x1x2,
解得:k=±23;
②点M、N的坐标为(x1,y1),(x2,y2),点P(1,4),
则直线PM表达式中的k1值为:y1−4x1−1,直线PN表达式中的k2值为:y2−4x2−1,
为:k1•k2=y2−4x2−1•y1−4x1−1=y1y2−4(y1+y2)+16x1x2−(x1x2)+1=−1,
故PM⊥PN,
即:△PMN恒为直角三角形;
③取MN的中点H,则点H是△PMN外接圆圆心,
设点H坐标为(x,y),
则x=x1+x22=1−12k,
y=12(y1+y2)=12(6﹣k2),
整理得:y=﹣2x2+4x+1,
即:该抛物线的表达式为:y=﹣2x2+4x+1.
40.(2019•长沙)如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E.
①如图1,求证:CE=DE;
②如图2,连接AC,BE,BO,当a=33,∠CAE=∠OBE时,求1OD−1OE的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)令ax2+6ax=0,
ax(x+6)=0,
∴A(﹣6,0);
(2)①证明:如图,连接PC,连接PB,延长交x轴于点M,
∵⊙P过O、A、B三点,B为顶点,
∴PM⊥OA,∠PBC+∠BDM=90°,
又∵PC=PB,
∴∠PCB=∠PBC,
∵CE为切线,
∴∠PCB+∠ECD=90°,
又∵∠BDM=∠CDE,
∴∠ECD=∠CDE,
∴CE=DE.
②解:设OE=m,
∵∠CAE=∠CBO,∠CAE=∠OBE,
∴∠CBO=∠EBO,
由角平分线成比例定理可得:BDBE=ODOE,
即:(3+t)2+27(3+m)2+27=−tm,
∴m=6t−t−6,
∴−1m=t+66t,
∴1OD−1OE=−1t−1m,
=t+66t−1t,
=16.
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
…
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
5
2
1
2
5
…
中考试题分类(11)——圆(含解析): 这是一份中考试题分类(11)——圆(含解析),共53页。
2020年全国中考数学试题精选分类(6)二次函数(含解析): 这是一份2020年全国中考数学试题精选分类(6)二次函数(含解析),共64页。试卷主要包含了其中正确的结论的个数是等内容,欢迎下载使用。
2020年全国中考数学试题精选分类(8)四边形(含解析): 这是一份2020年全国中考数学试题精选分类(8)四边形(含解析),共89页。试卷主要包含了已知等内容,欢迎下载使用。