初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀达标测试

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀达标测试，共69页。试卷主要包含了【关注数学文化】等内容，欢迎下载使用。
《勾股定理》基础训练
知识点1 勾股定理的证明
1.利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_______________，该定理结论的数学表达式是____________.

2.在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积.利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？

知识点2 利用勾股定理进行计算
3.在中，的对应边分别是，若，则下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
5.已知直角三角形中角所对的直角边的长是，则另一条直角边的长是（ ）
A. B. C. D.

6.（2019·毕节）如图，点E在正方形ABCD的边AB上.若，则正方形ABCD的面积为（ ）

A. B.3 C. D.5
7.直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为_______.
8.如图，以直角三角形的三边为边长向外作三个正方形.若，则______________.

【变式1】如图，分别以的三边为边长向外作等边三角形.若，则三个等边三角形的面积之和是（ ）

A. B. C.18 D.12
【变式2】如图，以的三边为直径分别向外作三个半圆.若，则斜边上半圆的面积______________.

知识点3 赵爽弦图
9.【关注数学文化】（2019·咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A. B. C. D.
10.（2019·大庆）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是_________________.

易错点 边的类型不确定时漏解
11.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为________________.
《勾股定理》提升训练
1.如图，点E在正方形ABCD内，满足，则阴影部分的面积是（ ）

A.48 B.60 C.76 D.80
2.如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点A重合，点落在边AB上，连接.若，则的长为（ ）

A. B.6 C. D.
3.（2019·河南）如图，在四边形ABCD中，.分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）

A. B.4 C.3 D.

4.（2019·绵阳）在△ABC中，若，则△ABC等的面积是_______________.
5.在△ABC中，，求的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.


6.（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点作直线m于点直线m于点D.
（1）求证：.
（2）若设三边分别为，利用此图证明勾股定理.

基础参考答案
1. 勾股定理
2.解：梯形的面积为，
.
3. C 4. A 5. C 6. B 7. 6 8. 8 【变式1】A 【变式2】
9. B 10. 1 11. 13或
提升参考答案
1.C 2.A 3.A 4.75或25
5.解：在△ABC中，，设，则.由勾股定理，得.
.
解得.
6.证明：（1），，
..在和中，.
（2）由（1）知，
.
又，
，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
《勾股定理的逆定理》基础训练
知识点1 互逆命题
1.下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果，那么
2.（2019·安徽）命题“如果，那么互为相反数”的逆命题为_____________________.逆命题是_______________.（填“真命题”或“假命题”）
知识点2 勾股定理的逆定理
3.下列各组数是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2019·益阳）已知是线段AB上的两点，，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.在△ABC中，，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6.将勾股数扩大2倍，3倍，4倍，，可以得到勾股数，，则我们把这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：_________________________.
7.已知：在△ABC中，的对边分别是，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.
（1）；（2）；
（3）；（4）.

8.如图是一个零件的示意图，测量，，根据这些条件，你能求出的度数吗？试说明理由.




《勾股定理的逆定理》提升训练
1.如图，AD为△ABC的中线，且，则AC等于（ ）

A.10 B.11 C.12 D.13
2.下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于
3.【关注数学文化】（2018·长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
4.如图，方格中的点称为格点（横线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6
5.把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是______________三角形.
6.（教材P34习题T6变式）如图，在正方形ABCD中，分别是边上的一点，且，连接，求证：△AEF是直角三角形.

7.（教材P34习题T5变式）如图，在四边形ABCD中，，且.求：
（1）的度数；
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）；
（3）将△ABC沿AC翻折至，如图所示，连接，求四边形的面积.





8.（2019·呼和浩特改编）如图，在△ABC中，内角所对应的边分别为.
（1）若满足，求证：△ABC是直角三角形；
（2）若，（其中都是正整数，且），求证：△ABC是直角三角形.

基础参考答案
1.C 2.如果互为相反数，那么 真命题 3.A
4.B 5.B 6.答案不唯一，如：
7.解：（1）是，是直角.（2）不是.（3）是，是直角.（4）是，是直角.
8.解：，理由略.
提升参考答案
1.D 2.B 3.A 4.B 5.直角
6.证明：设，则.
，.在中，
.
在中，.
在中，.
是以为直角的直角三角形.
7.解：（1）.（2）.
（3）.
8.证明：（1）原式可变形为，即是以为直角的直角三角形.
（2），即是以为直角的直角三角形.


《勾股定理的应用》基础训练
知识点1 勾股定理在平面图形中的应用
1.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行__________________米.

2.【方程思想】（2018·湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一.在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，，求AC的长.如果设，那么可列方程为_______________.

3.八（2）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高为1.6米.
求风筝的高度CE.

4.如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5小时后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？

知识点2 两次勾股定理的应用
5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）

A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
6.（教材P25例2变式）如图，滑竿在机械槽内运动，为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑______________米.

知识点3 利用勾股定理求两点间的距离
7.（2019·常州）平面直角坐标系中，点到原点的距离是____________.
8.（教材P26练习T2变式）如图，在平面直角坐标系中，，则两点间的距离是_____________；两点间的距离是____________；两点间的距离是_____________.

9.（2019·大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港.
（1）求两港之间的距离（结果保留到，参考数据：）；
（2）确定C港在A港的什么方向.

《勾股定理的应用》提升训练
1.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）

A.4米 B.8米 C.9米 D.7米
2.（2019·南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有____________.

3.【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为，离秋千支柱AD的水平距离BE为（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.

4.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处.这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，试判断此车是否超过了的限制速度？



5.如图，在Rt△ABC中，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值.

基础参考答案
1.10 2. 3.解：风筝的高度CE为21.6米.
4.解：乙船每小时航行12海里.
5.C 6. 0.5 7. 5 8. 5 5
9.解：（1）两港之间的距离约为.
（2）C港在A港北偏东的方向上.
提升参考答案
1.D 2. 5 3.解：秋千支柱AD的高为.
4.解：在Rt△APO中，，则，
.在Rt△BPO中，，则从A到B小车行驶的速度为此车超过的限制速度.
5.解：（1）.（2）当△ABP为直角三角形时，或.


《利用勾股定理作图》基础训练
知识点1 在数轴上表示无理数
1.（2019·南通改编）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）.以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数为（ ）

A. B. C. D.4
2.在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）.







3.利用如图的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和.

知识点2 网格中的无理数
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段AB的长度为（ ）

A. B. C. D.3
5.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）如图2所示，是小正方形的顶点，求的度数.

知识点3 等腰三角形中的勾股定理
6.将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若，则_________.


7.（2019·天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
8.（教材P27练习T2变式）如图，在△ABC中，，求等腰三角形的底边上的高与面积.

《利用勾股定理作图》提升训练
1.如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）

A. B. C. D.
2.如图，图中小正方形的边长为的周长为（ ）

A.16 B. C. D.
3.（教材P27练习T1变式）如图，数轴上点A所表示的实数是_______________.

4.点在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离为_____________.

5.如图，△ABC和△CDE都是边长为4的等边三角形，点在同一条直线上，连接BD，求BD的长.




6.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.
（1）在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为时，求正方形EFGH的面积；
（2）在图2中再画一个格点弦图，并求出正方形EFGH的面积.





7.仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.
；
；
；
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出的长；
（3）求出的值.














基础参考答案
1.C 2.略. 3.略. 4.C
5.解：（1）图略.（2）.
6. 7.B
8.解：过点A作于点，
.，即等腰三角形底边上的高为.

提升参考答案
1.D 2.B 3. 4.
5.解：.
6.解：（1）正方形EFGH的面积为5.（2）略.
7.解：（1）（为正整数）.
（2）.（3）.
章末复习 勾股定理
分点突破
知识点1 勾股定理
1.如图，在中，，则（ ）

A.6 B. C. D.12
2.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为____________.

3.如图，在中，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则____________________.

4.如图，在四边形ABCD中，.求证：.

知识点2 勾股定理的应用
5.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（ ）

A. B. C. D.
6.你听说过亡羊补牢的故事吧.为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽，长的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需___________长.
7.如图，O为数轴原点，两点分别对应，作腰长为4的等腰，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为___________.

知识点3 逆命题及逆定理
8.“同旁内角互补”的逆命题是____________________，它是___________命题.
知识点4 勾股定理的逆定理及其应用
9.在中，，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
10.在中，的对边分别为且，则下列说法正确的是（ ）
A.是直角 B.是直角 C.是直角 D.是锐角
易错题集训
11.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是__________.
12.（2018·襄阳）已知CD是的边AB上的高，若，则BC的长为___________________.
常考题型演练
13.如图，在中，，点D在BC上，，则BC的长为（ ）

A. B. C. D.
14.如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A. B. C. D.
15.如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

A. B. C. D.



16.如图，在中，是线段BC上的动点（不含端点）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
17.若一个三角形的周长为，一边长为，其他两边之差为，则这个三角形是___________________.
18.（2019·枣庄）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点在同一直线上.若，则_________________.

19.（2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了三地的坐标，数据如图（单位：）.笔直铁路经过两地.

（1）间的距离为____________；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到的距离相等则间的距离为_____________.
20.如图，有一块空白地，.试求这块空白地的面积.

参考答案
1.C 2.64 3.2
4.证明：连接在中，，
在中，
.
5.D 6. 7. 8.互补的两个角是同旁内角 假 9.B
10.C 11.100或28 12.或 13.D 14.A 15.B
16.C 17.直角三角形 18. 19.（1）20（2）13
20.解：这块空白地的面积为
模拟练：勾股定理
三年模拟全练
一、选择题
1.（2019山西阳泉平定期末，6，★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）

A. B. C. D.
2.（2019浙江温州瑞安西部学校期末，10，★★☆）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则AB的长为（ ）

A.6 B. C. D.
3.（2019河南漯河临颖期末，5，★★☆）下图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中，连接EF，则EF的长是（ ）

A.7 B.8 C. D.
二、填空题
4.（2019上海浦东新区第四教育署期末，17，★★☆）将一副三角尺按图所示的方式叠放在一起，如果，那么.

5.（2019江苏扬州高邮期末，17，★★☆）如图，在Rt△ABC中，于D，CE平分∠ACD交AB于E，若，则________.

6.（2017江苏南京师大附中第一阶段测试，15，★★☆）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为若，则的值是________.

中考全练
一、选择题
1.（2019河南中考，9，★★☆）如图，在四边形ABCD中，.分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）

A. B.4 C.3 D.
2.（2019浙江宁波中考，12，★★☆）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）

A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.两个较小正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题
3.（2018湖北襄阳中考，15，★★☆）已知CD是△ABC的边AB上的高，若，则BC的长为_______.
4.（2019内蒙古通辽中考，15，★★☆）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_______.
参考答案
模拟全练
一、选择题
1.
答案：C
解析：由勾股定理得，，点A的横坐标为，故选C.
2.
答案：A
解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
，
，故选A.
3.
答案：C
解析：由题意知，△AEB≌△BHC，，
同理，，故选C.
二、填空题
4.
答案：
解析：在△ACB中，
，在Rt△ACF中，由勾股定理，得，故答案为.
5.
答案：1.5
解析：，
平分.
又，
，设，则，
，解得，即.
6.
答案：3
解析：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积都为y，
正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，
，
，故答案为3.
中考全练
一、选择题
1.
答案：A
解析：如图，连接FC，则.
易证△FOA≌△BOC（AAS），，
.在△FDC中，
.故选A.

2.
答案：C
解析：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边的长为b，较短直角边的长为a，则，阴影部分的面积，
易知两个较小正方形重叠部分的宽，长，
则两个较小正方形重叠部分的面积，
所以若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出两个较小正方形重叠部分的面积，故选C.
二、填空题
3.
答案：或
解析：分两种情况：
（1）当△ABC是锐角三角形时，如图①，
，
，
，
，
，
；
（2）当△ABC是钝角三角形时，如图②，
同理得，则，
.
综上所述，BC的长为或.


4.
答案：6或或
解析：①如图1，当，
底边长为6；
②如图2，当时，，
，
底边长为；
③如图3，当时，，
底边长为.
综上，三角形的底边长为6或或.


模拟练：勾股定理的逆定理
三年模拟全练
一、选择题
1.（2019浙江金华婺城期末，7，★☆☆）下列条件中，不能判断三角形为直角三角形的是（ ）
A.三个角的比是
B.三条边长满足关系
C.三条边长的比是
D.三个角满足关系
2.（2019重庆江北新区联盟期中，9，★☆☆）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，那么它们的积是正数.它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.（2017山西阳泉孟县期中，9，★★☆）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A.南偏东60° B.南偏西60° C.北偏西30° D.南偏西30°
二、填空题
4.（2018山西吕梁孝义期末，13，★★☆）勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第5个勾股数组为_______.
5.（2019河南信阳固始期末，12，★★☆）如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，那么需要绿化部分的面积为_______.

6.（2019福建龙岩新罗期末，15，★★☆）如图，在△ABC中，边上的中线，则△ABD的面积是_______.

三、解答题
7.（2019四川达州达川期末，21，★★☆）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为格点.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高.

中考全练
一、选择题
1.（2018湖南长沙中考，11，★★☆）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
二、填空题
2.（2019安徽中考，12，★☆☆）命题“如果，那么互为相反数”的逆命题为______.
3.（2019北京中考，12，★★☆）如图所示的网格是正方形网格，则______°（点是网格线的交点）.

三、解答题
4.（2019河北中考，21，★★☆）已知整式，整式.
尝试：化简整式A；
发现：，求整式B；
联想：由上可知，，当时，为直角三角形的三边长，如图.

填写下表中B的值：

参考答案
模拟全练
一、选择题
1.
答案：C
解析：A.三个角的比为，设最小的角为x，则，解得，则，故此三角形是直角三角形；B.三条边长满足关系，即，故此三角形是直角三角形；C.三条边长的比为，不妨设三条边长分别为2，3，4，则，故此三角形不是直角三角形；D.三个角满足关系，因为，即，所以∠A为90°，故此三角形是直角三角形.故选C.
2.
答案B
解析：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
②全等三角形的对应边相等的逆命题是各边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题；
③如果两个实数是正数，那么它们的积是正数的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数，是假命题.故选B.
3.
答案：A
解析：如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，甲客轮走了，乙客轮走了.
两点间的直线距离为，
，
甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选A.

二、填空题
4.
答案：
解析：在勾股数组：中，
，可得第4组勾股数组中间的数为，故对应的勾股数组为；
第5组勾股数组中间的数为，故对应的勾股数组为，
故答案为.
5.
答案：
解析：，
，
△ABC为直角三角形，
需要绿化部分的面积
，故答案为.
6.
答案：15
解析：如图，延长AD到点E，使，连接是BC边上的中线，
，
在△ABD和△ECD中，
△ABD≌△ECD（SAS），，
，
△ABD为直角三角形，△ABD的面积，故答案为15.

三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）△ABC是直角三角形.
理由：，
，
△ABC是直角三角形.
（2）设BC边上的高为h，则有，
，
.
中考全练
一、选择题
1.
答案：A
解析：依题意得三角形沙田的三边长分别为2.5千米，6千米，6.5千米，因为，所以这个三角形为直角三角形直角边长分别为2.5千米和6千米，所以该沙田的面积（平方千米），故选A.
二、填空题
2.
答案：如果互为相反数，那么
解析：
3.
答案：45
解析：如图，延长AP交网格边缘于D，连接BD，设每个小正方形的边长为1，则，
，
.

三、解答题
4.
答案：见解析
解析：尝试 .
发现 .
联想 勾股数组I .
勾股数组II .
模拟练：勾股定理的应用
三年模拟全练
一、选择题
1.（2019吉林长春绿园期末，8，★☆☆）如图8，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度为（ ）

A.4米 B.5米 C.6米 D.7米
2.（2017湖北襄阳枣阳期中，4，★☆☆）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在如图所示的数轴上的2个单位长度的位置找到一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段CD，CD长为3个单位长度，以原点O为圆心，OC长为半径作弧，交数轴（原点右侧）于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间

3.（2019广东深圳宝安期末，10，★★☆）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）

A.2.7米 B.2.5米 C.2米 D.1.8米
4.（2019江苏无锡一模，9，★★☆）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
5.（2019江西赣州全南期末，11，★☆☆）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为______.
三、解答题
6.（2019江苏扬州邗江梅岭中学期末，25，★★☆）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端1m，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面的高度为1m，如果设旗杆的高度为xm（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值.




中考全练
一、选择题
1.（2018四川凉山州中考，3，★☆☆）如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（ ）

A.3 B. C. D.
二、填空题
2.下图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，则警示牌的高CD约为______米（结果精确到0.1，参考数据：）.

3.（2019江苏南京中考，12，★★☆）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分的长度至少为______cm.

4.（2019河北中考，19，★★☆）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了三地的坐标，数据如图（单位：km）.笔直铁路经过两地.

（1）间的距离为______km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的，并在上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km.
三、解答题
5.（2019黑龙江大庆中考，22，★★☆）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行10km至B港，然后沿北偏西方向航行10km至C港.
（1）求A，C两港之间的距离（结果精确到0.1，参考数据：）；
（2）确定C港在A港的什么方向.

参考答案
模拟全练
一、选择题
1.
答案：D
解析：在Rt△ABC中，米，故可得地毯长度米，故选D.
2.
答案：B
解析：由勾股定理得，，
，
该点位置大致在数轴上3和4之间.故选B.
3.
答案：A
解析：由题意可得米，在△ABC中，
米，
米，小巷的宽度为（米）.故选A.

4.
答案：D
解析：如图，设圆柱底面圆的圆心为O，连接BO，AO，当吸管底部在O点时，吸管在罐内部分最短，即a的值最小，此时；
当吸管底部在A点时，吸管在罐内部分最长，此时a的值最大，在Rt△ABO中，，故此时，所以，
则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是.故选D.

二、填空题
5.
答案：
解析：如图，折断处离地面的高度为x尺，尺，
尺，在Rt△ABC中，，即.
故答案为.

三、解答题
6.
答案：见解析
解析：如图，由题意可得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
解得.
答：x的值为12.5.

中考全练
一、选择题
1.
答案：D
解析：于.在Rt△OAB中，由勾股定理得.故选D.
二、填空题
2.
答案：2.9
解析：米，米，米，米，米，，
即，
米，则（米），故答案为2.9.
3.
答案：5
解析：由题意可得：杯子内的木筷长度最长为，则木筷露在杯子外面的部分的长度至少为.故答案为5.
4.
答案：（1）20；（2）13
解析：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：轴，
.
（2）如图，过点C作于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线CE于点D，连接AD，
则，
设，
在△ADE中，由勾股定理可知，
，即.

三、解答题
5.
答案：见解析
解析：（1）由题意可得，，
，
.
.
答：A、C两港之间的距离约为14.1km.
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
，
，
港在A港北偏东15°的方向.
小专题（二）：方程思想在勾股定理中的应用
【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）




方法指导
在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠.
针对训练
类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系
1.求下列直角三角形中未知的边长.


类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系
2.如图，在中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）

A. B. C. D.5
3.如图，在长方形纸片ABCD中，已知，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且，则____________.

4.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合.若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为_______________.


类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标
5.如图，在平面直角坐标系中，，试在x轴上找一点P，使为等腰三角形，求出P点的坐标.

参考答案
【教材母题】解：折断处离地面尺.
针对训练
1.解：图1，.图2，.
2.C 3.6 4.
5.解：使为等腰三角形的点P有：.
小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题
【例】如图，有一个圆柱，它的高等于，底面半径等于，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（取3）

【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.


【方法指导】
几何体中最短路径基本模型如下：

变式训练
1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____________.
（杯壁厚度不计）

2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是_____________.

3.如图，长方体的高为，底面长为，宽为.
（1）点到点之间的距离是多少？
（2）若一只蚂蚁从点爬到，则爬行的最短路程是多少？
参考答案
【例】解：需要爬行的最短路程是.
变式训练
1.20 2.
3.解：（1）长方体的高为，底面长为，宽为，.
（2）如图1所示，.如图2所示，.如图3所示，一只蚂蚁从点爬到，爬行的最短路程是.

专项综合全练：勾股定理
类型一 用勾股定理求最短距离问题
（一）平面中的最短路径问题
一、解答题
1.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点，在AC上有一点P，使最短，求的最短长度.

2.高速公路的同一侧有A、B两个城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为.要在高速公路上之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最小距离.

（二）立体图形中的最短路径问题
一、选择题
3.下图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（ ）

A.13cm B.40cm C.130cm D.169cm

二、填空题
4.如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径.若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______（结果保留根号）.

5.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

类型二 用勾股定理解决折叠问题
一、解答题
6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长.





7.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
（1）求证：；
（2）设，请写出一个三者之间的数量关系式.


类型三 用勾股定理解决非直角三角形的问题
一、解答题
8.如图，在△ABC中，.求BC的长.

类型四 勾股定理在探究动点的存在性问题中的应用
一、解答题
9.如图，在Rt△ABC中，，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值；



10.如图，在△ABC中，，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动.若点M，N分别从A，B同时出发.
（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形？
（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形？

参考答案
1.
答案：见解析
解析：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.此时最短.

易知，且，则.
，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
的最短长度为5.
2.
答案：见解析
解析：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口.此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最小距离为AC的长.作于点，
这个最小距离为10km.

3.
答案：C
解析：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线.

，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得，所以.所以壁虎至少需爬130cm.
4.
答案：
解析：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平，得长方形，连接AC，如图.
线段AC就是小虫爬行的最短路线.
根据题意得.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
.

5.
答案：见解析
解析：分为三种情况：
（1）如图①，连接EC.
在Rt△EBC中，，
由勾股定理，得.
（2）如图②，连接EC.
同理可得.
（3）如图③，连接EC.
同理可得.
综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.

6.
答案：见解析
解析：（1）证明：在正方形ABCD中，.
将△ADE沿AE对折至△AFE，
.
.
又Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）.
（2）△ABG≌△AFG，.
设，则，
为CD的中点，.
在Rt△CEG中，，解得.
.
7.
答案：见解析
解析：（1）证明：由题意知，.
在长方形ABCD中，，
，
，
.
（2）由题意知，，
由知，，
即.
8.
答案：见解析
解析：过点A作于点D，
.
又，
，
.
在Rt△ACD中，.
在Rt△ABD中，.
.
9.
答案：见解析
解析：（1）在Rt△ABC中，，
.
（2）由题意知，
如图a，当为直角时，点P与点C重合，，即；
如图b，当∠BAP为直角时，，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得.
故当△ABP为直角三角形时，或.

（3）如图c，当时，；
如图d，当时，；
如图e，当时，，
在Rt△ACP中，，
所以，
解得.

综上所述，当△ABP为等腰三角形时，或8或.
10.
答案：见解析
解析：（1）设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则，
根据题意得，解得.
所以经过10秒，△BMN为等边三角形.
（2）设经过x秒，△BMN是直角三角形.
根据题意分两种情况讨论：
①当时，如图1所示.，即，
解得；

②当时，如图2所示.，即，解得.
即经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形.