数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试综合训练题

勾股定理同步练习

17.1.1 勾股定理(1)

1．填空：

(１)如图，在下列横线上填上适当的值：

(２)求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．

图（１）阴影部分的面积为＿＿＿＿；　　　图（２）阴影部分的面积为＿＿＿＿；

图（３）阴影部分的面积为＿＿＿＿；

(３)直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为＿＿＿＿＿＿．

2．选择题：

(1)    如图,在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=1O,

则高AD的长为（      ）

A. 10     B. 5     C.12   D.

(2)在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（   ）

A、5、4、3、； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10

3．你能用面积法来验证勾股定理吗？

4．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

．

17.1.2  勾股定理(2)

1．   填空：

(1)△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=＿＿＿＿

(2)如图(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应_________米．

(3)如图(2)为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.

2.选择题:

(1) 两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（      ）

A. 50cm       B. 100cm        C. 140cm        D. 80cm

(2) 一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为  （    ）

（A）4      （B）8      （C）10     （D）12

3. 如图，在一块由边长为1米的正方形的地砖铺设的广场上，一只鸽子飞来落在点处，鸽子要吃到小朋友撒在、处的鸟食，最少需要走多远？

4.如图,一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支11cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管能否露出杯口外?若能请求出露在外面的长度,若不能请说明理由?

17.1.3 勾股定理(3)

1.填空题:

(1)如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是_______.___。

(2)如图,AC⊥CE,AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝         。

(3) 如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，

斜边长是5 cm，那么这个直角三角形的周长是               ；

2.选择题:

(1)    如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，

且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　）

     A、4  B、3  C、5  D、4.5

(2)如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬

到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（  ）．

A. 20cm      B. 10cm    C. 14cm    D.  无法确定

3.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?

4. 印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”

请用学过的数学知识回答这个问题。

17.1.1勾股定理(4)

1.填空题:

(1)如图(1),数轴上点A所表示的数为_____________,点B所表示的数为____________.

(2)如图(2)，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， 则CD等于_________cm.

            图（1）                                  图（2）

3．   如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

且AB+BC=18cm,若要求出CD和AC的长,

还需要添加________条件?根据你加的条件,求

的CD 和AC的长分别是________________.

一.     选择题:

4.学了本节课后,三位同学在小结时每人说了一句话

小明说:“任何一个实数都可以在数轴上表示出来.”

小华说：“数轴上任何一点所对应的数都可以用一个实数来表示.”

小王说：“其实数轴上点与实数是一一对应的.”

 聪明的同学,你知道他们说的话中正确句数为 (      )

A.  0          B.  1            C.  2              D. 3

5. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点, 记（i = 1，2，……，10），那么，  的值为  (     )

A.   4        B.   14         C.   40       D.不能确定.

三.解答题:

6.在数轴上分别作出表示 和 的点.

17．2．1 勾股定理的逆定理

1. 填空题:

(1)判断由下列线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

1)a=7，b＝24，c＝25.          (     )

2)a=3，b＝7，c＝.       (     )

3)a=, b=1, c=.          (      )

(2)命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________________________________

________,它是______命题.(填“真”或“假”)

  (3)现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为_____________

2.选择题:

(1)下列各组能组成直角三角形的是…………………………………………… (      )

A.4、5、6        B.2、3、4        C.11、12、13         D.8、15、17

(2)下列命题中,为假命题的是……………………………………………………(      )

1. 三角形的三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形是直角三角形;
2. 三角形的三个内角度数之比为1:1:2,那么这个三角形是直角三角形;
3. 三角形的三边长度之比为3:4:5,那么这个三角形是直角三角形;
4. 三角形的三边长度之比为8:16:17,那么这个三角形是直角三角形.

3.请写出下列命题的逆命题,并判断真假:

(1)      两直线平行,同位角相等;

(2)      同角(等角)的余角相等;

(3)      如果两个实数相等,那么它们的立方相等;

(4)线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.

4．如图,每个小方格都是边长为1的小正方形, △ABC的位置如图所示,你能判断△ABC是什么三角形吗?请说明理由.

17．2．2 勾股定理的逆定理

1.填空题:

(1)下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？

1) a=25     b=20    c=15     _______      ________

2) a=1      b=2     c=       _______      ________

3) a=41     b=9     c=40     _______      ________ 

(2)木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，则这个桌面            .（填“合格”或“不合格”）

(3)已知一个三角形的三边长分别为12、16、20,则这个三角形的面积是___________.

2．选择题：

(1)△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a-b)=c2，则………………………………(    )

A .a边的对角是直角                 B. b边的对角是直角

C. c边的对角是直角                 D. 不是直角三角形

(2)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）

3.一艘渔船自港口先向正东方向航行了600千米，然后转向又航行了250千米，这时它离出发点650千米,则这艘渔船转弯后向哪个方向航行?

4.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=.

(1)求AD的长；

(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由.

.

17．2．3 勾股定理的逆定理

1.填空题:

(1) 李师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠

与两撑脚垂直，如图所示，撑脚长3m，两撑脚间距离BC为

2m，则AC=          ，就可以符合要求.

(2)三边长为三个连续偶数的三角形会不会是一个直角三角形，如可能,那么这三条边为

  __________________.

(3)在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°。

2..选择题:

(1)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是……………(     )

A. 钝角三角形;      B. 锐角三角形;     C. 直角三角形;    D. 等腰三角形.

(2)小江和小赵二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小江走直线用了10分钟，,小赵先去家拿了钱去图书馆，小赵到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小赵从公园到图书馆拐了……………………………………………………………………… (     )

A.锐角             B.直角             C.钝角            D.不能确定.

3.如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积.

4.如图，要做一个形如直角三角形状的三脚架,现已知CD⊥AB于D，且有,这个三脚架符合要求吗?  (提示:通过说明AB2=AC2+BC2来解决)

勾股定理自测题

一．   填空题：

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。

3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”)

6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c2＝          ＋         ,化简后即为c2＝          ．

8．   一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

二．   选择题：

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有(    )组

   A. 1             B. 2          C. 3             D. 4

10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（      ）

A. 6           B.４      C. 64           D. 8

11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （　　　　　）

Ａ．　　１３　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．１３或　　　Ｄ．　不能确定

12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（　　）

     A、①②   B、①③   C、①④   D、②④

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(      )

A. 等边三角形;   B. 钝角三角形;  C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （　　）

   A、25海里  B、30海里  C、35海里  D、40海里

15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（　　）

     A、40   B、80  C、40或360  D、80或360

16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）

  A、450a元  B、225a 元  C、150a元   D、300a元

三．解答题：

17．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的周长和面积。

18.(1)在数轴上作出表示 的 点.

  (2)在第(1)的基础上分别作出表示 1- 和 +1的点.

19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，  求竹竿高与门高。

20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

21．学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a+b=c,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!

     (1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a+b______c(填写“>” ,“<”, 或“=”);

  (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a+b=______c(填写“>” , “<”, 或“=”);

(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想出什么结论？

22.(1) 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边分别是2和3. 求中间小正方形的面积.

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.

（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应的数据）

勾股定理的参考答案

17.1.1  1 (1) 10,2.5,9,9;   (2)  1,81,5;  (3)  60/13;2(!)C;  (2)D;  3.略;  4.  50.

17.1.2  1(1) 6cm; (2) 2.5 ;  (3) 7;  2(1) B  (2) C;  3.  18;  4.  11-2.

17.1.3  1(1)12m;  (2)  12;  (3) 3+5; 2(1)B; (2)B   3.  10;  4.  3.75.

17.1.4  1(1) -,;  (2) 3;  3.略;  2(1) D; (2)C;  6.略 

17.2.1  1(1)是,是,不是;  (2)有两只角相等的三角形是等腰三角形.真;  (3) 30cm; 

2.(1)D;  (2)  D;  3.略; 4.略.

17.2.2  1(1).1)是, C; 2)是, B; 3)是, C; (2)合格. (3) 96; 2(1)A; (2)C;

3.正北或正南;4.(1)16/5,(2)略.

17.2.3  1(1) (2) 6,8,10; (3) 2.5; 2(1)C;(2) B;  3.   216;  4.略.

自测题 1.13,15;  2.直角三角形;  3.  12;   4.  6,8, 10,勾股定理的逆定理;  5.相等的角是对顶角,假;  6.35+12=37;  7.  4×0.5ab+(a-b),a+b; 8.  10;  9.B; 10. B;  11.C;12.C; 13.C; 14.D; 15.C; 16.D; 17.周长为3++3,面积为12.5;  18.略,19.8.5

20.24,7; 21.略;  22.(1)1,(2)