初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形精品一课一练

北师大版2021年八年级下册1.1《等腰三角形》课时训练

一．选择题

1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）

A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° 

C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝5，则∠A＝（　　）

A．60° B．45° C．30° D．90°

3．在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝72°，则∠A＝（　　）

A．72° B．45° C．36° D．30°

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AD是中线，长度是3cm，则AB的长是（　　）

A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm

5．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）

A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC

6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（　　）

A．30° B．25° C．15° D．10°

7．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　）

A．4 B．30 C．18 D．12

8．下列四个说法：

①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；

②等腰三角形的两腰上的中线长相等；

③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；

④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．

其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2 C．3 D．4

9．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）

A．10 B．13 C．17 D．13或17

10．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）

A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°

二．填空题

11．若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为　   　．

12．观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2020这个数在　   　个第三角形的　   　顶点处（第二空填：上，左下，右下）．

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝14，则AC＝　   　．

14．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设　   　．

15．如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　   　s时，△POQ是等腰三角形．

三．解答题

16．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．

17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．

18．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．

（1）求证：AE＝ED；

（2）若AC＝2，求DE的长．

20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

参考答案

一．选择题

1．解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．

B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．

C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．

D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．

故选：D．

2．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝5，

∴CB＝AB，

∴∠A＝30°，

故选：C．

3．解：∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝72°，

∴∠A＝180°﹣72°×2＝36°．

故选：C．

4．解：∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝＝30°，AD⊥BC，

∵AD＝3cm，

∴AB＝6cm，

故选：C．

5．解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．

故选：A．

6．解：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝（180°﹣60°）÷2＝60°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．

故选：C．

7．解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，

∴△ADE的周长为12．

故选：D．

8．解：如图1，∵在△ABD中，∠BDA＝90°，则AC＝AB≥BD，

∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；

如图2，∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，

∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．

在△BDC和△CEB中，

，

∴△BDC≌△CEB（SAS）．

∴BD＝CE，故②正确；

∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；

∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，

∴只能三边是10，10，5，

∴它的周长是25，故④错误．

故选：A．

9．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；

②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；

综合上述：三角形的周长是17，

故选：C．

10．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；

当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；

故顶角的度数为80°或20°．

故选：D．

二．填空题

11．解：

当110°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣110°＝70°；

当110°外角为顶角的外角时，则其顶角为：70°，则其底角为：＝55°，

故答案为：70°或55°．

12．解：∵2020÷3＝673……1，673+1＝674，

∴2020这个数在第674个三角形上，且所在的位置与1所在的位置相同，

∴2020这个数在第674个第三角形的上顶点处．

故答案为：第674；上．

13．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝14，

∴AC＝AB＝×14＝7．

故答案为：7．

14．解：用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．

故答案为：∠A≤60°．

15．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，

设t时后△POQ是等腰三角形，

有OP＝OC﹣CP＝OQ，

即12﹣3t＝2t，

解得，t＝s；

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，

当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，

∴△POQ是等边三角形，

∴OP＝OQ，

即3t﹣12＝2t，

解得，t＝12s

故答案为或12．

三．解答题

16．证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；

那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；

这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．

17．解：∵BD＝CD，

∴∠BCD＝∠CBD，

设∠BCD＝∠CBD＝x°，

∵AB＝BC＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，

∴∠ABC＝3∠C＝3x°，

∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，

∴5x＝180，

解得x＝36，

∴∠C＝36°

∴∠ABC＝3∠C＝108°．

18．证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，

∵AD＝AE，

∴DF＝EF，

∵BD＝CE，

∴BF＝CF，

∴AB＝AC．

（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，

∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，

19．（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴CD＝AD＝BD＝AB，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°，

∴∠A＝∠ADC，

∴AC＝DC，

∵CE垂直于AB于点E，

∴AE＝ED；

（2）解：∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠ACE＝30°，

∴AE＝AC，

∵AC＝2，AE＝DE，

∴DE＝AE＝1．

20．解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC＝DC，

∵∠OCD＝60°，

∴△OCD是等边三角形．

（2）△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC≌△ADC，α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，

∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，

∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，

∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．

①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°．

②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

③当∠ADO＝∠OAD时，

α﹣60°＝50°，

∴α＝110°．

综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．