人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理图文课件ppt

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人教版八年级数学下册第十七章
17.2 勾股定理的逆定理
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？
　还有没有其他的方法呢？
有两个角的和是90°。
　据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
下面的两组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
2.5，6，6.5； 6，8，10。
画出图形,它们都是直角三角形吗？
用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数
这三组数都满足a2+b2=c2吗？
　如何证明这样的结论呢？
命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形.
证明思路：先画一个Rt△A′B′C′,使∠ C′= 90° B′C′=a, C′A′=b
证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C‘=a, C’A’=b。
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’2= a2+b2
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
　直角三角形的判定定理
判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长？
在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。　　如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
怎样得到一个命题的逆命题？
把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗？
（2）如果a2=b2，那么a=b；
（3）等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等．
逆命题：如果a=b，那么a2=b2
　　 逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
　　例1　判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直 角三角形： （1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14；
　　分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
　　像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
解：（1） 152+82=289；172=289所以 152+82=172，这个三角形是直角三角形。
例2：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意得：PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∠QPR=90°由轮船沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。所以∠PRS=45°，即沿西北方向航行。
1.有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（　）（1）一个内角等于另外两个内角之差：（2）三个内角度数之比为3：4：5；（3）三边长度之比为5：12：13； （4）三边长分别为7、24、25．A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断，从而得到答案
分析：(1）∵一个内角等于另外两个内角之差，∴∠A=∠B-∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故是直角三角形；（2）∵三个内角度数之比为3：4：5；∴设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；（3）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．所以有三个直角三角形，故选C．
2.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（　　）A．400mB．525mC．575mD．625m
解析：如下图所示，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，∴△ABC∽△DEA，∴AE：BC=DE：AB，求得AE=225m∴CE=AC-AE=275，从B到E有两种走法：①BA+AE=625m；②BC+CE=575m，∴最近的路程是575m．故选C．
3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中点，AD=2，求△ABC的面积。
　　1、已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长
解析：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，∴AB2+AC2=25，∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，解得k=2或-5（舍去负数）；
（2）∵△ABC是等腰三角形；∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0，解得k不存在；当AB=BC时，即AB=5，∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，解得k=3或4，∴AC=4或6∴△ABC的周长为14或16。
2、若ABC三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断ABC的形状。
分析：要判断ABC的形状，须先求出三边的长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
解析：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0即：(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0解得：a=5，b=12，c=13∵52+122=132∴ a2+b2=c2∴ ∠ C=90°，ABC是直角三角形。
1、勾股定理的逆定理：
1.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？