2021届二轮复习 小题分类练六 作业（全国通用）

小题分类练(六)　创新迁移类

1．已知集合P，Q为两个非空数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　)

A．9　 　　　 B．8　 　　　

C．7　 　　　 D．6

2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．－8   B．8 

C．－8或8   D．6

3．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝[x[x]]在(－1，1)上(　　)

A．是奇函数　　　　　　 　   B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．是增函数

4．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”：X⊕Y＝(∁UX)∪Y，对于任意集合X，Y，Z，X⊕(Y⊕Z)＝(　　)

A．(X∪Y)∪(∁UZ)   B．(X∩Y)∪(∁UZ)

C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z   D．(∁UX)∪(∁UY)∪Z

5．对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是(　　)

A．若a*b＝a*c，则b＝c   B．(a*b)c＝a(b*c)

C．a*b＝(－a)*b   D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c

6．已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．(－1，1)   D．(－∞，－1)∪(1，2)

7．已知点M(－1，0)和N(1，0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：

①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；

③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.

其中是“椭型直线”的是(　　)

A．①③   B．①② 

B．C．②③   D．③④

8．若集合A满足：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A是“好集”，那么下列结论正确的个数是(　　)

①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A．0   B．1 

C．2   D．3

9．设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”，下列为“H函数”的是(　　)

A．y＝sin xcos x＋cos2x   B．y＝ln x＋ex

C．y＝2x   D．y＝x2－2x

10．在平面斜坐标系xOy中∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为：“若＝x0e1＋y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)．”若F1(－1，0)，F2(1，0)，且动点M满足||＝||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为(　　)

A．x－y＝0   B．x＋y＝0

C.x－y＝0   D.x＋y＝0

11．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．

12．对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)＝的下确界为________．

13．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：对任意a∈R，a*0＝a；对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．关于函数f(x)＝(ex)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为________．

14．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是________．

15．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．

16．定义平面向量的一种运算：a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则下列命题：①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；③(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝|x1y2－x2y1|.其中真命题是________．

17．已知定义域为A的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈A，都有f(x1＋x2)－f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为“定义域上的M函数”，给出以下五个函数：

①f(x)＝2x＋3，x∈R；②f(x)＝x2，x∈；③f(x)＝x2＋1，x∈；④f(x)＝sin x，x∈；⑤f(x)＝log2x，x∈[2，＋∞)．

其中是“定义域上的M函数”的个数为________．

小题分类练(六)

1．解析：选B.根据乘法原理可知a∈P，b∈Q，则a＋b共可得出3×3＝9个结果，但0＋6＝5＋1＝6，故根据集合中元素的互异性知P＋Q中元素的个数是9－1＝8.

2．解析：选B.cos θ＝＝＝－，而0≤θ≤π，所以sin θ＝，所以|a×b|＝2×5×＝8.

3．解析：选C.当－1＜x＜0时，[x]＝－1，所以x[x]∈(0，1)，故f(x)＝[x[x]]＝0；当0≤x＜1时，[x]＝0，故f(x)＝[x[x]]＝0，所以当x∈(－1，1)时，函数f(x)恒等于0，故f(x)在(－1，1)上既是奇函数又是偶函数．

4．解析：选D.由定义运算得X⊕(Y⊕Z)

＝X⊕[(∁UY)∪Z]＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]＝(∁UX)∪(∁UY)∪Z.

5．解析：选C.a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|·sin θ·c，a(b*c)＝|b||c|·sin α·a，故B不正确；a*b＝|a|·|b|sin θ＝|－a||b|·sin(π－θ)＝(－a)*b，故C正确，D不正确．

6．解析：选D.依题意并结合图形(图略)分析可知，圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的圆心(a，0)应在不等式2x＋y≤4表示的平面区域内，且(a，0)不在直线2x＋y＝4上，即有，由此解得a＜－1或1＜a＜2.因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，2)．

7．解析：选C.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.对于①，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于③，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．

8．解析：选C.①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B相矛盾；②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且当x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，进而有x－(－y)∈A，即x＋y∈A.

9．解析：选B.由y＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋＝＋sin，

由f(x)＋f(y)＝1＋sin＋sin＝0，

取x＝，可得sin＝－1－＜－1，y不存在，故A不为“H函数”；

由y＝ln x＋ex，且f(x)＋f(y)＝ln x＋ex＋ln y＋ey＝0，由于y＝ln x＋ex单调递增，且x→0，y→－∞，x→＋∞，y→＋∞，

即有任意一个x(x＞0)，可得唯一的y，使得f(x)＝－f(y)，故B为“H函数”；

由y＝2x可得2x＞0，2x＋2y＝0不成立，故C不为“H函数”；

由y＝x2－2x，若f(x)＋f(y)＝x2－2x＋y2－2y＝(x－1)2＋(y－1)2－2＝0，

可取x＝3，可得y无解，故D不为“H函数”．

故选B.

10．解析：选D.设M(x，y)，则＝－(x＋1)e1－ye2，＝－(x－1)e1－ye2，因为||＝||，故(x＋1)2＋y2＋2(x＋1)y×＝(x－1)2＋y2＋2(x－1)y×，整理可得4x＋2y＝0，即x＋y＝0，故应选D.

11．解析：当A＝{1}时，B有{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}共7种情况，

当A＝{2}时，B有{3}，{4}，{3，4}共3种情况，

当A＝{3}时，B有{4}1种情况，

当A＝{1，2}时，B有{3}，{4}，{3，4}共3种情况，

当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17(个)．

答案：17

12．解析：f(x)＝＝≥＝，当且仅当x＝1时取“＝”．故函数f(x)＝的下确界为.

答案：

13．解析：f(x)＝1＋ex＋≥3，当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，所以函数f(x)的最小值为3，①正确；f(x)定义域为R，f(－x)＝e－x＋ex＋1＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数，②正确；

f′(x)＝ex－，令f′(x)＝0得x＝0，当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，③错误．

答案：2

14．解析：函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，所以0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3必经过点(－1，4)，所以要使其零点在区间[0，2]上，则

即

解得2≤a≤3.

答案：[2，3]

15．解析：设an＝(2n)※2 017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.

于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.

故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.

答案：3 025

16．解析：由定义可知b⊗a＝|b|·|a|sin〈a，b〉＝a⊗b，所以①正确．②当λ＜0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈λa，b〉＝－λ|a||b|·sin〈a，b〉，而λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，所以②不成立，③因为|a＋b|不一定等于|a|＋|b|，sin〈a，c〉＋sin〈b，c〉与sin〈(a＋b)，c〉也不一定相等，所以③不成立．④sin〈a，b〉＝ ＝ ＝，所以a⊗b＝|x1y2－x2y1|，所以④成立，所以真命题是①④.

答案：①④

17．解析：对于①，∀x1，x2∈R，f(x1＋x2)＝2(x1＋x2)＋3＜2(x1＋x2)＋6＝f(x1)＋f(x2)，故①满足条件；对于②，∀x1，x2∈，f(x1＋x2)＝x＋x＋2x1x2，f(x1)＋f(x2)＝x＋x，当x1x2＞0时，不满足f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，故②不是“定义域上的M函数”；对于③，∀x1，x2∈，f(x1＋x2)＝x＋x＋2x1x2＋1，f(x1)＋f(x2)＝x＋x＋2，因为x1，x2∈，所以2x1x2≤＜1，故f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故③满足条件；对于④，∀x1，x2∈，f(x1＋x2)＝sin x1cos x2＋sin x2cos x1≤sin x1＋sin x2＝f(x1)＋f(x2)，故④满足条件；对于⑤，∀x1，x2∈[2，＋∞)，f(x1＋x2)＝log2(x1＋x2)，f(x1)＋f(x2)＝log2(x1x2)，因为x1，x2∈[2，＋∞)，所以＋≤1，可得x1＋x2≤x1x2，即f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M函数”的有①③④⑤，共4个．

答案：4