【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题21.3 实际问题与一元二次方程（含答案）

第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
知识构建
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 、 ，以及它们之间的关系．
（2）设：设出 ．
（3）列：找出 ，列出方程．
（4）解：解方程，求出 的值．
（5）验：检验 是否符合实际意义．
（6）答：写出 ．
2．常见实际问题
（1）传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题：
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为 ．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为 场．
（6）销售利润问题：
；；
；．
（7）存款利息问题：
；．
知识参考答案：
1．（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案
2．（2），（3）规则图形（4），（5），
重点掌握
重点
一元二次方程解应用题
难点
（1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题
易错
销售利润问题
例题展示
一、根据实际问题列出一元二次方程
同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．
【例1】某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的方程为________．
【答案】

【名师点睛】此类问题的几何模型：直线上有个点，一共能确定条线段，与之相关的问题有：个人握手，总共的握手次数为等．
二、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
2．设：设出未知数．
3．列：找出相等关系，列出方程．
4．解：解方程，求出未知数的值．
5．验：检验方程的解是否符合实际意义．
6．答：写出答案．
【例2】某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是
【答案】B
【解析】设每轮平均一人传染人，根据题意，得，解得，（舍去）．
故4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数是，故选B．
【名师点睛】传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
三、常见问题
1．传播问题：
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
2．平均增长（降低）率问题：
（1）设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的．
（2）设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为．
3．几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．
4．数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．
5．单、双循环问题：
设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为场．
6．销售利润问题：
；；
；．
7．存款利息问题：
；．
【例3】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，2015年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
【答案】（1）50%；（2）27．

【名师点睛】在平均增长（或降低）率问题中，要注意常用的相等关系：设基数为，平均增长（或降低）率为，则两次增长（或降低）后的值为（或）．
【例4】如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为，求小路的宽．

【答案】2 m

【名师点睛】几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．

基础
1．我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是
A．120（1+x）=170 B．170（1﹣x）=120
C．120（1+x）2=170 D．120+120（1+x）+120（1+x）2=170
2．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是
A．6.3(1＋2x)＝8 B．6.3(1＋x)＝8
C．6.3(1＋x)2＝8 D．6.3＋6.3(1＋x)＋6.3(1＋x)2＝8
3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为
A．x（5+x）=6 B．x（5–x）=6
C．x（10–x）=6 D．x（10–2x）=6
4．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为

A．=18 B．–3x+16=0
C．=18 D．+3x+16=0
5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为
A．x（x–11）=180 B．2x+2（x–11）=180
C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180
6．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为

A．5米 B．3米
C．2米 D．2米或5米
7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．
8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．
9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．
10．两年前生产1 t药品的成本是6000元，现在生产1 t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是__________．
11．某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是__________．
12．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同.
（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；
（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？








能力提升
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是
A．x（x+1）=64 B．x（x–1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=64
14．某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为
A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为__________．（化用一般式表示）
16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．
17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．
18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．
19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）











20．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？











21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．










真题
22．（2018·眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是
A．8% B．9%
C．10% D．11%
23．（2018·宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为
A．2% B．4.4%
C．20% D．44%
24．（2018·黄冈市）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
25．（2018·盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？











26．（2018·安顺市）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元.
（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.









参考答案
1．【答案】C
【解析】设游客人数的年平均增长率为x，
则2017的游客人数为：120×(1+x)，
2018的游客人数为：
那么可得方程：.
故选C．
2．【答案】C
【解析】按照增长率公式列一元二次方程，即6.3(1＋x)2＝8.
【名师点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3．【答案】B
【解析】一边长为x米，则另外一边长为：5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．

5．【答案】C
【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．
6．【答案】C
【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．
7．【答案】40%
【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．
8．【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x）2，根据题意列方程解100×（1–x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%．
9．【答案】160(1＋x)2=250
【解析】设平均每月的增长率是x，根据题意得，3月份的利润为160（1+x），4月份的利润为160（1+x）2=250，故答案是：160（1+x）2=250．
10．【答案】10%
【解析】设药品成本的年平均下降率是x，根据现在生产1 t药品的成本=两年前生产1 t药品的成本×(1–下降率)的平方，即可得出关于x的一元二次方程：6000×=4860，解得：=10%，=190%（舍去）．故答案为：10%．
11．【答案】1200=1500．
【解析】由于一月份生产空调1200台，三月份生产空调1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产1200（1+x）台，1200，由此即可列出方程1200=1500．故答案为：1200=1500．

（2）（万件），
答：今年这种产品的产量应达到110万件.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
13．【答案】C
【解析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即64人患了流感，由此列方程x+1+（x+1）x=64，整理得，（1+x）2=64．故选C．
14．【答案】D
【解析】由1月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，可得2月份的营业额为200×（1+x）万元，于是3月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2万元，因此可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选D．
15．【答案】
【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：，，，故答案为：．
16．【答案】40%
【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，由题意得， ，解得：x=0.4或x=–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．

18．【答案】+x+1=91．
【解析】由题意，设每个支干长出x个小分支，则主干长出x个分支，所以，一共长出x个分支，个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：+x+1，即可列方程得：+x+1=91．故答案为：+x+1=91．
19．【答案】12米
【解析】设BC边的长为x米，则AB边的长度为，根据题意得，
，整理，得，
解得：x1=20，x2=12，∵20>16，
x1=20不合题意，舍去，∴x=12．
答：矩形草坪BC边的长为12米．
20．【答案】4株或者5株．
【解析】设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为：（3–0.5x）元，由题意得：（x+3）（3–0.5x）=10．
化简，整理，得．
解这个方程，得，，则3+1=4，2+3=5．
所以要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．
答：每盆应植4株或者5株．
21．【答案】小路的宽应是2 m．
【解析】设小路的宽为x m，依题意有：
（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2 m．
22．【答案】C
【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1−x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．【答案】16
【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
25．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
26．【答案】（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.

（2）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
∵，∴，
，
解得：.
答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．