2021届新高考二轮复习 专题9　三角函数和解三角形 作业

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1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝eq \r(3)，②csinA＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．
[解] 方案一：选条件①.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3).
由②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3).
方案三：选条件③.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C．
[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
3．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asineq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A．
因为sin A≠0，所以sineq \f(A＋C,2)＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sineq \f(A＋C,2)＝cseq \f(B,2)，故cseq \f(B,2)＝2sineq \f(B,2)cseq \f(B,2).
因为cseq \f(B,2)≠0，故sineq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由(1)知A＋C＝120°.
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin120°－C,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°