规范解答集训(一)　三角函数和解三角形 试卷

规范解答集训(一)　三角函数和解三角形

(建议用时：40分钟)

1．(2019·东莞模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC的面积为，且＋＝，求c的值．

[解]　(1)由题意知＝，

根据正弦定理得＝，得sin C＝.

∵C是锐角三角形的内角，

∴C＝.

(2)因为S△ABC＝＝absin C，

∴ab＝4，

又∵＋＝＝，∴a＋b＝4，

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝48－12＝36，

∴c＝6.

2．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若其面积S＝(a2＋c2－b2)．

(1)求角B；

(2)若b＝2，a＋c＝6，求△ABC的面积．

[解]　(1)∵三角形的面积S＝(a2＋c2－b2)，

∴acsin B＝(a2＋c2－b2)．

即sin B＝×＝×＝cos B，

即tan B＝，即B＝.

(2)∵B＝，b＝2，a＋c＝6，

∴b2＝a2＋c2－2accos B，

即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×＝36－3ac，

得3ac＝24，得ac＝8，

则三角形的面积S＝acsin B＝×8×＝2.

3．(2019·郑州模拟)如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝.

(1)求∠ACB；

(2)若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．

[解]　(1)设BC＝a，则AC＝a，

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即3a2＝42＋a2－2×4×a×，可得a2＋2a－8＝0，

解得a＝2，或a＝－4(舍去)，

所以AB2＝AC2＋BC2，

即∠ACB＝.

(2)由(1)得S△ABC＝·AC·BC＝2.

因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝，所以AD＋CD＝4，

又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，

即12＝AD2＋DC2＋AD·DC

＝(AD＋CD)2－AD·DC，

所以AD·DC＝4，

所以S△ADC＝AD·DC·sin＝，

所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋＝3.

4．(2019·荆州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos B(acos C＋ccos A)＝b.

(1)求B；

(2)若b＝2，设A＝α，△ABC的周长为l，求l＝f(α)的解析式并求f(α)的最大值．

[解]　(1)由2cos B(acos C＋ccos A)＝b，可得2cos B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2cos Bsin(A＋C)＝2cos Bsin B＝sin B，

由于sin B≠0，

得cos B＝.

又B∈(0，π)，

所以B＝.

(2)b＝2，由正弦定理＝＝，及A＝α，C＝π－(A＋B)＝－α，

得：＝＝，

∴a＝sin α，c＝sin，

∴△ABC周长l＝f(α)＝a＋b＋c＝sin α＋2＋sin

＝＋2

＝＋2

＝4＋2

＝4sin＋2，

∵0＜α＜，

∴当α＋＝，即α＝时，lmax＝f＝4＋2＝6.

所以△ABC周长的最大值为6.

5．(2019·汕头模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b，c,2acos B成等差数列．

(1)求角A；

(2)若a＝，b＝3，D为BC中点，求AD的长．

[解]　(1)∵b，c,2acos B成等差数列，则2c＝b＋2acos B，

由正弦定理得：2×2Rsin C＝2Rsin B＋2×2Rsin Acos B(R为△ABC外接圆半径)，

∴2sin C＝sin B＋2sin Acos B，

∴2sin(A＋B)＝2sin Acos B＋2cos Asin B＝sin B＋2sin Acos B，

即2cos Asin B＝sin B.

∵sin B≠0，∴cos A＝.

又0＜A＜π，∴A＝.

(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴13＝9＋c2－2×3×c×，即c2－3c－4＝0，

∴c＝4，或c＝－1(舍去)，故c＝4.

在△ABC中，cos C＝＝＝，

∴在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝32＋2－2×3××＝，所以AD＝.