（新高考）2021届高考二轮复习专题六 三角函数与解三角形 教师版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题六 三角函数与解三角形 教师版，共29页。试卷主要包含了函数y=Asin的图象及变换，函数y=Asin的性质，已知m=，n=，函数f=m⋅n，已知函数等内容，欢迎下载使用。
     1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．  一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为的圆的圆心角所对的弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是．相关公式：①          ②（2）诱导公式： 正弦余弦正切    （3）同角三角函数关系式：，（4）两角和与差的三角函数：（5）二倍角公式：（6）降幂公式：，2．三角函数性质性质奇偶性奇函数偶函数单调性在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是增函数，在区间上是减函数最值在时，；在时，在时，；在时，对称中心对称轴正切函数的性质图象特点定义域为图象与直线没有交点值域为图象向上、向下无限延伸最小正周期为在区间上图象完全一样在内是增函数图象在内是上升的对称中心为图象关于点成中心对称3．函数的图象及变换（1）对函数的图象的影响（2）对的图象的影响（3）对的图象的影响4．函数的性质（1）函数中参数的物理意义（2）函数的有关性质 二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下： 为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤  
      一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，又，所以，所以，∴，故选C．【点评】本题容易忽视的范围，而导致出错．2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，即，即，，故选C．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题．3．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图象知，，∴，则，∴，将点的坐标代入得，，即，又，∴，则，将的图象向左平移个单位得到函数，∴在上的最小值为，故选A．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（    ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，变形为，由内角和定理可得，化简可得：，所以，所以三角形为钝角三角形，故选A．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数，则（    ）A．是奇函数  B．是周期函数且最小正周期为C．的值域是 D．当时，【答案】ABD【解析】A．，故是奇函数，故A正确；B．因为的最小正周期是，的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是，故是的最小正周期，故B正确；C．分析的最大值，因为，，所以，等号成立的条件是和同时成立，而当，即时，，，故C错误；D．展开整理可得，易知当时，，故D正确，故选ABD．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 二、解答题．6．已知，，函数．求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．【答案】的最大值为2，．【解析】，所以函数的最大值为2，当，即取得，即集合为．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数．（1）求函数在区间上的值域；（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），令，，，由的图象知，，即，，所以函数的值域为．（2），，，即，，，且或，由于方程在区间上至少有两个不同的解，所以，解得，所以的取值范围为．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数．（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）．【解析】（1），∴的为最小正周期，值域为．（2）记，则，由恒成立，知恒成立，即恒成立，∵，∴．∵在时单调递增，，∴k的取值范围是．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若的面积为，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，∵，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得．（2）由，得，∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又，当且仅当时，等号成立．∴，当且仅当时，等号成立．即的最小值为．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数．（1）求的最小正周期和值域；（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､．若，，求周长的取值范围．【答案】（1），（2）．【解析】（1），，值域为．（2）由，可得，因为三角形为锐角，所以，即，，由正弦定理，得，，所以，因为为锐角三角形，所以，，即，解得，所以，，即，所以周长的取值范围为区间．【点评】在解三角形的周长范围时，将转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，，．（2），，，当且仅当时，等号成立，，故△ABC的面积的最大值是．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在中，，的角平分线交于点．（1）求的值；（2）若，求的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵为的角平分线，∴，即，∴，又∵，∴．（2）由（1）知，而，且，∴，，∵，∴，在中，，在中，，∴，∴．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在中，、、分别是角、、的对边，且．（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴．（2）由正弦定理可知，，即，，∴，又∵为锐角三角形，∴，则，所以，综上的取值范围为．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题． 一、选择题．1．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（    ）条件．A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【解析】中，，，即，，因为，，所以为锐角．当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角，所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件． 二、填空题．2．设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】由，得，由，，故，所以，所以．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目． 三、解答题．3．已知，函数，当时，．（1）求常数的值；（2）设且，求的单调区间．【答案】（1），；（2）递增区间为；递减区间为．【解析】（1）由，所以，则，所以，所以，又因为，可得，解得，．（2）由（1）得，则，又由，可得，所以，即，所以，当时，解得，此时函数单调递增，即的递增区间为；当时，解得，此时函数单调递减，即的递减区间为．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力． 一、选择题．1．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，记，在中，，，在中，，所以，设矩形的面积为，，由，所以当，即时，取最大值，为，故选A．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ）A．  B．C． D．【答案】C【解析】将的图象向左平移个单位得，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到，故选C．【点评】在三角函数平移变换中，向左平移个单位得到的函数解析式为，而不是，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（    ）A．  B．是函数，的一个对称中心C．  D．函数在区间上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，，函数的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，，解得，，又，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故B错误；令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故D正确，故选ACD．【点评】已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 二、解答题．4．已知函数的最小正周期为．（1）求的值及函数的值域；（2）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，若，，的面积为，，求的值．【答案】（1）值域为；（2）4．【解析】（1）因为函数的最小正周期为，由，，又因为，所以．此时，则得，即，即，当时，，，所以所求函数的值域为．（2）由题意得，因为，则得，所以，解得，因为的面积为，则得，即，即．又因为，由余弦定理，得，所以．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，，，，．（2）由题意可得，，联立可得，，由余弦定理可得，，此时周长为．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米．（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1），，；（2）平方米．【解析】（1）在PME中，，米，，，由正弦定理得，所以；同理在中，由正弦定理得，所以，当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，，所以．（2）PMN的面积，因为，所以当，即时，取得最小值为，所以可视区域PMN面积的最小值为平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，又为锐角，，而，即，解得或（舍去），．（2）由正弦定理可得，，，，．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．