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专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题八三角函数变换与三角函数的应用原卷版docx、专题八三角函数变换与三角函数的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·四川内江�高一期末（理））设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用两角和的正弦公式对化简，利用二倍角公式对化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小
【详解】
解：，
，，
因为在上为增函数，且，
所以，即可，
故选：B
【点睛】
此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题
2．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文）），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由整理得的关系式，再根据角的范围确定正余弦值，得正切即可.
【详解】
由得
即
两边平方得
整理得，即
又， 即，故
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换中的二倍角公式，由范围定值是易错点，属于中档题.
3．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角公式可求出的值.
【详解】
因为设为锐角，则，，
，所以，
所以，故选B．
【点睛】
本题考查同角三角函数以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函数求值时，需要确定角的取值范围，判断出所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题.
4．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知是等比数列，其中是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵等比数列，∴，又∵是关于的方程的两根，∴，，∴，
即或（舍去），又∵锐角，∴.
考点：1.等比数列的性质；2.三角函数的性质.
5．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知向量，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求的坐标，再根据向量模的坐标表示求向量的模.
【详解】
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查向量模，重点考查计算能力，属于基础题型.
6．（2020·辽宁锦州�高一期末）定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.
【详解】
解：因为，都是锐角，所以，，
因为，所以，
即， ，所以，，
因为，所有，
故选：B.
【点睛】
信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.
7．（2020·河南林州一中高一月考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，，
，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系式化简即可.
【详解】
∵，则，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
9．（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．
【详解】
由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．
，
，．
∴是对称中心．
故选：A.
【点睛】
本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．
10．（2020·湖南桃江�高二期末）若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．
【详解】
由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．
11．（2020·山东聊城�高一期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（ ）
A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到
B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.
【详解】
为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换，属简单题.
12．（2020·河南林州一中高一月考）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平移后的图像关于轴对称求出，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值.
【详解】
平移得到的图像对应的解析式为，
因为为偶函数，所以，
所以，其中.
因为，所以，
当时，，所以，
当且仅当时，，故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.
13．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
∵
∴要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
故选B
14．（2020·全国高三其他（文））已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得的解析式，根据和的取值范围，判断出的可能取值.
【详解】
，向右平移得到
.
，，，
故“且”或“且”，
即“且”或“且”，
即“且”或“且”，
其中.
所以或，
令，则的值为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的值域，属于中档题.
15．（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图像平移变换和伸缩变换进行求解即可.
【详解】
解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为
故选：A
【点睛】
此题考查三角函数解析式的求解，结合三角函数图像变换是解此题的关键，属于基础题.
16．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由在函数图象上，结合的范围求出的值，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】
解：由图可知，∵，
∴，解得：，可得，
将代入得：，
∵，
∴，，
故可将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
17．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知（）.给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，，对于①：利用计算即可判断；对于②：用整体代入法求出的范围，再利用已知条件求出的取值范围即可；对于③：利用图像平移得到，利用得到的范围，即可判断选项；对于④：利用整体代入法先求出的范围，又由已知条件得到，求出的取值范围即可.
【详解】
依题意，，
对于①：由题意得,，故①错；
对于②：由题意得，
在上恰有9个零点，
则，故②正确；
对于③：由题意得的图象向右平移个单位长度后得到的图象，又，
所以，不能得出关于y轴对称，故③错误；
对于④：，
若在上单调递增，则，
即，由于，
故.故④错误.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了的性质以及图像变换问题，涉及到了最值，零点，单调性，对称性.属于中档题.
18．（2020·山东高三其他）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则计算可得；
【详解】
解：，而
，
故只需将函数图像向左平移个单位长度即可得到的图像，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角函数中诱导公式、辅助角公式的应用以及三角函数图像的变换，属于基础题．
二、多选题
19．（2020·辽宁锦州�高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点对称
C．图象关于轴对称
D．在区间上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】
将函数 的图象向左平移个单位长度，
可得 的图象，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．
关于函数，
它的最小正周期为，故正确；
令，求得，可得它的图象关于点，对称，故正确；
由于它是偶函数，故它的图象关于轴对称，故正确；
在区间，上，，单调递增，故单调递减，故错误，
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20．（2020·山东高三其他）函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】
由图象可知
，，
∴，则.
将点的坐标代入中，整理得，
∴，即.，∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B正确.
令，解得
.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；
由，可得，
∴函数的单调递增区间为.故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题.
21．（2020·山东临沂�高一期末）已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】
由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即，
所以，，
又点在函数的图象上，所以，
所以即，
又，所以，，
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象，
所以，
因为，
所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故A错误，B正确；
当时，，
所以在区间上不单调，故C错误；
若，则、分别为函数的最大值、最小值；
由函数的最小正周期为可得的最小值为，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题.
22．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题首先可以将转化为，然后通过图象变换得出函数，最后通过函数是奇函数即可得出结果.
【详解】
，
所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数，
再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，
故的值可以为、，
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，再向右平移个单位长度得到函数，考查推理能力与计算能力，是中档题.
23．（2020·江苏南京�高三开学考试）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先由已知求出，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即可
【详解】
可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题
24．（2020·山东潍坊�高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.
【详解】
由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当时，，此时，点，，故D正确，
故选：AD．
【点睛】
本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
25．（2020·浙江永康�高三其他）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设方程在上恰有5个实数解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，再求其单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，利用换元法，结合三角函数的周期性，即可容易求得参数范围.
【详解】
（1）
.
令，
解得.
故的单调增区间为：
（2），根据（1）中所求，即为，
该方程在上恰有5个实数解，故，
令，则，
即方程有个实数解.
故只需，
解得.
故方程在上恰有5个实数解，则.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及求三角函数的单调区间，涉及换元法的应用，以及三角函数的周期性，属综合中档题.
26．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；
（Ⅱ）解：由，可得，则.
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
27．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.
(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据同角的三角变换可得，再根据倍角公式化简原式，代入已知条件即可
先根据已求得的三角函数值确定的范围，再通过配凑角的方法将要求的式子通过配凑，得到与已知角和之间的关系，通过两角和与差公式展开即可求得
【详解】
(1)sin 2β=cos=cos =2cos2-1=2×-1=.
(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,所以sin>0,cos(α+β)<0,
又因为cos,sin(α+β)=,
所以sin,cos(α+β)=-,
所以cos=cos =cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-.
【点睛】
本题考查了倍角公式和半角公式以及两角和与差的公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键，还要能够配凑出角的值．
28．（2020·辽宁锦州�高一期末）在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小：
（2）求的最大值．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【分析】
（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角B的余弦值，进而求出角B的值；（2）由（1）可知，所以，用代替角C，化简，结合角A的范围即可求出最大值.
【详解】
解：（1），，即，又，.
（2）由（1）可知，所以，则=
，则，
所以当时，即时，有最大值为1.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查两角和公式的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题.
29．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，，且，，求，.
【答案】；.
【解析】
【分析】
本题先求、，再求、即可解题.
【详解】
解：∵，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.
30．（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由函数的周期可得，再由对称轴可得，即可得；
（2）由可得，由三角函数的图象与性质即可得解；
（3）由函数的周期可得，求得函数图象的对称轴为，假设的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间，可得，给赋值后取补集即可得解.
【详解】
（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，而，
又因为的图象关于直线对称，所以，
所以，
又，所以，
综上，，；
（2）由（1）知，
当时，，
所以当即时，；
当即时，；
（3）由题意，
∵的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，
∴，即，
令，解得，
若的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间，
则，解得，
当时，；当时，；当时，；
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.
31．（2020·河南开封�高一期末）已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为．
求函数的解析式；
2若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调递增区间．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；
2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．
【详解】
，
，
，
，
由已知函数的周期，
，，
，
2将的图象向左平移个长度单位，
，
函数经过，
，
即，
，，
，
，
当，m取最小值，此时最小值为，
，
令，则，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，单调递增；
在上的单调递增区间，
【点睛】
本题考查三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考查转化思想，属于中档题．
32．（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
（1）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，求的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求出，再求出，解不等式，即得的单调递增区间；
（2）先求出，再利用三角函数的图象和性质求函数的值域.
【详解】
（1）由图得，
∴，∴．
由得，∴，
∴，∵，∴．
由得，∴．
∴．
∴．
令．
解得．
∴的单调递增区间为．
（2）
．
∵，
∴，
∴，
∴，即的值域为．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的单调区间和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
33．（2020·山东临沂�高一期末）已知，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象.
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，转化条件得，再由的取值范围即可得，再由两角差的正切公式即可得解；
（2）由三角函数的图象变换得，转化条件得对任意恒成立，设，结合二次函数的性质令即可得解.
【详解】
由题意
，
（1）由得，
又，所以，
所以，解得，
则；
（2）因为将的图象向右平移得到函数的图象，
所以，
所以，
所以恒成立，
原不等式等价于对任意恒成立，
令，，则在上恒成立，
设，
当时，成立；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于中档题.
34．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
35．（2020·永州市第四中学高一月考）已知（为常数）.
（1）求的单调递增区间；
（2）若当时，的最大值为4，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角函数的图象与性质令，化简即可得解；
（2）由题意结合三角函数的图象与性质可得的最大值为2，即可得解.
【详解】
（1）由得，
所以函数的单调递增区间为；
（2），，
的最大值为2，
在的最大值为4，
，
．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
36．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）易知：的最大值为1，最小值为-1. 根据相邻的两个最值点的距离为，由，求得，进而得到，然后由的图象经过点，求得，得到函数的解析式.
（2）利用三角函数图象的平移变换得到，利用正弦函数的性质求得其值域，然后根据关于的不等式在上有解，则由求解.
【详解】
（1）依题意得的最大值为1，最小值为-1.
设的最小正周期为，则，
解得.
又，所以.
所以.
因为的图象经过点，
所以，
又因为，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）因为将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象，
所以.
当时，，则.
因为关于
的不等式在上有解，
所以，
解得或.
综上可得的取值范围是.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
37．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知函数
（1）求它的单调递增区间；
（2）若，求此函数的值域.
【答案】（1）（）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可．
（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果．
【详解】
（1）
由，
得，.
故此函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得.
的值域为.
的值域为，
故此函数的值域为
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．
38．（2020·辽宁锦州�高一期末）如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?
【答案】（1）；（2）分钟
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，，当时，，解得答案.
（2）解不等式得到答案.
【详解】
（1）根据题意：，故，，，故.
当时，，即，，故.
.
（2），故，.
解得，解得，
故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
39．（2020·山东聊城�高一期末）亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标．
（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点距地面的高度，选取了与点在地面上的射影在同一水平面内的两个测量基点（如图所示）；现测得，BC两点间的距离是米，求最高点距地面的高度；
（2）若摩天轮最低点距地面的距离米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要分钟．
①从游客进人摩天轮位于最低点处的轿厢开始计时，转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，（单位：米）关于（单位：分钟）的函数解析式；
②若只有当轿厢的高度超过米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景．
【答案】（1）；（2）①，②
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可以求的长，利用，可以求得
（2）①建立坐标系，求出摩天轮的半径，然后根据周期性和三角函数的定义，可求出游客距离地面的高度关于的函数解析式.
②令，即可得的范围，再利用，可得的范围.
【详解】
（1）由题意得： ，
在中，由正弦定理得： ，
即 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以最高点距地面的高度米.
（2）①以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，
所以摩天轮的半径为米，所以米，
由题意知：分钟转一周，所以每分钟转弧度，
设从点开始计时，转动分钟后轿厢运到到点，则转过的弧度，
所以 ，
设 ，由三角函数的定义可得： ，
又因为
所以游客距地面的高度关于的函数解析式为.
②当轿厢的高度超过米时，即，
所以，即，
所以，解得 ，
因为，所以只有当时，符合题意，
即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖的美景.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角，求三角函数解析式，解三角函数不等式等用数学知识解决实际问题，属于中档题.
40．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽，为了美化环境，现要在拐角位置布置一处盆景．盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边，分别位于走廊拐角的外侧．为了不影响走廊中正常的人流走动．要求拐角最窄处不得小于．
（1）若，试判断是否符合设计要求；
（2）若，且拐角最窄处恰好为时，求盆景所在区域的面积；
（3）试判断对满足的任意位置的A，B，是否均符合设计要求？请说明理由．
【答案】（1）符合设计要求；（2）；（3）任意位置的A，B，是否均符合设计要求．
【解析】
【分析】
（1）由已知得共线，直接计算出的长可得；
（2）以为轴建立平面直角坐标系，设的长为，写出直线方程，由点到直线距离公式计算可得；
（3）在（2）基础上，设，，则，，得出直线方程，求出点到直线的距离的最小值可得．
【详解】
（1）时，根据对称性，共线，，，，符合要求；
（2）如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，().
直线方程为，，
，解得或，
经检验，不合题意，所以，
．
（3）在（2）的直角坐标系中，设，，则，，
直线的方程为，，
，
令，则，
，即，
所以任意位置的A，B，均符合设计要求．
【点睛】
本题考查函数模型的应用，解题时通过建立平面直角坐标系，由点到直线距离公式建立的三角函数的模型，由三角恒等变换利用换元法得最值．
41．（2020·四川金牛�成都外国语学校高一开学考试（理））某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.
（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.
【答案】（1），定义域为；
（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；
（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.
【详解】
（1）由题意，在中，，，，，
中，，，，又，
，
所以，即.
当点在点时，这时角最小，求得此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时.
故此函数的定义域为；
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求的周长的最小值即可．
由（1）得，，
设，，
则，
由，得，，则，
从而，当，即当时，，
答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
42．（2020·浙江宁波�高一期末）已知函数 的最大值为 2 .
（1）求实数 a 的值；
（2）设，且，求的值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据辅助角公式可得，由的最大值为2即可求a 的值；(2)由(1)可知，结合有结合且即可求得值
【详解】
由
(1)∵的最大值为2，知：，且
∴
(2)由(1)知：
∴，
∴
，又，知：
，解得： = ，又
即有
∴.
【点睛】
本题考查了利用辅助角公式化简，并结合三角函数最值求参数；应用同角的正余弦平方和等于1求正弦值，注意验证结果是否符合题意
四、填空题
43．（2020·全国高三其他）已知当且时，函数取得最大值，则a的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式化简函数f（x），运用整体思想，当f（x）的最大值时，确定的取值，运用诱导公式计算进而得到，再利用二倍角的正切公式求a的取值即可.
【详解】
函数f（x）＝sinx (sinx+acosx)=
(，cos),
当时，函数f（x）取得最大值，此时
∴cos，∴，
∴a＝
故答案为．
【点睛】
考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
44．（2020·镇原中学高一期末）函数在上的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
用辅助角公式化简，结合角的范围和正弦函数的性质，即可求出值域.
【详解】
解：.
又，所以，，
所以，
所以.
所以函数在上的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题考查求三角函数的值域，应用两角和与差公式化简是解题的关键，属于基础题.
45．（2020·镇原中学高一期末）给出下列命题：
①函数是偶函数；
②方程是函数的图象的一条对称轴方程；
③在锐角中，；
④若，是第一象限角，且，则；
⑤设是关于的方程的两根，则；
其中正确命题的序号是______.
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
对于选项①：利用诱导公式得出即可判断；对于选项②：直接把代入验证即可；对于选项③：利用在锐角中，，利用两角和的余弦公式判断即可；对于选项④：举反例当，，判断即可；对于选项⑤：利用已知条件得到，即可判断选项.
【详解】
①函数是偶函数，故选项正确；
②方程是函数的图象的一条对称轴方程，
因为，故选项正确.
③在锐角中，
，
,
即，故选项正确.
④若、是第一象限角，
且，则，
当，，
满足，，故选项不正确.
⑤∵是关于的方程的两根，
∴，
∴，
即，故选项正确.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题主要考查了对数函数，两角和与差的公式，诱导公式和三角函数的对称性，考查三角函数公式的综合应用.属于中档题.
46．（2020·河南开封�高一期末）已知函数，给出下列四个结论：
①函数是最小正周期为的奇函数；
②直线是函数的一条对称轴；
③点是函数的一个对称中心；
④函数的单调递减区间为
其中正确的结论是_________（填序号）.
【答案】②.
【解析】
【分析】
利用两角和的余弦公式可得，再利用代入验证法逐一判断即可.
【详解】
，
，，函数是最小正周期为，
但不是奇函数，故①不正确；
当时，，故②正确；
当，，所以，
函数的一个对称中心为，故③不正确；
由，
解得，故④不正确；
故答案为：②
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，掌握公式以及正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
47．（2020·山东临沂�高一期末）已知，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，利用诱导公式结合商数关系得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以，
解得，
所以，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
48．（2020·山东聊城�高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】
根据题意，
.
又.
选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：
，
故可得，又，
故可得，又，故.
选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：
，由余弦定理得，
有，故.
选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：
，解得，
又，故可得.
故不论选择哪个条件，都有.又.则.
故
，
又，故，
故，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.
49．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后通过即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，解得，
则，
故答案为：.
【点睛】
本题考查两角差的正切公式以及二倍角公式的使用，考查的公式为、，考查计算能力，是简单题.
50．（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、图像的对称性，求得和的值，即可得解
【详解】
解：因为函数的最小正周期为，
所以，
所以其图像向左平移个单位后，可得的图像，
因为所得图像关于轴对称，
所以，即，
所以的最小正值为，
故答案为：
【点睛】
此题考查函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、对称性，属于基础题.
51．（2020·湖北黄冈�高一月考）给出下列命题，其中正确的命题序号是______________
①将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；
②若为锐角三角形，则
③是函数的图像的一条对称轴；
④函数的周期为.
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用三角函数的图像和性质逐项判断可得正确的结论.
【详解】
对于①，函数的图像向左平移个单位长度，
所得图像的解析式为，故①错.
对于②，因为为锐角三角形，故，
所以，故②正确.
对于③，令，则，
当时，，故③正确.
对于④，令，则，
而，，
故不是以为周期的函数.
故答案为：②③.
五、双空题
52．（2020·湖南张家界�高一期末）如图：某景区有景点A，B，C，D，经测量得，，，，，则__________. 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角，为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
在中根据正弦定理求得，而为等边三角形，即得；
建立平面直角坐标系，依据两角和的正弦公式和正弦定理求得点坐标A点、 D点，求得的轨迹方程，最后寻找圆外的点到圆上点的最近距离即BM长度的最小值.
【详解】
在中，，，，
由正弦定理得，即，得
在中，由，得为等边三角形，
可得；
以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
由，得
在中，得，A点的坐标为，
，得D点的坐标为，
设，
， 由到角公式得
整理得：，
点在圆的一段圆弧上，以为圆心，以为半径，
长度的最小值：到圆心的距离减去半径，即
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式和正弦定理的综合应用，考查了圆外的点到圆上点的最近距离问题，属于难题.
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·四川内江�高一期末（理））设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用两角和的正弦公式对化简，利用二倍角公式对化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小
【详解】
解：，
，，
因为在上为增函数，且，
所以，即可，
故选：B
【点睛】
此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题
2．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文）），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由整理得的关系式，再根据角的范围确定正余弦值，得正切即可.
【详解】
由得
即
两边平方得
整理得，即
又， 即，故
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换中的二倍角公式，由范围定值是易错点，属于中档题.
3．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角公式可求出的值.
【详解】
因为设为锐角，则，，
，所以，
所以，故选B．
【点睛】
本题考查同角三角函数以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函数求值时，需要确定角的取值范围，判断出所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题.
4．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知是等比数列，其中是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵等比数列，∴，又∵是关于的方程的两根，∴，，∴，
即或（舍去），又∵锐角，∴.
考点：1.等比数列的性质；2.三角函数的性质.
5．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知向量，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求的坐标，再根据向量模的坐标表示求向量的模.
【详解】
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查向量模，重点考查计算能力，属于基础题型.
6．（2020·辽宁锦州�高一期末）定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.
【详解】
解：因为，都是锐角，所以，，
因为，所以，
即， ，所以，，
因为，所有，
故选：B.
【点睛】
信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.
7．（2020·河南林州一中高一月考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，，
，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系式化简即可.
【详解】
∵，则，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
9．（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．
【详解】
由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．
，
，．
∴是对称中心．
故选：A.
【点睛】
本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．
10．（2020·湖南桃江�高二期末）若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．
【详解】
由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．
11．（2020·山东聊城�高一期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（ ）
A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到
B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.
【详解】
为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换，属简单题.
12．（2020·河南林州一中高一月考）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平移后的图像关于轴对称求出，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值.
【详解】
平移得到的图像对应的解析式为，
因为为偶函数，所以，
所以，其中.
因为，所以，
当时，，所以，
当且仅当时，，故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.
13．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
∵
∴要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
故选B
14．（2020·全国高三其他（文））已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得的解析式，根据和的取值范围，判断出的可能取值.
【详解】
，向右平移得到
.
，，，
故“且”或“且”，
即“且”或“且”，
即“且”或“且”，
其中.
所以或，
令，则的值为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的值域，属于中档题.
15．（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图像平移变换和伸缩变换进行求解即可.
【详解】
解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为
故选：A
【点睛】
此题考查三角函数解析式的求解，结合三角函数图像变换是解此题的关键，属于基础题.
16．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由在函数图象上，结合的范围求出的值，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】
解：由图可知，∵，
∴，解得：，可得，
将代入得：，
∵，
∴，，
故可将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
17．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知（）.给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，，对于①：利用计算即可判断；对于②：用整体代入法求出的范围，再利用已知条件求出的取值范围即可；对于③：利用图像平移得到，利用得到的范围，即可判断选项；对于④：利用整体代入法先求出的范围，又由已知条件得到，求出的取值范围即可.
【详解】
依题意，，
对于①：由题意得,，故①错；
对于②：由题意得，
在上恰有9个零点，
则，故②正确；
对于③：由题意得的图象向右平移个单位长度后得到的图象，又，
所以，不能得出关于y轴对称，故③错误；
对于④：，
若在上单调递增，则，
即，由于，
故.故④错误.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了的性质以及图像变换问题，涉及到了最值，零点，单调性，对称性.属于中档题.
18．（2020·山东高三其他）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则计算可得；
【详解】
解：，而
，
故只需将函数图像向左平移个单位长度即可得到的图像，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角函数中诱导公式、辅助角公式的应用以及三角函数图像的变换，属于基础题．
二、多选题
19．（2020·辽宁锦州�高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点对称
C．图象关于轴对称
D．在区间上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】
将函数 的图象向左平移个单位长度，
可得 的图象，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．
关于函数，
它的最小正周期为，故正确；
令，求得，可得它的图象关于点，对称，故正确；
由于它是偶函数，故它的图象关于轴对称，故正确；
在区间，上，，单调递增，故单调递减，故错误，
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20．（2020·山东高三其他）函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】
由图象可知
，，
∴，则.
将点的坐标代入中，整理得，
∴，即.，∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B正确.
令，解得
.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；
由，可得，
∴函数的单调递增区间为.故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题.
21．（2020·山东临沂�高一期末）已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】
由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即，
所以，，
又点在函数的图象上，所以，
所以即，
又，所以，，
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象，
所以，
因为，
所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故A错误，B正确；
当时，，
所以在区间上不单调，故C错误；
若，则、分别为函数的最大值、最小值；
由函数的最小正周期为可得的最小值为，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题.
22．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题首先可以将转化为，然后通过图象变换得出函数，最后通过函数是奇函数即可得出结果.
【详解】
，
所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数，
再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，
故的值可以为、，
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，再向右平移个单位长度得到函数，考查推理能力与计算能力，是中档题.
23．（2020·江苏南京�高三开学考试）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先由已知求出，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即可
【详解】
可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题
24．（2020·山东潍坊�高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.
【详解】
由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当时，，此时，点，，故D正确，
故选：AD．
【点睛】
本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
25．（2020·浙江永康�高三其他）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设方程在上恰有5个实数解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，再求其单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，利用换元法，结合三角函数的周期性，即可容易求得参数范围.
【详解】
（1）
.
令，
解得.
故的单调增区间为：
（2），根据（1）中所求，即为，
该方程在上恰有5个实数解，故，
令，则，
即方程有个实数解.
故只需，
解得.
故方程在上恰有5个实数解，则.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及求三角函数的单调区间，涉及换元法的应用，以及三角函数的周期性，属综合中档题.
26．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；
（Ⅱ）解：由，可得，则.
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
27．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.
(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据同角的三角变换可得，再根据倍角公式化简原式，代入已知条件即可
先根据已求得的三角函数值确定的范围，再通过配凑角的方法将要求的式子通过配凑，得到与已知角和之间的关系，通过两角和与差公式展开即可求得
【详解】
(1)sin 2β=cos=cos =2cos2-1=2×-1=.
(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,所以sin>0,cos(α+β)<0,
又因为cos,sin(α+β)=,
所以sin,cos(α+β)=-,
所以cos=cos =cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-.
【点睛】
本题考查了倍角公式和半角公式以及两角和与差的公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键，还要能够配凑出角的值．
28．（2020·辽宁锦州�高一期末）在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小：
（2）求的最大值．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【分析】
（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角B的余弦值，进而求出角B的值；（2）由（1）可知，所以，用代替角C，化简，结合角A的范围即可求出最大值.
【详解】
解：（1），，即，又，.
（2）由（1）可知，所以，则=
，则，
所以当时，即时，有最大值为1.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查两角和公式的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题.
29．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，，且，，求，.
【答案】；.
【解析】
【分析】
本题先求、，再求、即可解题.
【详解】
解：∵，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.
30．（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由函数的周期可得，再由对称轴可得，即可得；
（2）由可得，由三角函数的图象与性质即可得解；
（3）由函数的周期可得，求得函数图象的对称轴为，假设的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间，可得，给赋值后取补集即可得解.
【详解】
（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，而，
又因为的图象关于直线对称，所以，
所以，
又，所以，
综上，，；
（2）由（1）知，
当时，，
所以当即时，；
当即时，；
（3）由题意，
∵的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，
∴，即，
令，解得，
若的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间，
则，解得，
当时，；当时，；当时，；
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.
31．（2020·河南开封�高一期末）已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为．
求函数的解析式；
2若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调递增区间．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；
2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．
【详解】
，
，
，
，
由已知函数的周期，
，，
，
2将的图象向左平移个长度单位，
，
函数经过，
，
即，
，，
，
，
当，m取最小值，此时最小值为，
，
令，则，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，单调递增；
在上的单调递增区间，
【点睛】
本题考查三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考查转化思想，属于中档题．
32．（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
（1）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，求的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求出，再求出，解不等式，即得的单调递增区间；
（2）先求出，再利用三角函数的图象和性质求函数的值域.
【详解】
（1）由图得，
∴，∴．
由得，∴，
∴，∵，∴．
由得，∴．
∴．
∴．
令．
解得．
∴的单调递增区间为．
（2）
．
∵，
∴，
∴，
∴，即的值域为．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的单调区间和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
33．（2020·山东临沂�高一期末）已知，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象.
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，转化条件得，再由的取值范围即可得，再由两角差的正切公式即可得解；
（2）由三角函数的图象变换得，转化条件得对任意恒成立，设，结合二次函数的性质令即可得解.
【详解】
由题意
，
（1）由得，
又，所以，
所以，解得，
则；
（2）因为将的图象向右平移得到函数的图象，
所以，
所以，
所以恒成立，
原不等式等价于对任意恒成立，
令，，则在上恒成立，
设，
当时，成立；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于中档题.
34．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
35．（2020·永州市第四中学高一月考）已知（为常数）.
（1）求的单调递增区间；
（2）若当时，的最大值为4，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角函数的图象与性质令，化简即可得解；
（2）由题意结合三角函数的图象与性质可得的最大值为2，即可得解.
【详解】
（1）由得，
所以函数的单调递增区间为；
（2），，
的最大值为2，
在的最大值为4，
，
．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
36．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）易知：的最大值为1，最小值为-1. 根据相邻的两个最值点的距离为，由，求得，进而得到，然后由的图象经过点，求得，得到函数的解析式.
（2）利用三角函数图象的平移变换得到，利用正弦函数的性质求得其值域，然后根据关于的不等式在上有解，则由求解.
【详解】
（1）依题意得的最大值为1，最小值为-1.
设的最小正周期为，则，
解得.
又，所以.
所以.
因为的图象经过点，
所以，
又因为，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）因为将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象，
所以.
当时，，则.
因为关于
的不等式在上有解，
所以，
解得或.
综上可得的取值范围是.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
37．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知函数
（1）求它的单调递增区间；
（2）若，求此函数的值域.
【答案】（1）（）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可．
（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果．
【详解】
（1）
由，
得，.
故此函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得.
的值域为.
的值域为，
故此函数的值域为
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．
38．（2020·辽宁锦州�高一期末）如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?
【答案】（1）；（2）分钟
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，，当时，，解得答案.
（2）解不等式得到答案.
【详解】
（1）根据题意：，故，，，故.
当时，，即，，故.
.
（2），故，.
解得，解得，
故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
39．（2020·山东聊城�高一期末）亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标．
（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点距地面的高度，选取了与点在地面上的射影在同一水平面内的两个测量基点（如图所示）；现测得，BC两点间的距离是米，求最高点距地面的高度；
（2）若摩天轮最低点距地面的距离米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要分钟．
①从游客进人摩天轮位于最低点处的轿厢开始计时，转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，（单位：米）关于（单位：分钟）的函数解析式；
②若只有当轿厢的高度超过米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景．
【答案】（1）；（2）①，②
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可以求的长，利用，可以求得
（2）①建立坐标系，求出摩天轮的半径，然后根据周期性和三角函数的定义，可求出游客距离地面的高度关于的函数解析式.
②令，即可得的范围，再利用，可得的范围.
【详解】
（1）由题意得： ，
在中，由正弦定理得： ，
即 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以最高点距地面的高度米.
（2）①以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，
所以摩天轮的半径为米，所以米，
由题意知：分钟转一周，所以每分钟转弧度，
设从点开始计时，转动分钟后轿厢运到到点，则转过的弧度，
所以 ，
设 ，由三角函数的定义可得： ，
又因为
所以游客距地面的高度关于的函数解析式为.
②当轿厢的高度超过米时，即，
所以，即，
所以，解得 ，
因为，所以只有当时，符合题意，
即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖的美景.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角，求三角函数解析式，解三角函数不等式等用数学知识解决实际问题，属于中档题.
40．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽，为了美化环境，现要在拐角位置布置一处盆景．盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边，分别位于走廊拐角的外侧．为了不影响走廊中正常的人流走动．要求拐角最窄处不得小于．
（1）若，试判断是否符合设计要求；
（2）若，且拐角最窄处恰好为时，求盆景所在区域的面积；
（3）试判断对满足的任意位置的A，B，是否均符合设计要求？请说明理由．
【答案】（1）符合设计要求；（2）；（3）任意位置的A，B，是否均符合设计要求．
【解析】
【分析】
（1）由已知得共线，直接计算出的长可得；
（2）以为轴建立平面直角坐标系，设的长为，写出直线方程，由点到直线距离公式计算可得；
（3）在（2）基础上，设，，则，，得出直线方程，求出点到直线的距离的最小值可得．
【详解】
（1）时，根据对称性，共线，，，，符合要求；
（2）如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，().
直线方程为，，
，解得或，
经检验，不合题意，所以，
．
（3）在（2）的直角坐标系中，设，，则，，
直线的方程为，，
，
令，则，
，即，
所以任意位置的A，B，均符合设计要求．
【点睛】
本题考查函数模型的应用，解题时通过建立平面直角坐标系，由点到直线距离公式建立的三角函数的模型，由三角恒等变换利用换元法得最值．
41．（2020·四川金牛�成都外国语学校高一开学考试（理））某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.
（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.
【答案】（1），定义域为；
（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；
（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.
【详解】
（1）由题意，在中，，，，，
中，，，，又，
，
所以，即.
当点在点时，这时角最小，求得此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时.
故此函数的定义域为；
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求的周长的最小值即可．
由（1）得，，
设，，
则，
由，得，，则，
从而，当，即当时，，
答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
42．（2020·浙江宁波�高一期末）已知函数 的最大值为 2 .
（1）求实数 a 的值；
（2）设，且，求的值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据辅助角公式可得，由的最大值为2即可求a 的值；(2)由(1)可知，结合有结合且即可求得值
【详解】
由
(1)∵的最大值为2，知：，且
∴
(2)由(1)知：
∴，
∴
，又，知：
，解得： = ，又
即有
∴.
【点睛】
本题考查了利用辅助角公式化简，并结合三角函数最值求参数；应用同角的正余弦平方和等于1求正弦值，注意验证结果是否符合题意
四、填空题
43．（2020·全国高三其他）已知当且时，函数取得最大值，则a的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式化简函数f（x），运用整体思想，当f（x）的最大值时，确定的取值，运用诱导公式计算进而得到，再利用二倍角的正切公式求a的取值即可.
【详解】
函数f（x）＝sinx (sinx+acosx)=
(，cos),
当时，函数f（x）取得最大值，此时
∴cos，∴，
∴a＝
故答案为．
【点睛】
考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
44．（2020·镇原中学高一期末）函数在上的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
用辅助角公式化简，结合角的范围和正弦函数的性质，即可求出值域.
【详解】
解：.
又，所以，，
所以，
所以.
所以函数在上的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题考查求三角函数的值域，应用两角和与差公式化简是解题的关键，属于基础题.
45．（2020·镇原中学高一期末）给出下列命题：
①函数是偶函数；
②方程是函数的图象的一条对称轴方程；
③在锐角中，；
④若，是第一象限角，且，则；
⑤设是关于的方程的两根，则；
其中正确命题的序号是______.
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
对于选项①：利用诱导公式得出即可判断；对于选项②：直接把代入验证即可；对于选项③：利用在锐角中，，利用两角和的余弦公式判断即可；对于选项④：举反例当，，判断即可；对于选项⑤：利用已知条件得到，即可判断选项.
【详解】
①函数是偶函数，故选项正确；
②方程是函数的图象的一条对称轴方程，
因为，故选项正确.
③在锐角中，
，
,
即，故选项正确.
④若、是第一象限角，
且，则，
当，，
满足，，故选项不正确.
⑤∵是关于的方程的两根，
∴，
∴，
即，故选项正确.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题主要考查了对数函数，两角和与差的公式，诱导公式和三角函数的对称性，考查三角函数公式的综合应用.属于中档题.
46．（2020·河南开封�高一期末）已知函数，给出下列四个结论：
①函数是最小正周期为的奇函数；
②直线是函数的一条对称轴；
③点是函数的一个对称中心；
④函数的单调递减区间为
其中正确的结论是_________（填序号）.
【答案】②.
【解析】
【分析】
利用两角和的余弦公式可得，再利用代入验证法逐一判断即可.
【详解】
，
，，函数是最小正周期为，
但不是奇函数，故①不正确；
当时，，故②正确；
当，，所以，
函数的一个对称中心为，故③不正确；
由，
解得，故④不正确；
故答案为：②
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，掌握公式以及正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
47．（2020·山东临沂�高一期末）已知，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，利用诱导公式结合商数关系得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以，
解得，
所以，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
48．（2020·山东聊城�高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】
根据题意，
.
又.
选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：
，
故可得，又，
故可得，又，故.
选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：
，由余弦定理得，
有，故.
选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：
，解得，
又，故可得.
故不论选择哪个条件，都有.又.则.
故
，
又，故，
故，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.
49．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后通过即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，解得，
则，
故答案为：.
【点睛】
本题考查两角差的正切公式以及二倍角公式的使用，考查的公式为、，考查计算能力，是简单题.
50．（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、图像的对称性，求得和的值，即可得解
【详解】
解：因为函数的最小正周期为，
所以，
所以其图像向左平移个单位后，可得的图像，
因为所得图像关于轴对称，
所以，即，
所以的最小正值为，
故答案为：
【点睛】
此题考查函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、对称性，属于基础题.
51．（2020·湖北黄冈�高一月考）给出下列命题，其中正确的命题序号是______________
①将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；
②若为锐角三角形，则
③是函数的图像的一条对称轴；
④函数的周期为.
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用三角函数的图像和性质逐项判断可得正确的结论.
【详解】
对于①，函数的图像向左平移个单位长度，
所得图像的解析式为，故①错.
对于②，因为为锐角三角形，故，
所以，故②正确.
对于③，令，则，
当时，，故③正确.
对于④，令，则，
而，，
故不是以为周期的函数.
故答案为：②③.
五、双空题
52．（2020·湖南张家界�高一期末）如图：某景区有景点A，B，C，D，经测量得，，，，，则__________. 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角，为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
在中根据正弦定理求得，而为等边三角形，即得；
建立平面直角坐标系，依据两角和的正弦公式和正弦定理求得点坐标A点、 D点，求得的轨迹方程，最后寻找圆外的点到圆上点的最近距离即BM长度的最小值.
【详解】
在中，，，，
由正弦定理得，即，得
在中，由，得为等边三角形，
可得；
以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
由，得
在中，得，A点的坐标为，
，得D点的坐标为，
设，
， 由到角公式得
整理得：，
点在圆的一段圆弧上，以为圆心，以为半径，
长度的最小值：到圆心的距离减去半径，即
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式和正弦定理的综合应用，考查了圆外的点到圆上点的最近距离问题，属于难题.
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