2021届二轮复习 三角函数的图象与性质 课时作业（全国通用） 练习

第1讲 三角函数的图象与性质专题强化训练1．(2020·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)A.       B．－　　　　C.　　　　D．－解析：选B.因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，所以cos＝－sin α＝－.2．(2020·湖州市高三期末考试)为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点(　　)A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选B.因为y＝cos 2x＝sin＝sin，所以y＝sin＝sin＝sin，所以为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可．故选B.3．已知tan＝3，则sin 2α的值为(　　)A．－          B.          C．－ D.解析：选B.因为tan＝＝3，所以tan α＝.所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.4．(2020·金华模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　) A．－        B．－       C．－ D．－1解析：选D.由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.5．(2020·宁波市北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝sin xcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是(　　)A．最大值为1B．图象关于直线x＝－对称C．既是奇函数又是周期函数D．图象关于点中心对称解析：选D.因为函数f(x)＝sin xcos 2x，当x＝时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x＝－时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－对称；故B正确；函数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)·cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[－2(x＋2π)]＝sin xcos 2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f＋f(x)＝－cos x·cos(3π－2x)＋sin xcos 2x＝cos xcos 2x＋sin xcos 2x＝cos 2x(sin x＋cos x)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点中心对称，故D不正确，故选D.6．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)A. B.C. D.解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，所以f(x)＝2sin.当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.7．(2020·温州调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)A. B.C. D.解析：选B.因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以又ω>0，所以0<ω≤，选B.8．(2020·宁波市高三调研)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)A．[－1，1] B.C. D.解析：选C.f(x)＝作出[0，2π]区间内f(x)的图象，如图所示，由f(x)的图象，可得f(x)的值域为. 9．(2020·宁波市北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为______，振幅的最小值为________．解析：函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，化简可得：f(x)＝sin(2x＋θ)＝·sin(2x＋θ)，其tan θ＝.函数f(x)的最小正周期T＝＝π.振幅为 ，当a＝－时，可得振幅的最小值.答案：π　10．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________．解析：sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－.答案：－11．已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，若对任意实数x∈，都有|f(x)|<m，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，x∈，所以∈，所以2sin∈(－，1]，所以|f(x)|＝<，所以m≥.答案：[，＋∞)12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：因为 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．答案：π　(k∈Z)13．(2020·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0<x<π，所以－<t<ωπ－，所以<ωπ－≤，解得<ω≤.答案：14．(2020·温州市北京朝阳期末数学模拟)设奇函数f(x)＝，则a＋c的值为________，不等式f(x)＞f(－x)在x∈[－π，π]上的解集为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝acos 0－sin 0＋c＝a＋c＝0，即a＋c＝0，则f(x)＝，若x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝acos x＋sin x－a＝－cos x－bsin x－a，则a＝－1，b＝－，c＝1.则f(x)＝，若0≤x≤π，则由f(x)＞f(－x)得－cos x－sin x＋1＞cos x＋sin x－1，即cos x＋sin x＜1，即cos＜，因为0≤x≤π，所以－≤x－≤，则＜x－≤，即＜x≤π.若－π≤x＜0，则由f(x)＞f(－x)得cos x－sin x－1＞－cos x＋sin x＋1，即cos x－sin x＞1，即cos＞，因为－π≤x＜0，所以－≤x＋＜，则－＜x＋＜，即－＜x＜0，综上不等式的解集为∪.答案：0　∪15．(2020·台州市高三期末评估)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝为f(x)图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的单调递减区间．解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，由T＝＝π，所以ω＝2，由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以f(x)的图象的对称轴为x＝＋－，k∈Z.由＝＋－，得φ＝kπ＋.又|φ|≤，则φ＝.(2)函数g(x)＝f(x)＋f＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝sin.所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z.16．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，又T＝，所以ω＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin.(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sinx.函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sinsin x＝sin2x＋sinxcos x＝＋sin x＝sin＋.当x∈[0，2]时，x－∈，所以当x－＝，即x＝1时，h(x)max＝.17．(2020·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点．因为x∈，所以2x－∈.因为y＝sin x在上是增函数，在上是减函数，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．又因为f(0)＝0，f＝1＋，f＝，所以≤t＜1＋，故实数t的取值范围为.18．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.(1)作出y＝f(x)的图象； (2)求y＝f(x)的解析式；(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围．解：(1)y＝f(x)的图象如图所示． (2)任取x∈，则－x∈，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，即f(x)＝(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1<x2<<x3<x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则Ma＝π；当a＝－时，f(x)＝a的三根满足x1<x2＝<x3，由对称性得x3＋x1＝，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的两根为x1，x2，由对称性得Ma＝.综上，当a∈时，Ma＝π；当a＝－时，Ma＝；当a∈∪{－1}时，Ma＝.