2021届二轮复习 平面向量 课时作业（全国通用） 练习

第4讲 平面向量

A级——北京朝阳期末保分练

1．(2020·南通调研)已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.

解析：由题知a＋b＝(1＋λ，λ＋2)，a－b＝(1－λ，λ－2)．因为(a＋b)∥(a－b)，所以(1＋λ)(λ－2)＝(λ＋2)(1－λ)，解得λ＝±.

答案：±

2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.

解析：因为＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝.

答案：

3．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．

解析：∵向量a＝(3,4)，b＝(1，－1)，

∴向量a在向量b方向上的投影为

|a|cos θ＝＝＝－.

答案：－

4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝3e1＋2e2，b＝2e1－ke2(k∈R)，且a·(a－b)＝8，则实数k的值为________．

解析：a＝3e1＋2e2，a－b＝e1＋(2＋k)e2，则a·(a－b)＝(3e1＋2e2)·[e1＋(2＋k)e2]＝3e＋[2＋3(2＋k)]e1·e2＋2(2＋k)e＝3＋[2＋3(2＋k)]cos ＋2(2＋k)＝8，解得k＝－.

答案：－

5．在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，则·＝________.

解析：设BC边中点为D，则＝ ，＝(＋)，∴ ·＝(＋)·＝×(3×2×cos 60°＋32)＝4.

答案：4

6．在▱ABCD中，点E是边AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n (m，n∈R)，则＝________.

解析：∵

＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)，∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.

答案：－2

7．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是线段BD上的任意一点，则·＝________.

解析：如图所示，由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，

所以·＝(＋)·

＝·＋·

＝·＝×cos 60°

＝2×2×＝2.

答案：2

8．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，||＝6，||＝6，＝，则·＝________.

解析：如图，以A为坐标原点，以AC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)．因为＝，所以＝＝(3，3)＝(1，)，E(1，)，＝(－1，5)，所以·＝(1，)·(－1,5)＝14.

答案：14

9．(2020·海门中学期中)已知点O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．

解析：因为＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以△OBC的面积是△ABC面积的，

因为·＝2，

所以||·||cos∠BAC＝2，

因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4，

所以S△ABC＝||·||sin∠BAC＝3，

所以△OBC的面积为1.

答案：1

10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，·＝9，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为________．

解析：因为∠C＝90°，所以·＝2＝9，所以||＝3，即AC＝3.因为S△ABC＝×AC×BC＝6，所以BC＝4.又P为线段AB上的点，且＝＋，故＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．

答案：3

11．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求tan θ的值；

(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．

解：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，

于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.

(2)由|a|＝|b|知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，

所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5，

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，

即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，

于是sin＝－.

又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，

所以2θ＋＝或2θ＋＝，

因此θ＝或θ＝.

12．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.向量m＝，n＝(sin B，－cos A)，且m⊥n.

(1)求A的大小；

(2)若|n|＝，求cos C的值．

解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，

即asin B－bcos A＝0.

由正弦定理得，＝，

所以sin Asin B－sin Bcos A＝0.

在△ABC中，B∈(0，π)，sin B＞0，

所以sin A＝cos A.

若cos A＝0，则sin A＝0，矛盾．

若cos A≠0，则tan A＝＝.

在△ABC中，A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由(1)知，A＝，所以n＝.

因为|n|＝，所以 ＝.

解得sin B＝(舍去负值)．

因为sin B＝＜，所以0＜B＜或＜B＜π.

在△ABC中，又A＝，故0＜B＜，所以cos B＞0.

因为sin2B＋cos2B＝1，所以cos B＝.

从而cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B

＝－×＋×＝.

B级——难点突破练

1．(2020·泰州期末)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________.

解析：如图，因为＋＋2＝0，

所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0，

即＋＋2(＋－)＝0，

所以3－＋2＝0，

即－＋＝0，

所以λ＝，μ＝－，λμ＝－.

答案：－

2．已知A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足·＝2||2，则|＋|的最大值为________．

解析：设动点P(x，y)，因为A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，·＝2||2，所以(x，y－1)(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1.因为|＋|＝2，所以|＋|表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|＋|的最大值为2×(2＋1)＝6.

答案：6

3．(2020·启东期末)设α∈，已知向量a＝(sin α，)，b＝，且a⊥b.

(1)求tan的值；

(2)求cos的值．

解： (1)因为a＝(sin α，)，b＝，且a⊥b，

所以sin α＋cos α＝，所以sin＝.

因为α∈，所以α＋∈，

所以cos＝，

所以tan＝.

(2)由(1)得cos＝2cos2－1＝2×2－1＝.

因为α∈，所以2α＋∈，

所以sin＝，

所以cos＝cos

＝coscos－sinsin

＝.

4．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos B＝2c－b.

(1)若cos(A＋C)＝－，求cos C的值；

(2)若b＝5，·＝－5，求△ABC的面积；

(3)若O是△ABC外接圆的圆心，且·＋·＝m，求m的值．

解：由2acos B＝2c－b，得2sin Acos B＝2sin C－sin B，

即2sin Acos B＝2sin(A＋B)－sin B，

化简得cos A＝，则A＝60°.

(1)由cos(A＋C)＝－cos B＝－，

得cos B＝，所以sin B＝.

所以cos C＝cos(120°－B)＝－cos B＋sin B＝.

(2)因为·＝·(－)＝·－2＝||·||·cos A－||2＝bc－b2＝－5，

又b＝5，解得c＝8，

所以△ABC的面积为bcsin A＝10.

(3)由·＋·＝m，

可得··＋··＝m2.(*)

因为O是△ABC外接圆的圆心，

所以·＝2，·＝2，

又||＝，

所以(*)可化为·c2＋·b2＝m·，

所以m＝2(cos Bsin C＋sin Bcos C)＝2sin(B＋C)＝2sin A＝.