2019届二轮复习 　计数原理 学案（全国通用）

第6练　计数原理

[明晰考情]　1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度．

考点一　两个计数原理

要点重组　(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．

(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的．

1．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是(　　)

A．120   B．204

C．168   D．216

答案　B

解析　由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，

根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.

2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有(　　)

A．30种   B．27种

C．24种   D．21种

答案　A

解析　由题意知本题需要分类来解答，

首先A选取一种颜色，有3种情况．

如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；

这时最后两个点也有2种情况；

如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；

这时最后两个点有3种情况．

所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法．

3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有(　　)

A．576种   B．720种

C．864种   D．1 152种

答案　C

解析　由题意可知，2,4,6不能相邻，且6与3也不能相邻，所以先排1,3,5,7四个数字，有A种排法；再插入6，由于1,3,5,7四个数字产生5个空位，所以6只有3个空位可以插，2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入，所以共有AAA＝24×3×12＝864(种)排法，故选C.

4．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有(　　)

A．330种  B．420种  C．510种  D．600种

答案　A

解析　由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：第一类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时，满足题意的方法共有C·A＝60(种)；第二类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时，满足题意的方法有C·C·A＝180(种)；第三类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时，满足题意的方法有·A＝90(种)．因此满足题意的方法共有60＋180＋90＝330(种)．

考点二　排列组合问题

方法技巧　(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步．

(2)排列组合问题的常用解法：

①特殊元素(特殊位置)优先安排法．

②相邻问题捆绑法．

③不相邻问题插空法．

④定序问题缩倍法．

5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有(　　)

A．90种   B．180种

C．270种   D．540种

答案　D

解析　不同的分配方法共有CCCC＝540(种)，故选D.

6．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为(　　)

A．12  B．24  C．36  D．48

答案　B

解析　将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24(种)．

7．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(　　)

A．240种   B．188种

C．156种   D．120种

答案　D

解析　当E，F排在前三位时有(AA)·A＝24(种)方法；当E，F排在后三位时，有(ACA)·A＝72(种)方法；当E，F排3,4位时有(CA)·AA＝24(种)方法，

∴共有24＋72＋24＝120(种)方案．

8．为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是(　　)

A．216  B．420  C．720  D．1 080

答案　D

解析　先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1 080(种)．

考点三　二项式定理的应用

方法技巧　(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk＋1＝Can－kbk的应用，可通过确定k的值再代入求解．

(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决．

(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足

9．(2018·全国Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10  B．20  C．40  D．80

答案　C

解析　5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·2k·x10－3k，

令10－3k＝4，得k＝2.

故展开式中x4的系数为C·22＝40.

10．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

答案　B

解析　Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－k，当Tk＋1是常数项时，n－k＝0，当k＝2，n＝5时满足题意．

11．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　)

A．－5  B．5  C．90  D．180

答案　D

解析　∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22·(－1)8＝180.

12．(1＋x2)6的展开式中项的系数为(　　)

A．－12  B．12  C．－172  D．172

答案　C

解析　因为6的通项公式为C6－k(－1)k＝26－kC(－1)kxk－6.故展开式中项的系数为

2C(－1)5＋23C(－1)3＝－172.故选C.

1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有(　　)

A．34种   B．48种

C．96种   D．144种

答案　C

解析　由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A＝2(种)结果．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96(种)结果，故选C.

2．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　)

A．60  B．40  C．120  D．240

答案　A

解析　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法．

再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A＝60(种)不同的安排方法，故选A.

3．若(1＋y3)n (n∈N*)的展开式中存在常数项，则常数项为________．

答案　－84

解析　n展开式的通项为Cxn－kk＝C(－1)kxn－3ky－k，

(1＋y3)n展开式的通项为C(－1)kxn－3ky－k和y3C(－1)kxn－3ky－k＝C(－1)kxn－3ky3－k，

若存在常数项则有(舍)或

解得k＝3，n＝9，

常数项为C(－1)3＝－84.

解题秘籍　(1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步．

(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况．

(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的项解决．

1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种  B．18种  C．24种  D．36种

答案　D

解析　由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．故选D.

2．某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有(　　)

A．168种  B．156种  C．172种  D．180种

答案　B

解析　小李和小王分别去甲、乙展区有ACC＝12(种)方案；

小王、小李中有一人去甲、乙展区，有CCCCC＝96(种)方案；

小王、小李都不去甲、乙展区，有AA＝48(种)方案，

∴共有12＋96＋48＝156(种)方案．

3．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)

A．96  B．114  C．128  D．136

答案　B

解析　由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．

4.(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)

A．15  B．20  C．30  D．35

答案　C

解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，

所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，

所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.

5．从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有(　　)

A．210种  B．420种  C．630种  D．840种

答案　B

解析　(用间接法)9人中选3人到3个班实习班主任工作共A种结果，其中均为男教师的有A种，均为女教师的有A种．

∴满足条件的方案有A－A－A＝420(种)．

6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于(　　)

A．－4  B．－3  C．－2  D．－1

答案　D

解析　因为(1＋x)5的二项展开式的通项为Cxk(0≤k≤5，k∈Z)，

则含x2的项为Cx2＋ax·Cx＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.

7．(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)

A．－20  B．0  C．1  D．20

答案　D

解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，

再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，

又因为a1＝C×21×(－1)9＝－20，

所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.

8．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　)

A．30  B．60  C．120  D．240

答案　B

解析　先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种)．

9．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

答案　1 260

解析　不含有0的四位数有C×C×A＝720(个)．

含有0的四位数有C×C×C×A＝540(个)．

综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.

10．(2018·浙江)二项式8的展开式的常数项是________．

答案　7

解析　由题意，得Tk＋1＝C·()8－k·k

＝C·k··x－k＝C·k·.

令＝0，得k＝2.

因此T3＝C×2＝×＝7.

11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________.

答案　6

解析　由题意可知，a＝C，b＝C，

又∵13a＝7b，∴13·＝7·，

即＝，解得m＝6.

12．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同的字母和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________．

答案　3 600

解析　三个数字相邻，则共有A种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为AAC＝60×20×3＝3 600.